基于K-SVD的低頻水聲信號去噪處理方法

吳耀文 ，邢傳璽，張東玉，謝李祥

(云南民族大學 電氣信息工程學院，云南 昆明 650500)

聲信號在實現眾多水下科研活動中都起著至關重要的作用，因為無線電波和光波等其他類型的信號無法很好地在水下傳播[1].無線電波因其頻率較高，在水中傳播的過程中往往會導致其迅速衰減.光波在水中尤其是渾濁的水中穿透距離有限，衰減較快，一般在水下的傳播距離為數十米左右.而聲信號在水下具有良好的傳輸效果，尤其是低頻聲信號.低頻聲信號具有傳播距離長，衰減慢和在水下的損耗小等特點[2]，這些方面受到了研究人員越來越多的關注.此外，水下目標的檢測和定位、水聲通信、數據傳輸等實際應用都需要準確的水聲信號，這意味著由水聲傳感器接收到的信號需要具有較高的信噪比.但由于淺海環境復雜且多變，水聲信號在傳播過程中受到“2個 1 000”的約束，即“干擾強度是目標的一千倍、干擾數量是目標的一千倍”[3].因此接收到的水聲信號往往混有各種各樣的海洋噪聲，其中噪聲包括海浪、下雨、風暴、船舶以及海洋動物等.且低頻水聲信號更容易受到這些噪聲的干擾，很大程度上影響了目標檢測、定位與識別的準確性和有效性.

為了去除混在接收信號中的海洋噪聲，提高接收信號信噪比，越來越多的研究人員使用稀疏分解(sparse decomposition)理論來對信號去噪進行研究.稀疏分解理論最早是由法國科學家Mallat等在1990年代提出的[4]，其原理是將從過完備原子庫(overcomplete dictionary)中選擇少數原子進行線性組合，即以較少的信息表示信號的特征.在稀疏分解理論中，過完備原子庫也叫做過完備字典，其設計非常重要.學者們基于信號的先驗信息構造了具有信號特性的過完備原子庫.其中，孫同晶等[5]根據水聲入射信號與回波模型的先驗信息構造符合信號特性的過完備原子庫，從而精確重構出水聲回波信號.李揚[6]等根據大功率半導體激光器中的噪聲模型成功構造出含有1/f噪聲的過完備原子庫，從而將信號中的該類噪聲去除.這種過完備原子庫構造方法的優點是其中的原子具有某類信號的特征，從而可以更好地將信號稀疏表示并得到較好的去噪效果.但缺點在于，原子庫中的原子僅具有某類信號的特征，在對其他類型信號進行稀疏表示時會導致出現不令人滿意的結果.鑒于此，研究人員展開了對訓練字典的研究與運用[7-8].訓練字典中的典型算法包括最優方向法[9](method of optimal directions，MOD)和K-奇異值分解[10](K-singular value decomposition，K-SVD)算法.其中，弓震等[11]運用K-SVD對實際的微地震信號進行去噪，仿真與實驗結果顯示，K-SVD算法對于地震信號具有較好的去噪效果.何天遠[12]等根據壓縮感知(compressed sensing，CS)理論，將K-SVD算法引入到對振動信號的重構中，實驗結果表明，與其他方法相比，該方法具有更好的重構效果.史麗麗等[13]使用K-SVD算法對DCT字典進行訓練更新，對不同信噪比的水聲信號進行降噪處理，結果顯示單頻信號在信噪比較低時也具有較好的降噪效果，但沒有對線性調頻信號(linear frequency modulation，LFM)進行研究.

針對上述問題，本文將字典學習算法K-SVD引入到對水聲信號的去噪處理中，有效減少原子個數，并通過仿真分別對不同海況下的簡正波信號與LFM信號進行去噪處理.仿真結果表明，本文方法對不同海況且不同形式的水聲信號都具有較好的去噪效果，信噪比增益可達到20 dB.

1 基本理論分析

根據簡正波理論來建立水聲傳播模型，其中去噪方法為基于稀疏分解理論的正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit，OMP)和K-SVD算法.其中OMP算法是一種信號稀疏表示方法，該方法可以在過完備原子庫中選擇少量具有信號的特征原子將信號稀疏表示，從而得到信號的有用分量；K-SVD算法是一種字典學習算法，基于當前字典的稀疏系數，通過迭代交替更新字典中的每個原子，直到達到最優解.

1.1 簡正波理論

目前，計算聲場的方法有很多，包括射線追蹤、拋物方程方法、快速場程序、多徑擴展技術和簡正波理論等[14].通過簡正波理論可以準確細致地描述聲場，而且特別適用于淺海、低頻和遠場問題[15].簡正波解可以通過距離函數Rl(r)和特征函數ψl(z)的乘積來表示，如下式所示

(1)

其中r為水聽器到聲源的距離，z表示水聽器所處位置的深度.將上式帶入聲壓方程可得簡正波的特征方程

(2)

其中，k(z)=2π/λ表示波數，λ為波長.最后，淺海聲場聲壓的簡正波可以通過求解格林函數得到

(3)

其中，vl=kr+iδl為簡正波的復本征值；kr表示水平波數，δi<0為簡正波的衰減系數.本文根據上式所示的傳播模型進行仿真，獲取波形預報[16].

1.2 稀疏分解理論

稀疏分解理論最早是由法國科學家Mallat等早在上世紀90年代提出的[4]，在信號處理和圖像去噪方面得到較為廣泛的應用[17].常用的稀疏分解算法有匹配追蹤算法(matching pursuit，MP)、正交匹配追蹤算法OMP以及它們的變體形式.其原理是將從過完備原子庫中選擇的少數原子線性組合，即以較少的信息表示信號的特征，可用公式表示如下

(4)

其中MP算法的原子選擇過程如下：首先從過完備原子庫D∈RN×M中選出與輸入的N維信號矩陣F最匹配的原子d0，即信號與原子之間內積的最大值，使其滿足

|[F,d0]|=sup|[F,di]|,

(5)

其中|[F,d0]|表示信號矩陣F與原子d0的內積，d0為第一次尋找到的最優原子.此時，信號F可表示為

F=[F,d0]d0+R1F,

(6)

式中[F,d0]d0是信號矩陣F在最匹配原子上d0的投影，R1F是信號矩陣F首次分解后的殘差信號.然后對殘差信號重復式(5)與式(6)的過程，即

RkF=[RkF,dk]+Rk+1F.

(7)

對信號矩陣F進行多次分解后信號可表示為

(8)

上式表明信號矩陣F可由分解K次后所選原子的線性組合與分解殘差之和表示.在分解過程中，由于迭代次數的增長，殘差信號的值會接近于零，所以最后的信號矩陣F可表示為

(9)

OMP算法所用原子選擇方法與MP算法基本相同，其不同之處在于：對所選的全部最優原子，在分解過程中進行Schmidt正交化處理，選擇過的原子不會再次使用，這使得在重構精度要求相同的條件下，OMP算法具有更快的收斂速度[18].OMP算法的稀疏表示過程如圖1所示.

稀疏表示的目的是通過稀疏解析過完備字典上的信號，以較少的系數更完整地描述信號[19].當基于稀疏表示理論對含噪信號進行分解時，將殘差近似視為噪聲，然后用過完備字典和相應的稀疏表示系數重構信號，將其視為去噪后的有用信號.這使得運用稀疏表示來對信號進行去噪成為可能.

1.3 K-SVD算法

作為稀疏分解模型的基本組成部分，過完備字典的設計是非常重要的問題.一個合適的過完備字典可以增加稀疏表示的稀疏性，并且可以在各種應用中實現更好的表示.采用訓練字典來對信號進行稀疏表示，不需要知道信號的先驗信息，對于任意信號都可以自適應的對其訓練匹配，直到誤差達到指定閾值時即可得到最優解.本文在沒有先驗信息的條件下隨機生成DCT字典，并加入字典學習算法K-SVD對字典中的原子進行訓練更新.因為訓練字典中加入了監督學習的過程，所以其中原子的個數大大減少，降低了算法的計算復雜度.

K-SVD算法是由Elad等[10]在2006年提出的一種字典學習算法，該方法是K-means算法的變形，主要運用了聚類的思想.在每次循環更新字典中的一個原子和對應的稀疏系數，在更新一個原子時，其它原子固定不變，在循環結束后，字典中的所有原子與相對應的稀疏系數同時得到更新.

K-SVD算法的主要思想可以通過求解以下模型的最小化問題來描述

(10)

其中X為稀疏系數矩陣，T0為信號的稀疏度，即稀疏系數中非零元的個數.(10)式是一個帶有約束的優化問題，可以采用拉格朗日乘子法將其轉化為如下形式

(11)

(12)

(13)

(13)式所示的優化問題可以通過奇異值分解(singular value decomposition，SVD)來進行求解.

2 去噪處理計算

本文去噪算法流程如圖2所示.首先隨機構造DCT字典D，然后使用OMP算法求得稀疏系數矩陣X，之后根據稀疏系數矩陣X與訓練樣本F對字典進行循環更新，當誤差達到指定值時退出循環，得到訓練后的字典D′，最后在新字典D′的基礎上再次使用OMP算法得到新的稀疏系數矩陣X′，根據(4)式得到去噪后的重構信號Y′.

圖2 去噪算法流程圖

本文所用的去噪算法為OMP算法和K-SVD算法.具體實驗步驟如下：

根據簡正波方程即公式(3)進行波形預報，獲取時域波形，得到仿真水聲信號.

(14)

(15)

根據模擬的真實海洋環境在仿真水聲信號中加入海洋噪聲得到含噪信號F.

字典構造：使用離散余弦變換構造完備DCT字典D，如下式所示：

(16)

稀疏表示：使用OMP算法求解字典中每個原子di的稀疏系數xi，并得到稀疏系數矩陣X.

(17)

信號重構：在新字典D′的基礎上再次使用OMP算法對含噪信號進行稀疏表示，得到新的稀疏系數矩陣X′，運用下式得到最終去噪后的重構信號Y′.

Y′=D′X′.

(18)

3 仿真結果分析

為驗證本文方法的可行性和有效性，對不同海況下即不同信噪比的仿真低頻水聲信號進行去噪處理，驗證該方法的去噪效果。基于2013年在黃海實驗的真實海洋環境數據進行仿真，首先根據簡正波方程即公式(3)進行波形預報，發送信號頻率為500Hz，采樣頻率為1kHz，仿真簡正波信號及頻譜如圖3所示。為驗證該方法對于不同形式信號的去噪效果，我們對頻率位于200～400Hz之間的線性調頻信號進行仿真，其時域波形與頻譜如圖4所示。根據被動聲納方程，假設聲源可全方位接收，聲源級為120dB，接收指向性指數為0。表1為根據文獻[20]得到的不同海況與不同頻率下的淺海噪聲級數。

圖3 仿真簡正波及頻譜 圖4 仿真LFM信號及頻譜

表1 淺海噪聲級數 (dB)

根據被動聲納方程，假設聲源與水聽器間的傳播損失為 40 dB，并根據表1中不同海況時的淺海噪聲級數計算可得，在平穩海況下且信號頻率為 500 Hz 時的接收信號信噪比約為 5 dB。在極端海況條件下接收信號信噪比為 -6 dB.

實驗參數設置如下：DCT字典行數與信號長度N相等為 1 000，根據文獻[21]，如果采用傳統稀疏分解算法時過完備字典中的原子個數應設置為52 (Nlog2N)，約為 518 284 個，因本文采用訓練字典，所以原子個數不必遠遠大于信號長度，可縮短程序運行時間，這里設置為信號長度的2倍即 2 000；稀疏度選擇10，誤差為1×10-6，在此條件下循環100次后觀測結果.

圖5和圖6分別顯示了仿真簡正波在平穩海況與極端海況下的去噪結果.從圖5(a)中可以看出，在平穩海況下，接收到的信號被噪聲干擾，時域波形出現毛刺現象.如圖5(b)所示，經過本文方法去噪后，時域波形變得更加平滑，重構信號信噪比為 25.07 dB.從圖6(a)中可以看出，在極端海況下，接收到的信號時域波形已經完全被噪聲淹沒，看不出有用信息.如圖6(b)所示，在經過本文方法去噪后，可以明顯看到時域波形，且頻域波形更加平滑，重構信號信噪比為 13.73 dB.仿真結果表明本文方法對于單頻簡正波信號有較好的去噪效果，在2種海況下的信號信噪比增益均可達到 20 dB 左右.

圖5 平穩海況下對仿真簡正波的去噪結果

圖6 極端海況下對仿真簡正波的去噪結果

圖7和圖8分別顯示了仿真LFM信號在平穩海況與極端海況下的去噪結果.從圖7中可以看出，在平穩海況下，接收信號的時域和頻域波形因噪聲而變得模糊.經過本文方法去噪后，時域與頻域波形更加平滑，重構信號信噪比為 25.29 dB.從圖8中可以看出，在極端海況下，接收信號的時域與頻域波形均被噪聲完全淹沒.經過本文方法處理后，可以看到噪聲得到明顯地去除，重構信號信噪比為 13.62 dB，且從頻譜圖中可以看出信號頻率在 200 ～400 Hz 之間，符合實驗預期結果.

圖8 極端海況下對仿真LFM的去噪結果

為驗證本文方法在極低信噪比下的去噪效果，將接收信號信噪比設為 -20 dB，并在相同的仿真環境下對其進行去噪處理，結果如圖9所示.從圖 8(a)中可知，在極端海況下還可以看出接收信號的頻率為 500 Hz，但在圖9(a)中已經完全看不出接收信號的頻率信息.在經過本文方法去噪后的信號時、頻域圖像如圖9(b)所示，可以明顯看出去噪后重構信號的時域波形，且信號頻率為 500 Hz，證明本文方法在極低信噪比下對噪聲同樣具有較好的抑制效果.

圖9 極低信噪比下對仿真簡正波的去噪結果

4 結語

針對復雜多變的海洋環境，為更好地去除海洋噪聲對接收信號的干擾，本文將字典學習算法引入到水聲信號的處理過程中.并通過仿真對不同海況下的簡正波信號與線性調頻信號進行去噪處理，仿真結果表明，該方法在低信噪比的條件下對不同形式的信號都有較好的去噪效果.同時對極低信噪比下(SNR=-20 dB)的接收信號進行去噪處理，發現信噪比增益均可達到 20 dB.