具有S-擬正規子群的有限群

鄧 燕, 孟 偉

(1.云南民族大學 數學與計算機科學學院,云南 昆明 650550;2.桂林電子科技大學 數學與計算科學學院,廣西 桂林 541004)

設G是有限群,稱G的子群K和H是可置換的,如果KH=HK,即KH為G的子群.顯然，對于G的正規子群N，N與G的所有子群可置換， 但反之不一定成立. Ore[1]引入了擬正規子群的概念: 稱子群H為G的擬正規子群, 如果H與G的所有子群可置換. 作為擬正規子群的推廣, Kegel[2]定義了S-擬正規子群.

定義1[2]設G是有限群,H為G的子群.稱H是G的S-擬正規子群，如果子群H與G的所有Sylow子群可置換，即對任意的P∈Syl(G), 有HP=PH.

素數冪階子群的S-擬正規性對有限群結構有著重要的影響(見文獻[3-10]). G的素數階子群稱為G的極小子群.2009年, Asaad[4]研究了每個極小子群皆為S-擬正規子群的有限群性質.他稱這類群為MS-群，證明了MS-群必可解. 進一步地，引入如下群類.

定義2[4]設G是有限群.如果G不為MS-群，但G的每個真子群皆為MS-群，那么稱G為極小非MS-群.

Asaad[4]證明了極小非MS-群必可解以及群階的素因子個數為2, 并給出了極小非MS-群的結構.

本文作為以上研究的繼續, 首先借助擬單群的Schur乘子，給出了極小非MS-群可解的一個新證明; 然后, 用可解群的Sylow系證明了極小非MS-群的素因子個數為2. 證明的方法和技巧，比Assad的證明更簡潔. 最后， 本文研究了二極大子群皆為MS-群的有限群.

文中所涉及到的群皆是有限群,沒有特別說明的概念和符號皆是標準的.此外,用π(G)表示整除|G|的所有素因子的集合；Zn表示n階循環群；A×B表示A與B的直積；A:B表示正規子群A被非正規子群B的擴張.

1 預備引理

引理1[2]設G是有限群，H與K是G的子群.

(1)若H≤K≤G,H在G中S-擬正規,則H在K中S-擬正規.

(2)若H在G中S-擬正規,則H??G.

引理2設G是有限群,H為G的p-子群,對某個素數p.若Op(G)≤NG(H),則H在G中S-擬正規.

證明因為Op(G)≤NG(H),Q≤Op(G)≤NG(H),故當(q,p)=1時對每一個Q∈Sylq(G)都有QH=HQ.令P∈Sylp(G),H≤P,顯然H??P.因為G=Op(G)P,故H??G,且H≤Op(G).因此,H≤S對任意的S∈Sylp(G)有HS=SH=S.證得H在G中S-擬正規.

引理3[4]若G是MS-群,則G可解.

引理4令G為2n階二面體群，則

(1)G為MS-群當且僅當n=2f.

(2)G為極小非MS-群當且僅當n=p為奇素數.

證明(1)當n=2f時G為2-群, 此時G冪零,故G為MS-群.反之，假設G為MS-群.若n≠2f, 則存在奇素數p為n的因子.故G有一2p階二面體子群H, 但H不是MS-群,矛盾.因此n=2f.

(2)與(1)證明類似.

引理5設G?A4為4個文字上的交錯群, 則G為極小非MS-群.

證明由于A4為極小非冪零群, 故A4為極小非MS-群.

引理6[11]設G為極小單群,(i.e.,G為非交換單群,但G的每個真子群可解).則G同構于下列單群之一:

(2)PSL(2,3q),q為奇素數.

(3)PSL(2,2q),q為素數.

(4)Suzuki群Sz(2q),q為奇素數.

(5)PSL(3,3).

1.1 極小非MS-群可解性的新證明

定理1設G是一個極小非MS-群, 則G可解.

證明假設G非可解.根據定理假設知,G的每個真子群為MS-群.應用引理3，可知G的每個真子群皆為可解群.令Φ(G)為G的Frattini-子群, 即G的所有極大子群的交.那么G/Φ(G)的每個真子群皆可解.由于Φ(G)是冪零群，可得G/Φ(G)為極小單群.設C為Φ(G)的2-補, 則有C?G且C冪零. 證明將分以下四步進行.

步驟1C≤Z(G).

對任意的p∈π(C), 設P是C的Sylowp-子群, 則P?G.任取P的p階子群H,由Φ(G)的冪零性, 可知H??G.從而有H≤OP(G)[12,Lemma8.6(a)]. 任取q∈π(G)且q≠p, 并令Q∈Sylq(G), 則有Op(G)Q

步驟2C=1.

步驟3G/Φ(G)中的每一個2np階子群均為2-冪零的.

假設G有一子群R滿足,Φ(G)≤R且R/Φ(G)為2np階的非2-冪零群.那么R必包含一個2mp階的極小非2-冪零子群D.由It定理[13, IV.5.4]可知,D=T:P為內冪零群, 其中T為D的正規Sylow2-子群, |P|=p.由于G非可解, 故D為G的真子群.所以D是一個MS-群.因此P在D中S-擬正規，應用引理1(2)可知P是D的一個次正規子群.注意到P是D一個Sylow-子群, 所以P為D的一個正規子群.這導致D是一個冪零群，與D內冪零相矛盾.故G/Φ(G)中的每一個2np階子群均為2-冪零的.

步驟4最終的矛盾.

因為G/Φ(G)為非交換單群,所以G/Φ(G)同構于引理6中的單群之一.

如果G/Φ(G)同構于PSL(3,3),PSL(2,3q)和PSL(2,p)這3類群之一, 那么G/Φ(G)將包含一個與A4同構的子群.但A4是非2-冪零的, 這與步驟3相矛盾.故G/Φ(G)不可能與這3類單群同構.

如果G/Φ(G)同構與Sz(2q)或PSL(2,2q), 那么G/Φ(G)為一奇度數的Zassenhaus群, 并且其點穩定子群是一個Frobenius核為2-群的Frobenius群. 顯然這個點穩定子群不是一個2-冪零群, 亦與步驟3相矛盾. 所以G/Φ(G) 也不可能與這兩類單群同構.

綜上可知,G必是可解群.

定理2設G是一個極小非MS-群, 則|π(G)|=2.

證明設G是一個極小非MS-群， 根據定理1可知，G必可解.由于p-群必是MS-群, 故|π(G)|≥2.假設|π(G)|>2.令π(G)={p1,p2,…,pr},其中p1

任取G的一個極小子群H.不失一般性，可假設H≤P1.由于|π(G)|>2，所以對任意i∈{2,…,r},P1Pi是G的真子群.由定理假設知,P1Pi是MS-群.因此,H在P1Pi中S-擬正規.特別地,HPi≤P1Pi

1.2 二極大子群皆為MS-群的有限群

定理3設G是一個可解群.如果G非MS-群, 但G的每個二極大子群皆為MS-群，那么|π(G)|=2或3.

證明設G是一個非MS-群.根據定理假設知，G的每個極大子群要么為MS-群，要么為極小非MS-群.如果G所有的極大子群皆為MS-群，那么G是一個極小非MS-群.由定理2知，|π(G)|=2.

接下來假設G有一個極大子群M滿足M不是MS-群.由上面討論可知，M是一個極小非MS-群.再次應用定理2可知|π(M)|=2.由于G是可解群，則|G:M|是某個素數方冪.|π(M)|=2迫使|π(G)|=2或3.

定理4設G是一個有限非交換單群.如果G的每個二極大子群皆為MS-群, 那么G?A5.

證明 設G為非交換單群.任取G的極大子群M，根據定理假設知,M要么為MS-群, 要么為極小非MS-群.應用引理3和定理1可知,M均可解.因此,G的所有真子群可解,從而G為極小單群.根據引理6可知,G必同構于下列5類單群之一.

(2)PSL(2,3q),q為奇素數.

(3)PSL(2,2q),q為素數.

(4)Suzuki群Sz(2q),q為奇素數.

(5)PSL(3,3).

斷言1GPSL(2,3q),q為奇素數.

斷言2GSz(2q),q為奇素數.

假設G?Sz(2q).首先,G包含一階為2·(2q-1)的二面體群子群.由引理4得(2q-1)為素數, 以及G包含一階為22q(2q-1)的Frobenius-子群M.且M有2q-1階循環補H,以及22q階核K.因為K非交換,Z(K)H為M的真子群.因此由假設得Z(K)H為MS-群.H在HZ(K)中S-擬正規,由引理1(2)得H次正規于HZ(K).又因H為HZ(K)的Hall-子群,則H?Z(K)H且Z(K)H=Z(K)×H.因此對任意的對合x∈Z(K)有H≤CM(x). 但是由[15 Theorem7.6(iv), p.38]有CM(x)≤K,矛盾.故GSz(2q).

斷言3GPSL(3,3)

假設G?PSL(3,3),則G包含一個極大子群同構于S4.顯然A4為S4的極大子群.由引理5可知,A4為極小非MS-群,矛盾.故GPSL(3,3).

綜上,G同構于PSL(2,p)或PSL(2,2q).

因此必有4|p-1且由引理4得p-1=2q.故

p2-1=(p-1)(p+1)=2q(2q+2)=2q+1(2q-1+1).

如果q≥3,則16|p2-1,矛盾.故q=2, 迫使p=5.所以G?PSL(2,5)?A5.

假設G?PSL(2,2q), 此時G仍包含2個二面體子群D1和D2.并且|D1|=2·(2q+1)以及|D2|=2·(2q-1).由引理4得2q+1和2q-1皆為素數, 這迫使q=2.因此G?PSL(2,22)?A5.

反之,若G?A5.那么G的極大子群同構于A4,S3,D10三者之一.由引理4和引理5得G的二極大子群均為MS-群.因此G滿足命題假設.