趣談超越數E的計算實驗與應用

荊榮麗，葛書榮

（安康職業技術學院，陜西 安康 725000）

0 引言

中學時代我們就接觸過自然對數的底數e，起初只知道它是一個數學符號，作為特殊的對數用于高級別的數學運算之中。隨著對高等數學的學習，漸漸地我們發現關于e的計算越來越多，同時用到的范圍也愈來愈廣，不僅逐漸滲透到物理、生物、化學、計算機等各門學科，甚至應用到金融、股票等行業的預測、分析。由此可見e在高等計算中扮演著十分重要的角色，將對于我們后期在各領域深入學習及研究會密不可分。但是，在國家規范教材中不可能拓寬e的介紹，只能是一帶而過，僅限于應用，使得同學們對e的知識背景了解甚少，只當它是一個符號，根據計算公式代入規范運算而已。下面將從e與常用數的對比、e的計算、e的應用幾個方面作以探討，使得學習者通過計算實驗及其應用對已學知識再進一步理解，在提升對知識的認知能力的同時也提高了自己的理解能力，增強應用能力，培養創造能力。

1 代數數和超越數的定義

要給超越數下定義，首先要說代數數。一般地，滿足有理數系數方程的復數我們稱之為代數數。即：如果a0、a1、……、an為一組有理數，復數ξ滿足方程

反之，不能滿足有理數系數方程的數就稱之為超越數。人們最常接觸的并已得到證明的超越數就有e和π。關于e和π的超越性證明已經有很多版本了，我們就不在這里闡釋。

2 計算中用到的計算公式

自然數e最先是瑞士數學家歐拉在1727年使用的。正好是歐拉先生名字Euler的第一個字母。后來，人們為了紀念這位偉大的數學家，確定把e作為自然對數的底數。自然常數自使用之日起，經歷的每個時代都有無數科學家致力于對它的研究。從最初得到的數列{}的極限為定義，歐拉自己還用連分數來表示，到利用泰勒展開得到級數進行計算，直到現代，人們又發現了一種用連乘表示的計算方法，無不體現科學家們不斷探索發現的精神，不懈努力的結果。隨著計算方法的進步和計算工具的提升，到20世紀60年代，人們已經把e算到了小數后萬位。下面選用最常見、最基本的計算方法，利用C語言編程來實現e的計算，體驗指令計算機進行繁雜計算的喜悅的同時更加深入了解算法的意義。

e的泰勒級數公式：

3 計算實驗

（1）泰勒級數計算公式：

C語言程序[2]：

實驗結果：

① 當x=100時，e=2.718281801146385

② 當x=1000時，e=2.718281817452791

③ 當x=105時，e=2.718281828436257

④ 當x=107時，e=2.718281828443936

參考值：取e的小數點后20位為2.718281828459045 23536

結果分析：

表1 近似值，誤差表

①經過計算實驗結果和參考值對比，隨著參與計算的項數增多，計算結果越來越接近參考值，也就是越來越提高了e的精確度，符合泰勒級數公式中n→∞的趨勢計算要求。

②從誤差來看，隨著x取值越來越大誤差越來越小，借助不等式④的結論來看符合實際預測結果。

參考值：取e的小數點后20位為2.718281828459045 23536

結果分析：

表2 近似值，誤差表

①經過計算實驗結果和參考值對比，隨著參與計算的項數增多，計算結果越來越接近參考值，也就是越來越提高了e的精確度，符合極限定義中的趨勢計算要求。

②利用借助平均不等式⑤的結果來檢驗誤差，也可以看到隨著n的增大，e值也來越大，越來越接近參考值。從而證明程序的可信度很高。

4 e的應用

（1）復利率與自然數e

實際上，公式⑦描述了自然界物質變化過程的物理運動模式——指數增長或指數衰變。自然現象中的物質變化是連續不斷的，運動中的“利息”也自認而然的不斷自動加入到“本金”中去。例如，植物的生長——新生長的部分馬上參與母體一起再生長。這就是大自然的復利率e[3]。

（2）e與自然界的美[4]

生活中的裊裊炊煙、平靜的湖面突然彈開的微微漣漪、小雨過后蝸牛爬過的足跡、海邊偶拾的完美海螺等等，這些漂亮的曲線都是以渦形或螺旋形的形式存在，其表達形式竟然和自然數e息息相關的。一般地為了便于描述，把e或由e經過變換或復合而形成的形式叫做“自然律”，所以，“自然律”的核心就是“e”，e是自然律的一種量的表達，螺線是自然律形的表示。常用螺線有對數螺線、阿基米德螺線、雙曲螺線。1683年，著名數學家笛卡爾首先描述了對數螺線，也叫等角螺線。其方程式是：

其中，ρ為極徑，φ為極角，a、k、e為常數。

圖1 螺線圖

自然生活中的螺線舉不勝舉，例如人的指紋、內耳結構、昆蟲接近光源的路線、螺旋狀的蛋白質多肽鏈、核酸的分子結構……。自然界這些有形的、無形的；有序的、無序的；有機的、死寂的都能用e表達出量的規律，從而反映事物自身活動特點，不僅展示了自然界美的視角，還為人們的研究提供了捷徑和便利。

5 結束語

科技的日益發展，技術的不斷革新，使得我們探索研究的范圍更為深遠廣闊。數學這片浩瀚的大海蘊藏著無窮無盡的奧秘，它指引著我們不斷地去探索、發現、總結。