一類含(p,q)-Kirchhoff型雙調和方程組的多解性研究

張 琪，繆 清

(云南民族大學 數學與計算機科學學院,云南 昆明 650500)

主要研究包含(p,q)-Kirchhoff型方程組

(1)

(M)存在2個正常數m0,m1，對于所有的t≥0有m0≤Mi(t)≤m1.

函數F,G:Ω×2→滿足F(x,s,t),G(x,s,t)對所有(s,t)∈2在點x都可測且對于幾乎處處x∈Ω有(s,t)為C1.Fu,Fv分別是F對u,v的偏導數，Gu,Gv分別是G對u,v的偏導數.假設F(x,s,t),G(x,s,t)滿足如下條件：

問題(1)與Kirchhoff[1]研究的彈性弦方程

(2)

有關，這個方程考慮了彈性弦在振動過程中的長度變化影響，推廣了D’Alembert的彈性管柱自由振動方程.隨著研究的深入，問題(2)轉化為

(3)

在文獻[2-8]中，問題(3)已經得到了很多研究.

Hssini等[9]基于Bonanno臨界點定理[10]研究了一類帶Navier邊值條件的(p,q)雙調和方程問題，后來Allaoui等[11]把文獻[9]推廣到變指數雙調和算子方程組.隨著臨界點理論在各個領域的廣泛應用，許多學者在4階邊值問題方面進行了深入的研究，文獻[12-15]研究了4階邊值問題解的存在性和多解性.其中，在文獻[12]中，Hssini等基于Ricceri變分原理[16]研究了4階Kirchhoff型問題

(4)

解的存在性和多值性.隨后，肖虹兆等[17]對問題(4)做了推廣，利用Ricceri多解定理研究了(p1,p2,…,pn)-Kirchhoff型問題的多解性.

近年來Ricceri 3臨界點定理[18]越來越廣泛的被用于解決4階邊值問題，例如，Li等[19]研究了(p,q)雙調和算子方程問題

(5)

在文獻[20-21]中，Ricceri三臨界點定理也用于解決 (p,q)-Kirchhoff型問題

(6)

但目前為止根據Ricceri 3臨界點定理研究帶Navier邊值條件的(p,q)-Kirchhoff型的雙調和問題的結論甚少，因此，受以上研究的啟發，本文根據Ricceri 3臨界點定理，證明了(p,q)-Kirchhoff型方程組(1)至少有3個解存在.

1 預備知識

記

(7)

我們稱(u,v)∈X是問題(1)的弱解如果對任意(ξ,η)∈X有

(8)

定義泛函H:X→為

(9)

(10)

通過假設(M),(F),(G)可得H∈C1(X,)，同時，求問題(1)的弱解就轉化為求泛函H的臨界點問題.

設x0∈Ω，選擇R2>R1>0使得B(x0,R2)?Ω，其中，B(x0,R2)={x∈N||x-x0|

(11)

定義

(12)

(13)

引理1.1[21]假設(M),(F),(G)成立.設?(u,v)∈X有

那么，Φ:X→是連續Gateaux可導且序列弱下半連續，在X的每個有界子集上有界，其Gateaux導數在X*上有連續逆.Ψ,J:X→是連續Gateaux可導，其Gateaux導數是緊的.

對(u,v),(ξ,η)∈X，有

定理1.2[18]設X是一個自反的實Banach空間.Φ,Ψ:X→是連續Gateaux可導泛函.其中，Φ是序列弱下半連續且在X的每個有界子集上有界，其Gateaux導數在X*上有連續逆，Ψ的Gateaux導數是緊的，I?是一個區間.假設對λ∈I，有

(14)

并且存在h，使得

(15)

成立.那么存在一個開區間Λ?I和一個正實數ρ，對每個λ∈Λ和每個C1且有緊導數的泛函J:X→，存在δ>0使得對每個μ∈[0,δ]，方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

在X上至少有3個解且其范數小于ρ.

命題1.3[21]設X是一個非空集合，Φ,Ψ是X上的2個實函數.假設存在r>0，u0,u1∈X使得

(16)

(17)

2 主要結果及證明

(h1)對幾乎處處x∈ΩB(x0,R1)和所有(s,t)∈[0,d]×[0,d]有F(x,s,t)≥0；

(h3)對幾乎處處x∈Ω和所有(s,t)∈2有F(x,s,t)≤α(x)(1+|s|γ+|t|β)；

(h4)對幾乎處處x∈Ω有F(x,0,0)=0.

那么，存在一個開區間Λ∈[0,+∞)和一個正實數ρ有如下性質，對?λ∈Λ,?δ>0, 使得，對?μ∈[0,δ]，問題(1)至少有3個解，且其范數小于ρ.

引理2.2假設(M),(h1),(h2)成立.那么?(u*,v*)∈X,使得Φ(u*,v*)>r，

(18)

證明設

(19)

(20)

由(M),(13)可知

(21)

同理，

(22)

顯然，0≤u*≤d，0≤v*≤d，根據條件(h1),(h2),(22)

(23)

定理2.1的證明由(M),(h3),(21),對?(u,v)∈X有

其中，C1,C2是常數且C1,C2>0.由于γ

(24)

由引理2.2知，?(u*,v*)∈X,使得Φ(u*,v*)>r>0=Φ(0,0)，

設(u,v)∈X使得Φ(u,v)≤r，從(7)可得

(25)

那么，

(26)

從而，

(27)

因此，從(18)和(27)有

(28)

(29)

由命題1.3對每一個滿足條件

(30)

的h，存在r>0，(u0,v0)=(0,0)，(u1,v1)=(u*,v*)使得Φ(0,0)=0，Ψ(0,0)=0，并且從(21)和(29)可得

(31)

因此，I=[0,+∞).由(24)和(31)知定理2.1的所有條件都滿足，定理2.1即得證.故問題(1)至少有3個解存在.