變換中點位置 生成解題模型

左效平

【中考真題】

（2020·湖北·黃岡）已知：如圖1，在[?]ABCD中，點O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E，求證：AD = CE.

解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD[?]BC，∴∠D = ∠OCE，

∵[∠D=∠OCE]，[OD=OC]， [∠AOD=∠EOC]，∴△AOD ≌ △EOC（ASA），∴AD = CE.

【構建模型】

平行四邊形提供了一組平行線，已知一條線段的中點，可構成中點型全等三角形. （如圖1）

基本模型1：如圖2，已知AC = CB， AD[?]BE，則△ACD ≌ △BCE.

基本模型2：如圖3，已知AD是△ABC的中線， AB[?]CE，則△ABD ≌ △ECD.

【應用模型】

1.中點在平行四邊形的邊上

例1（2020·浙江·紹興）如圖4，點E是[?]ABCD的邊CD的中點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F.（1）若AD的長為2，求CF的長.（2）若∠BAF = 90°，試添加一個條件，寫出在該條件下∠F的度數.

解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD[?]CF，

∴∠DAE = ∠CFE，∠ADE = ∠FCE，

∵[∠DAE=∠CFE]，[∠ADE=∠FCE]，[DE=CE]，

∴△ADE ≌ △FCE（AAS），∴AD = CF，∵AD = 2，∴CF = 2.

（2）若∠BAF = 90°，當∠B = 60°時，∠F = 90° - 60° = 30°（答案不唯一）.

2.中點在平行四邊形的對角線上

例2（2020·江蘇·淮安）如圖5，在[?]ABCD中，點E，F分別在BC，AD上，AC與EF相交于點O，且AO = CO.（1）求證：△AOF ≌ △COE;（2）連接AE，CF，則四邊形AECF （填“是”或“不是”）平行四邊形.

解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD[?]BC，∴∠OAF = ∠OCE，

∵[OA=OC]，[∠AOF=∠COE]，∴△AOF ≌ △COE（ASA）.

（2）解：四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：由（1）得：△AOF ≌ △COE，∴FO = EO，

∵AO = CO，∴四邊形AECF是平行四邊形. 故應填“是”.

例3（2020·四川·廣元）已知O為[?]ABCD的對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F.（1）求證：△AOE ≌ △COF;（2）若AE ∶ AD = 1 ∶ 2，△AOE的面積為2，求[?]ABCD的面積.

解析：（1）如圖6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD[?]BC，∴∠EAO = ∠FCO，

∵OA = OC，[∠EAO=∠FCO]，[∠AOE=∠COF]，∴△AOE ≌ △COF（ASA）.

（2）如圖7，過點O作GH[?]BC，分別交AB，CD于點G，H，連接OD，

易證四邊形AGOE、四邊形EOHD、四邊形AGHD、四邊形BCHG都是平行四邊形，

∵AE ∶ AD = 1 ∶ 2，∴AE = ED，∴[S△AOE=S△DOE] = 2，∴△AOD的面積為4，

∴[?]AGHD的面積為8，∴[?]ABCD的面積為16.

3.構造對角線的中點

例4（2020·湖北·孝感）如圖8，在[?]ABCD中，點E在AB的延長線上，點F在CD的延長線上，滿足BE = DF. 連接EF，分別與BC，AD交于點G，H. 求證：EG = FH.

解析：連接AC，交EF于點O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB[?]CD，AB = CD，∴∠E = ∠F，

∵BE = DF，∴AE = CF. ∵[∠AOE=∠COF]，∴△AOE ≌ △COF（AAS），

∴OA = OC，OE = OF，

同理可證△AOH ≌ △COG， ∴OH = OG，

∴OE - OG = OF - OH，即EG = FH.

4.中點在平行四邊形外

例5（2020·天津）如圖9，[?]ABCD的頂點C在等邊三角形BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上，G為DE的中點，連接CG. 若AD = 3，AB = CF = 2，則CG的長為 .

解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD = BC，CD = AB，DC[?]AB，

∵AD = 3，AB = CF = 2，∴CD = 2，BC = 3，∴BF = BC + CF = 5，

∵△BEF是等邊三角形，∴BE = BF = 5，

延長CG交BE于H，∵DC[?]AB，∴∠CDG = ∠HEG，

∵[∠DGC=∠EGH]，DG = EG，∴△DCG ≌ △EHG（ASA），

∴DC = EH，CG = HG，∵CD = 2，BE = 5，∴HE = 2，BH = 3，

∵∠CBH = 60°，BC = BH = 3，∴△CBH是等邊三角形，

∴CH = BC = 3，∴CG [=12]CH [=32]. 故應填[32].