探求特殊四邊形中線段和的最小值

左效平 崔成進

探求線段和的最小值問題是中考的重要考點. 這類問題背景豐富，現舉例說明.

正方形背景下探求線段和的最小值

【構建模型】 在正方形中，一動點 + 兩定點，對稱點在形上，探求線段和的最小值.

【解答要領】 確定對稱點：根據正方形的對稱性，對稱點就是對角線的兩個頂點;確定線段和取最小值時動點的位置：對稱點和另一定點的連線與動點所在直線的交點;確定與線段和相等的最短線段：對稱點與另一定點構成的線段.

例1 如圖1，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD + PE的和最小，則這個最小值為（ ）.

A. ?2[3] B. ?2[6] C. ?3 D. ?[6]

解析：如圖2，∵正方形ABCD是軸對稱圖形，且點B，D是對稱點，

設AC與BE交于點P，連接PD，此時PD + PE最小，∴PD + PE = PB + PE = BE，

∵正方形ABCD的面積為12，∴AB = [23]，∴BE = AB = [23]. 故應選A.

【同步演練】 如圖3，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM = 1，N是AC邊上一動點，則△DMN周長的最小值是 .

菱形背景下探求線段和的最小值

【構建模型】 在菱形中，一動點 + 兩定點，對稱點在形上，探求線段和的最小值.

【解答要領】 確定對稱點：根據菱形的對稱性，對稱點就是對角線的兩個頂點;確定線段和的值時，動點的位置：對稱點與另一定點的連線與動點所在直線的交點;確定與線段和相等的最短線段：對稱點與另一定點構成的線段.

例2 已知菱形ABCD的周長為16，面積為8[3]， E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP + AP的最小值為 .

解析：如圖4，菱形ABCD是軸對稱圖形，且點A，C是對稱點，

連接CE，交BD于點P，此時EP + AP最小，

EP + AP = EP + PC = EC，

∵菱形ABCD的周長為16，∴其邊長為4，

過C作CF⊥AB，垂足為F，

∵菱形ABCD的面積為8[3]，∴CF = 2[3]，∴BF = [42-（23）2] = 2，

∴點E為AB的中點，∴點F與點E重合，

∴CE = 2[3]，∴EP + AP的最小值為2[3]. 故應填2[3].

【同步演練】 如圖5，在邊長為6的菱形ABCD中，∠ABC = 60°，E，F分別是BD，BC上的動點，則CE + EF的最小值為 .

矩形背景下探求線段和的最小值

【構建模型】 在矩形中，一動點 + 兩定點，對稱點在形外，探求線段和的最小值.

【解答要領】 確定對稱軸：動點所在直線;構造對稱點;構造與所求線段和相等的最短線段：對稱點與另一定點構成的線段.

例3 如圖6，在矩形ABCD中，AB = 4，對角線AC，BD交于點O，∠AOD = 120°，E為BD上任意點，F為AE的中點，則FO + FB的最小值為（ ）.

A. 2[7] ? ? ? B. 2 + [3] ? ? C. 5 ? ? D. 3[3]

解析：如圖7，過AB的中點M和AD的中點N作線段MN，

∵F為AE的中點，∴MF[?]BE，FN[?]ED，

∴M，F，N三點共線，即點F在線段MN上，

作點B關于MN的對稱點H，連接BH，與NM的延長線交于點G，

連接FH，則BH⊥NG，FB = HF，∴FB + FO = HF + FO，

其最小值應為OH的長，即點F為OH與MN的交點.

∵∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°，

∵四邊形ABCD為矩形，∴OA = OB，∴△OAB為等邊三角形，

∴OB = AB = 4，∠ABO = 60°，∵NG[?]BD，∴∠HBO = ∠HGF = 90°，

∴∠MBG = 30°，MB = 2，∴MG = 1，∴GB = [3]，∴HB = 2GB = 2[3]，

在Rt△HBO中，HO = [BO2+HB2] = [42+（23）2] = 2[7]. 故選A.

【同步演練】 在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 3，E，F分別是AD，CD上的動點，EF = 2，Q是EF的中點，P為BC上的動點，連接AP，PQ，則AP + PQ的最小值等于（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

同步演練答案：1. 6（提示：連接BM交AC于N'.） 2. 過點A作AF⊥CB，垂足為F，交BD于E，CE + EF最小值為3[3]. 3. C（提示：作點A關于BC的對稱點A'，連接A'P，DQ，當A'，P，Q，D在同一直線上時，AP + PQ的最小值等于A'D - DQ的長.）