分形理論下基于時間序列的音樂識別研究

高 莉

(湖北仙桃職業學院 教育學院 ，湖北 仙桃 433000)

音樂存在于人們生活中的各個地方，人們可以用音樂表達內心的情感，同時也可以用音樂進行人與人之間的溝通交流[1].音樂以及其它語言類學科，都屬于具有顯著代表性的認知模式.隨著科學技術的發展，對于音樂的研究不僅僅局限于對音樂的欣賞和分類，更多則是傾向與音樂信號的識別，當前關于音樂信號識別的研究包括很多方向，如音樂搜索查詢、音樂生理學和自動生成曲目等[2].

音樂信號的識別不僅可以運用于心理學和生理學[3]，也可以運用于音樂數據庫的搜索查詢以及自動作曲.互聯網信息時代的飛速發展，音樂信號的信息量非常大，音樂的搜索和數據信息的分類非常復雜且困難，要對音樂搜索系統進行智能化升級和高效管理，就需要對音樂信號的特征進行研究，從而對音樂進行正確的分類[4].當前比較通用的歌曲檢索方式就是在網站內輸入歌曲的名字或者歌詞的內容，但是在實際情況中，人們總是會忘記歌曲的名字或者歌詞，但是不會忘記曲目的旋律，因此在該種情形下就要對自己能哼出的音樂旋律進行特征分析，從而得到信號特征進而在系統庫內進行目標匹配.

基于此，本研究基于分形理論和混沌特性，分析不同音樂曲目的Lyapunov 指數和關聯維數，從而判斷不同音樂信號的時間序列特征和分形程度，為音樂信號識別的智能化發展提供現實依據.

1 分形理論

1.1 分形理論的質性分析

分形指的是在規定的意義下部分與整體自相似的部分[5].而在相關文獻中定義“分形”屬于M維空間內的某個點集的集合，在不一樣的方向上含有自相似性，而且含有一個不完整位數(小于M)[6].也有學者表明“自相似性”跟“分形”的結構相似，指的是整體同部分的相似之處，在直觀方向存在一種構造圖，前后2部分僅僅是標度不一樣，其余部分的構造方式都相同.觀察的部位不管是近處還是遠處，得到的結果都一致，學者們就把這種圖稱作含有自相似的框架.如果在改變圖形的尺寸過程中，其余部分的結構并沒有改變，此時該圖形就叫做分形[7].整體上來說，分形的特性包含3個部分：部分和整體具有相似特質、構造細致和非整數性(關聯維數).音樂則可以在空間序列上產生整體同部分的自相似性，而且逐漸地發展成為細致精確的結構，該種含有自相似性構造的現象就叫音樂分形.

關聯維數算法把一維序列中的數據組合成為相空間內的n維向量a=(a1,a2,…,An),把向量往后挪動h(h為整數而且是取樣間隔)，從而形成n維空間內的不同向量a′=(a1,a2,…,An+h)[8].根據穩定的間隔h向右依次挪動就能夠獲得相空間內的點集合{ax}x=1,2,…,K,而集合內點的個數可以由K=k-h+1計算得來.

于點集合內隨機取一個點當作參考點，以這個點為中心畫圓(半徑為r)，再統計該圓內除了中心點以外點集合內的其他點數，從而獲得關聯函數F，如下式所示：

(1)

其中G代表Heaviside 函數.

如果K趨近于無窮大，那么關聯函數W是集合內點間距離的概率函數，設此時吸引子伸展量的最大值為D，此時W的表示公式為：

(2)

其中，L2(n,r)屬于根n和r相關的常數，L2屬于關聯函數曲線的斜率.

如果r1和r2之間的相對距離非常小，則L2(n,r)的計算方法如下式所示：

(3)

其中，d為吸引子中的伸展量，如果r非常小，就可以計算出關聯維數.若曲線的斜率隨著嵌入維數的增大而增大，則說明沒有分形的特征.如果曲線的斜率隨著嵌入維數的增加而慢慢形成一個穩定值，則表明含有分形的特征.時間延遲h的規定條件有2個：一個是與數據采集時間間隔成倍數關系；另一個是取值要適當，過小會導致獲取信息會很困難，過大會導致測量存在較大誤差，根據相關文獻，h的取值在接近15時，獲得的關聯維數最合適.

1.2 音樂中混沌現象的特征

音樂屬于非線性動態系統[9]，其非線性動態特性內部存在著一定的深層次規律，對其內部規律進行研究可以分成2種序列：時間序列和空間序列.在時間序列上，音樂表現出的形式是由有序慢慢轉變成無序，由有序轉變成無序的運動序列叫做混沌序[10].關于音樂的非線性解釋，一般都是音樂線條的非旋律化，而分形理論的核心特征是：無序性、不平衡性以及不確定性.

在創作音樂作品時，多種音樂現象能組成某種確定的比例關系，如果把某個主題當作作品的起始條件，那么在時間序列以及空間序列軌跡上都會產生一定程度的改變，比如：某段旋律不斷重復、逆行和倒影等，接著以特定比例進行擴大和縮小，這些音樂現象都包括在音樂線性過程內.音樂的存在形式很多，包括音樂的基本屬性、音樂的一般變現方式、音樂的制作以及演奏，這些都有著復雜的時間序列和空間序列，其時空痕跡的擴散也非常復雜.所以，利用非線性的思維和方式進行音樂的特性分析，能夠反應音樂最本質的特征[11].時間序列(混沌序)的特征包括：

1) 邊界性 混沌含有吸引域，它的活動范圍一般情況下都是特定的，且不會因為混沌內部結構的改變而改變.

2) 普遍性 不同的非線性系統內，混沌序都會含有相同的特質，而且不會因為外界環境的的改變而改變，這就是混沌的基本屬性.

3) 分形維度 在同一個空間里的混沌序，其運動軌跡的重合可以表示成分形維度，該分形維度能夠分為數個種類，本文使用的分形維度是關聯維數[12].

4) 量化特質 對于混沌序，能夠運用Lyapunov 指數[13]研究其穩定性，如果該指數比零大，就表明該混沌序不穩定，運動軌跡會根據指數產生分離.該指數的絕對值可以表明序列的混沌程度，距離靠近的點之間，點內部的信息丟失量會因為該指數絕對值的增大而提高，序列或者系統的混沌特性就能夠易于被發現.

2 音樂分形實驗及分析

2.1 實驗準備

1) 實驗設備 本研究運用Matlab 構建一個快速數字化樂音仿真模型，該模型基于1組正弦波，經過音色修飾后合成音樂進行播放，其中音色修飾分為音強隨時間的自然衰減包絡和各諧波成分的能量分配兩個部分.運用格式工廠把將 MP3 格式的音頻轉換成Matlab可以直接讀取的WAV 格式，同時利用其截取的功能對音樂片段進行時長截取.

2) 音樂材料 選擇3種不同類型的音樂進行分析，分別是鋼琴曲、流行樂和哀樂，如下表1所示：

表1 音樂材料性質

3) 音樂信號提取 第1，運用格式工廠把MP3格式的音樂轉換成WAV格式，接著進行小節劃分和A/D轉換.第2，分析混沌特性，根據Lyapunov 指數的大小判斷信號是不是含有混沌特性，也就是時間序列.第3，基于關聯維數算法判斷關聯維數，從而分析音樂分形的復雜程度.

2.2 音樂信號劃分

本研究選擇3首不同的音樂信號進行劃分，結果如圖1所示.

A.《致愛麗絲》； B.《Discotheque》； C.哀樂圖1 不同音樂信號劃分結果

由圖1可以看出，鋼琴曲《致愛麗絲》的總時長是 190 s，分成106個小節，每節 1.79 s.流行音樂《Discotheque》的總時長是 74 s，分成35個小節，每節 2.11 s.哀樂的總時長是 70 s，分成32個小節，每節 2.19 s.

2.3 混沌特性和分形程度分析結果

首先，對鋼琴曲《致愛麗絲》的混沌特性和分形程度進行分析，結果如圖2所示.

圖2 《致愛麗絲》不同小節的Lyapunov

由圖2可以看出，鋼琴曲《致愛麗絲》的Lyapunov 指數上下浮動區間是在[0.02,0.25]之間，而關聯維數在[13,17.8]之間.經典鋼琴曲的維數起伏非常顯著，表明其分形程度比較強烈.鋼琴曲的創作難度非常大，同時其創作的過程非常繁瑣，這就表示作曲家的能力要很強，特別是針對是經典的鋼琴曲.

其次，對《Discotheque》的混沌特性和分形程度進行分析，結果如圖3所示.

圖3 《Discotheque》不同小節的Lyapunov 指數和關聯維數

由圖3可以看出，《Discotheque》的Lyapunov 指數上下浮動區間是在[0.006,0.008 1]之間，而關聯維數在[9.901,15.001]之間.《Discotheque》屬于流行曲風，其創作過程相對來說比較簡單，但是該曲種的節拍非常強烈，也由非常強的動感，在演奏時音符的改變會充滿了隨機性，這就導致《Discotheque》的關聯維數改變不及鋼琴曲顯著.

最后，對哀樂的混沌特性和分形程度進行分析，結果如圖4所示.

圖4 哀樂不同小節的Lyapunov 指數和關聯維數

由圖4可以看出，哀樂的Lyapunov 指數上下浮動區間是在[0.052,0.159]之間，而關聯維數在[9.997,16.987]之間.哀樂一般是表示對逝者的思念和沉痛心情，其節奏的改變都是在相應的范圍之內，主題的表達非常簡單，主要就是為哀痛和不舍，所以哀樂的關聯維數改變程度最低.

2.4 不同差分后的關聯維數

為了保證關聯維數的穩定性，對3種曲目的音樂信號進行差分求解，結果如圖5所示.

由圖5可以看出，在進行不同階數的差分以后，不同曲目信號的關聯維數都在不同階數下的波動非常微弱，因為試驗過程存在一定的誤差，因此可以認為，不同階數下關聯維數基本沒有改變，說明不同曲目信號內的分形程度具有穩定性.

A.《致愛麗絲》； B.《Discotheque》； C.哀樂圖5 不同差分階數下的曲目關聯維數

3 結語

本研究為了對不同性質的曲目音樂分形的復雜程度進行分析，通過對鋼琴曲、流行樂和哀樂進行音樂信號分析，根據Lyapunov 指數的大小判斷信號是不是含有混沌特性(時間序列)，并根據關聯維數算法判斷關聯維數，從而分析音樂分形的復雜程度.從結果來看，鋼琴曲的分形程度最高，流行樂次之，哀樂的分形程度最低，而不同曲目內的信號分形程度具有穩定性.本研究也存在一定的不足之處，選擇曲目的種類比較少，這會對文章結果的普適性產生一定的影響，這也是文章下一步研究需要改進的地方.