基于問題串 從淺層走向深度

黃世貴 劉賢虎

摘 要 “分段計費”一課教學設計通過問題串引導學生自主探究、協同學習，以知識結構和數學思想方法為主線，教學結構變“教師講授為主”為“教、學、做”合一與多元交互。學生在結構化的探究中形成結構化思維，從淺層學習走向深度學習，在學習中學會學習。

關鍵詞 分段計費 問題串 結構化 淺層深度

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《數學課程標準》）中指出：“教師要引導學生獨立思考、主動探索、全體交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想方法，獲得基本的數學活動經驗。”[1]如何培養學生的學習能力，可以先將每節課的核心問題與學習任務整合，分解成邏輯關聯、層層深入的問題串，一次性呈現，讓學生獨立思考，主動探究，相互協同，交流反饋，進而得出結論，形成較為深刻的認識，實現深度學習。下面以人教版小學數學五年級上冊“分段計費”為例，談談具體做法。

一、基于深度學習的教學目標設計

1.讓學生經歷觀察、分析等數學活動，自主探究分段計費問題的數量關系，能運用分段計算的方法正確解答這類實際問題，進一步提升解決問題的能力。

2.在分段計費問題的解決過程中，培養學生獨立思考的意識，能從不同的角度分析和解決問題。

3.學生體會解決問題的一般方法，積累解決問題的活動經驗，初步感悟函數的思想。

教學重點：運用分段計算的方法正確解決分段計費的實際問題。

教學難點：探究分段計費問題的數量關系，積累解決這類問題的活動經驗。

二、教學過程

（一）問題引發，感知計費規則

問題1：同學們，你們跟爸爸媽媽坐過出租車嗎？知道打車的費用是如何計算的嗎？

預設：①根據打車的里程和乘車時長綜合計算出來的，路程越長，時間越久，所需要的費用就越多。

②我還知道打出租車有起步價，比如3公里以內11元;超過的部分再另外計費。

問題2：我國某個城市的出租車計費標準：3千米以內7元;超過3千米的部分，每千米加收1.5元（不足1千米，按1千米計算）。李叔叔有一次打出租車，下車時付了7元，那出租車的里程表顯示的千米數可能是多少呢？

問題3：如果里程表顯示行駛了4千米，李叔叔還是付7元嗎？

預設：不是7元，而是付8.5元，因為根據計費標準，前面的3千米收費7元，后面的1千米屬于超過3千米的部分，要另外加收1.5元，所以是7加1.5等于8.5元。

問題4：原來要將4千米分成了3千米和1千米兩個部分，根據收費標準分段計費再相加算出車費。可見打車時計費不是完全按千米數×單價來計算的，需要分段。那出租車到底是怎樣計費的呢？這節課我們就一起來研究生活中的分段計費問題。

設計意圖：教師從打車的生活情境入手，結合學生的生活經驗，初步感知分段收費。接著以李叔叔付7元里程表可能顯示的千米數設疑，引發學生進行猜測、分析。在整理信息、理解信息中，學生逐步明確打車計費不是按照千米數×單價來計算，需要分段，而且每一段的收費標準不一樣，這為后面的深入研究打下基礎。

（二）問題探究，嘗試計費方法

師：你們是想老師帶著大家一步一步的去研究這個問題，還是自己和同伴一起研究？我們該如何研究這個問題呢？

預設：①和同伴一起研究。我可以舉例子，比方說甲乘客坐了多少千米，要求需要付多少錢;乙乘客坐了多少千米，要求需要付多少錢等等。

②我們在解決了這一類問題之后再總結規律，看看這一類問題該怎么解決。

師：數學的許多規律、法則、方法等，都是通過例子來說明的。這里就有一個例子，請看學習單：

問題1.楊叔叔坐了6.3千米，他應付多少錢？（想一想，算一算）

問題2.請你嘗試完成出租車價格表，除了用表格的形式表示收費情況，你能用其它的方式表示出分段收費嗎？ （填一填，畫一畫，說一說）

問題3.怎樣解決分段計費的實際問題？（想一想，寫一寫，說一說）

師：下面請同學們先獨立思考，我們先解決第一個問題。如果遇到困難，可以向周圍的同學小聲請教;完成得比較快的同學，也可以主動地幫助有困難的同學。

設計意圖：這一環節一次性呈現本節課主要研究的3個問題，從具體的數據計算，到制作價格表、畫線段圖等，再到分段計費方法的總結概括，逐層深入，整體呈現。學生前面對分段有了一定的認識，為完成這3個問題的探究打下良好的基礎。部分學生雖然對解決第3個問題有困難，但是積累了一定的思考，在啟發下，思維就會生長發芽。

（三）互動建模，理解分段計費

師：誰來說一說自己對第一個問題的想法？

預設：①前面的3千米是按7元來計費的，所以我是這樣計算的，6.3減去3等于3.3千米，3.3千米要按4千米計費，應該是1.5乘4再加7等于13元。

②先把6.3千米看作7千米，將每千米按1.5元來計費。那就是1.5乘7等于10.5元，前面的3千米只用了4.5元，根據計費規則，前面的3千米是按7元來計費的，這樣就少付了2.5元，所以最后的收費應該是10.5元加上少收的2.5元等于13元。

師：如果行駛里程是8.7千米，應該怎樣進行計算？為什么6.3千米、8.7千米都是用7元加上后面里程的費用？

預設：因為按照收費標準，前面3千米一定是7元，這個收費標準是固定的。只是后面里程不同，費用也不相同。都是要把這兩部分相加。

學生接下來完成第二、三個問題。

師：下面一起來分享一下對第二個問題的想法。

預設：出示表格（表1）。前面的3千米都是計費7元，到4千米時是8.5元，5千米時是10元，6千米時是11.5元，以此類推。

師：大家都非常善于發現規律，我們除了可以用列表法來表示出租車的計費情況，還有別的方式嗎？

預設：我是用畫線段圖的方式來表示的，首先用一條長的線段表示出行的里程數，再將這條線段平均分成十份，每份表示1千米，然后從0至3千米都是7元，以后的每千米都寫上1.5元。（如圖1）

師：誰看懂了他的想法？下面的圖2和圖3哪一種統計圖表示更準確？

預設：圖3表示更準確，因為每一段的費用是一樣，不是一種直線上升的過程，應該是一種階梯狀。

師：對于第三個問題，誰又有什么想法呢？

預設：①我覺得解決分段計費這樣的實際問題，首先要理解它的計費規則，然后要明確每一段是怎樣計費的，最后再把兩段的費用相加。

②我覺得最重要的是如何分段，要根據計費規則來分段，比如問題1中的6.3千米看作7千米以后，要把7千米分成3千米和4千米的兩段，而不能分成2千米和5千米。

小結：在理解計費規則的基礎上正確分段，后面一段要用“進一法”保留整數來計算，這些是解決分段計費問題的關鍵。

師：出租車為什么要分段計費呢？

微課介紹：出租車收費既有固定部分又含可變部分的方法，起步價是為了保證出租車司機的收益，接近大部分出租車的實際成本。按路程計算收費，太短的路程對幾乎所有運輸業來說成本都比較高。這種收費結構降低了出租車的里程費，乘客無需為較長的行程支付高于實際成本的價格，對于較短行程，也能保證出租車運行成本。

設計意圖：學生在匯報交流中思維不斷碰撞，逐步提升自己的理解和認識。互動建模分為三個層次，第一層次理解分段的含義，知道如何分段以及后面一段要先用進一法取近似值，再乘單價。第二層次學會用表格來表示分段計費的規律。第三層次嘗試用線段圖來表示、理解和解釋分段收費。在多元表征的同時，學生找到不同表征之間的聯系，感受行駛里程與車費的變化規律，初步體會函數思想，進而概括出分段計費的計算方法，促進學生的理解和內化。

（四）解決問題，應用分段策略

問題1.編一編：某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內的每噸2.5元;超過12噸的部分，每噸3.8元。

請你根據以上信息，補充一個條件后，提出一個數學問題并解答。

問題2.選一選：五（1）班35名師生照相合影。每人一張照片，一共需付（? ?）錢？ （一共需要35張照片。需要加印30張。）

（1）27.5+2.5 × 35

（2）30 × 2.5+27.5

（3）27.5+（35+5） × 2.5

問題3.比一比：王阿姨要把2.5千克的物品從東莞市寄往廣州市（同屬廣東省），她選擇哪家快遞費用比較便宜？

①號快遞：省內1千克以內10元，每超過1千克加收2元;省外1千克以內15元，每超出1千克加5元。（不足1千克按1千克計算）。

②號快遞：省內1千克以內9元，每超過1千克加收3元;省外1千克以內12元，每超出1千克加8元。（不足1千克按1千克計算）。

師：在生活中，除了水費、電費、沖洗照片和快遞采用分段計費以外，還有郵局寄信函，打固定電話、停車場收費等等，很多時候也是采用分段計費的，那它們又是如何計費的呢？這個問題就留給同學們課后去調查解決，希望大家都有一雙敏銳的眼睛，用數學的眼光去觀察，用數學的思維去分析生活中的數學現象，做一個熱愛生活、善于運用數學知識解決問題的好孩子！

設計意圖：解決問題環節安排了三道題，第一題學生編題有兩種可能，一是直接用單價×數量計算，二是需要分段計算，讓學生在對比中感受一般計費和分段計費的不同和聯系。第二題是不同情境下的分段計費，對“含5張照片”學生容易理解錯誤。第三題是綜合運用分段收費解決問題。這些問題都需要學生運用數學模型，學以致用。教師不是停留在評判對錯上，而是充分讓學生去分析、思辨、創造，進一步深化對分段收費的理解和運用，發展學生的思維。

三、總結反思

本節課較好地體現了數學“問題教學”的教學理念，它從教的設計轉向學的設計，以知識結構和數學思想方法為主線，教學結構變“教師講授為主”為“教、學、做”合一與多元交互。課堂文化則主張“支持和激勵的學習氛圍、獨立和協同的學習機制、結構化和板塊化的教學”[2]。其教學核心指向以下兩點：

（一）由淺層轉向深度

對知識的理解是深度學習的開始，在此基礎上，學生才會整合相關知識去運用、評價。本節課通過問題引領，促進學生由淺層感知轉向深度學習。首先，創設問題情境“付7元猜測可能坐的里程數”，從而引發本節課的本原性問題“出租車的計費為什么不是千米數×單價”，在喚起學生認知基礎的同時，激發學生探究的欲望。當學習內容和兒童的經驗建立聯系時，便于促進兒童的理解，嘗試復雜問題解決。其次，由本原性問題分解成三個問題并以問題串呈現，這些學習任務具有挑戰性，不能依靠記憶和模仿簡單問答，學生必須要選擇深度學習的方式來分析、解決。同時三個問題后面都有提示要點，指引學生如何走向問題解決。

問題串的整體呈現和解決讓學生對整節課的學習有了整體的認識，并且在研究的過程中，學生逐步總結出分段計費問題的解決思路與策略，形成結構化思維，提升深度學習能力。

（二）從學會走向會學

讓學生學會學習，就要把學習的主動權交給學生，意味著教師要從課堂的中心往后退。好的課堂應該是講著講著教師不見了，學生成為了學習的主人[3]。教師只是在適當的時候進行點撥、指引，一是將模糊不清的認識進行辨析，變為清晰;二是將對話的話題指向知識的本質，走向深刻。讓學生學會學習，就是教師不能只關注怎么教，而是要圍繞學生的學進行教學設計，關注學生有沒有學會、學會了什么、怎么學會[4]。同時，課堂的對話也應摒棄一問一答的局面，而應讓“生生對話”成為主旋律，讓語流在課堂流淌起來，這樣學生才能在自主、探究、思辨、協作中學習如何學習。

讓學生學會學習，就要讓學生去發現問題、提出問題、分析問題、解決問題。本節課研究的主要三個問題呈現進階的關系，學生在這種板塊化的探究中逐步形成結構化的思維。從具體到理性認識，從個例到普遍規律，整個探究的過程就是人類認識世界的歷程和學習發現的一般方法，學生經常經歷這樣的學習過程，在問題解決的同時，掌握有效的學習策略。

授人以魚不如授人以漁，借助復雜問題解決，學會深度學習，才是立足于未來社會的關鍵能力。

[參 考 文 獻]

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：3.

[2]梁淑穎.尋問題根源，覓解題佳徑：“分段計費”錯因分析與再思考[J].教師，2019（24）：69-70.

[3]劉賢虎.基于深度學習的問題教學略論：以小學數學教學為例[J].中國教師，2019（11）：77-79.

[4]楊惠娟.滲透數學思想方法 發展學生數學素養：以“小數的含義和讀寫”教學為例[J].小學數學教育，2017（6）：36-37.

[5]崔允漷.指向學科核心素養的教學即讓學科教育“回家”[J].基礎教育課程，2019（Z1）：5-9.

（責任編輯：楊紅波）