建立模型 突破難點

唐衛

密度是物質的一種特性，是中考必考的內容之一，有關密度的計算難在模型的建立、過程的分析和數學知識的應用。下面結合一道例題來分析有關密度的計算問題。

例（2020·四川·甘孜）建筑工地需要400 m3的沙石，為了估測沙石的密度，用一只空桶平裝滿一桶沙石，測得桶中的沙石的質量為52 kg，再用這只桶裝滿一桶水，測得桶中水的質量20 kg，ρ水 = 1.0 × 103? kg/m3，g取10 N/kg。求：

（1）桶的容積是多少？

（2）沙石的密度是多少？

（3）若用一輛載重4000 kg的卡車將沙石運送到工地，至少要運多少車？

[思路點撥]

本題的解題思路如下：（1）桶裝水和裝沙石時，體積相同。題中已知水的質量和密度，根據公式ρ = [mV]求出水的體積，也就知道桶的容積;（2）知道一桶沙石的體積和質量，可以求出沙石的密度;（3）根據密度公式ρ = [mV]再求出沙石的質量，根據卡車載重求出至少要運多少車。

解析：（1）由ρ = [mV]可得，桶的容積為：V = V水 = [m水ρ水] = [20 kg1.0×103 kg/m3] = 2 × 10-2? m3;（2）桶中沙石的體積為：V0 = V = 2 × 10-2 m3，則沙石的密度ρ = [m0V0] = [52 kg2×10-2 m3] = 2.6 × 103 kg/m3;（3）由ρ = [mV]可得，沙石的總質量m總 = ρV總 = 2.6 × 103 kg/m3 × 400 m3 = 1.04 × 106 kg，若用一輛載重4000 kg的卡車將沙石運送到工地，至少要運：n = [m總m車] = [1.04×106 kg4000 kg/車] = 260車。

[答案：（1）桶的容積是2 × 10-2 m3 （2）沙石的密度是2.6 × 103 kg/m3 （3）一輛載重4000 kg的卡車將沙石運送到工地，至少要運260車]

[歸納總結]

1.本題考查了密度公式的運用，解題的關鍵是抓住桶的容積不變，即一桶沙石和一桶水的體積相等。

2.密度計算的依據：密度公式ρ = [mV]、變形式m = ρV和V = [mρ]。

3.密度計算的類型與解題思路：

（1）鑒別物質：根據密度公式ρ = [mV]計算出待測物體的密度后，與密度表中列舉出的密度進行對比，確定物質的種類;

（2）計算混合物體的密度：求出混合物體的總質量m，測出混合物體的總體積V，根據密度公式ρ = [mV]計算出混合物體的密度;

（3）判斷物體的空實心問題：若待測物體的密度等于物質的密度，則該物體是實心的，若待測物體的密度小于物質的密度，則該物體是空心的;

（4）求不同物質的密度、質量、體積的比值問題：首先根據密度公式ρ = [mV]及其變形式得出待測物理量的形式，然后利用比的性質進行計算。

[素養提升]

求某個物體的密度、質量或體積時，在題中找出除所求量外的另外兩個物理量。

1.等體積法找體積：

（1）物體的體積等于物體浸沒后排開液體的體積;

（2）在裝滿水的容器中放入物體，會溢出一部分水，物體的體積等于溢出水的體積;

（3）同一容器，分別裝滿甲、乙兩種液體時，液體的體積相等。

2.等質量法找質量：物體在發生狀態的改變前后，其質量不變。

3.等密度法找密度：均勻物體的密度處處相同。

[能力強化]

1.一空瓶質量為200 g，裝滿水后總質量為700 g，若在空瓶中放入一金屬塊，測得金屬塊與瓶子的總質量為1000 g，然后再往瓶中裝滿水，測得瓶子、金屬塊和水三者的總質量為1400 g。

（1）求瓶子的容積;

（2）求金屬塊的體積;

（3）求金屬塊的密度，并判斷它可能是什么金屬。

[物質 金 鉛 銅 鐵 鋁 密度/（g/cm3） 19.3 11.3 8.9 7.9 2.7 ]

[答案：（1）瓶子的容積為500 cm3? ? （2）金屬塊的體積為100 cm3? ? （3）金屬塊的密度為8 g/cm3 該金屬塊可能是鐵]