如何判斷物體是否空心

黃繼奎

判斷物體是否空心的問題能有效考查同學們對密度概念的理解，以及利用密度知識解決實際問題的能力，因此成為提升同學們科學思維的經典題型。下面對此類問題歸類剖析。

一、定量計算型

例1 已知鐵的密度ρ鐵=7.9 × 103 kg/m3。小聰同學為了判斷一個小鐵球是否空心，他利用天平測出鐵球的質量，然后利用排水法測出小鐵球完全浸沒在量筒內前后的體積，實驗數據如下表。請判斷小鐵球是空心的還是實心的，寫出依據;若是空心的，求出空心部分體積。

[鐵球的質量m/g 水的體積V水/mL 水和鐵球的總體積V總/mL 79 60 85 ]

[思路點撥

]

解決本題的關鍵是判斷物體是否空心，判斷方法有以下三種：（1）比較密度法：根據鐵球的質量和體積，利用[ρ=mV]求出鐵球的密度為[ρ球]，然后與[ρ鐵]相比較，若[ρ球=ρ鐵]則為實心，若[ρ球<ρ鐵]則為空心;（2）比較體積法：假設鐵球是實心的，根據鐵球的質量和鐵的密度，利用[V=mρ]求出鐵球中鐵的體積為[V鐵]，然后與[V球]相比較，若[V鐵=V球]則為實心，若[V鐵<V球]則為空心;（3）比較質量法：假設鐵球是實心的，根據鐵球的體積和鐵的密度，利用[m=ρV]求出鐵球的質量為[m球]，然后與[m鐵]相比較，若[m球=m鐵]則為實心，若[m球>m鐵]則為空心。

解法一：比較密度法

（1）由表格中的數據可知：V球=V總 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，鐵球的密度為：[ρ球=m球V球=79 g25 cm3=3.16 g/cm3]，由于鐵的密度[ρ鐵=7.9×103 kg/m3=7.9 g/cm3]，即[ρ球<ρ鐵]，所以鐵球是空心的;（2）空心部分的體積：V空心=V球 - V鐵=V球 - [m鐵ρ鐵]? =? 25 cm3 - [79 g7.9 g/cm3] = 25 cm3 - 10 cm3=15 cm3。

解法二：比較體積法

（1）由表格中的數據可知：V球=V總 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，假設鐵球是實心的，鐵球中鐵的體積：[V鐵=m鐵ρ鐵=79 g7.9 g/cm3=10 cm3] < 25 cm3，即V鐵

解法三：比較質量法

（1）由表格中的數據可知：V球=V總 - V水=85 mL - 60 mL=25 mL=25 cm3，假設球是實心的，鐵球的質量為：[m球=ρ鐵V球=7.9 g/cm3×25 cm3=197.5 g>79 g]，即[m球>m鐵]，所以鐵球是空心的;（2）空心部分的體積：V空心=V球 - V鐵=V球 - [m鐵ρ鐵]? =? 25 cm3 - [79 g7.9 g/cm3] = 25 cm3 - 10 cm3=15 cm3。

[能力提升

]

一個體積為3000 cm3的銅球質量為17.8 kg，它是實心還是空心的？如果是空心的，空心部分的體積為多大？若在銅球的空心部分注滿水，球的總質量是多少？（銅的密度為8.9 × 103 kg/m3）

答案：該銅球是空心的 空心部分的體積為1000 cm3 若在銅球的空心部分注滿水，球的總質量是18.8 kg

二、定性比較型

例2 質量、體積都相同的鋁球、鐵球和銅球，已知ρ銅>ρ鐵>ρ鋁，則下列說法正確的是（ ）。

A. 若鋁球是實心的，則銅球、鐵球一定是空心的

B. 若銅球是實心的，則鋁球、鐵球一定是空心的

C. 若鐵球是實心的，則鋁球、銅球一定是空心的

D. 鋁球、鐵球和銅球都可能是空心的

[思路點撥

]

在三球外形、體積和質量都相同的情況下，判斷它們是實心還是空心的方法有兩種：（1）根據密度的物理意義判斷：密度是表示構成物質的疏密程度的物理量，不同物質的疏密程度一般不同，若三球的平均密度相等，則密度大的物質構成的球一定是空心的;（2）比較質量或體積法：假設三球都是實心的，利用密度公式變形可比較出三球的實際體積或實際質量大小，然后結合題設條件判斷。

解法一：密度概念判斷法

三球的質量和體積相等，根據[ρ=mV]可知三球的密度相同。由于鋁的密度最小，則密度較大的銅和鐵構成的球一定是空心的，鋁球可能是實心的也可能是空心的。故選AD。

解法二：比較質量或體積法

（1）假設三球都是實心的，根據[m=ρV]可知，在三球體積相同時，球體的質量跟物質的密度成正比，銅的密度最大，則銅球的質量最大。由于三球的質量相同，則銅球和鐵球一定是空心的，鋁球可實可空。故選AD。（2）假設三球都是實心的，根據[V=mρ]可知，在三球質量相同時，球體的體積跟物質的密度成反比，鋁的密度最小，則鋁球的體積最大。由于三球的體積相同，則銅球和鐵球一定是空心的，鋁球可實可空。故選AD。

[能力提升

]

三個體積、質量都相同的空心銅球、鐵球和鋁球（已知ρ銅>ρ鐵>ρ鋁），其中空心部分體積最大的是（ ）。

A. 銅球 B. 鐵球 C. 鋁球 D. 無法判斷

答案：A