開啟數學課堂的靈動之旅

杜巧云

摘要：幾何動點問題因為綜合考察學生知識應用能力，一直是幾何學習的難點問題。動點問題學習難點的攻克，對學生數學思維品質的發展有著不可估量的作用。本文將從軸對稱、輔助圓、旋轉三類解題模型，探討利用幾何畫板探究幾何動點問題。

關鍵詞：幾何畫板 解題模型 為學而教

一、軸對稱解題模型的應用——直觀展示，準確成圖

我們需要利用圖形的直觀來尋找思路，再通過數的準確計算解決問題。在解決動點問題時，若學生無法成圖，則利用幾何畫板的動態演示引導學生對比分析，將問題化抽象為具體，尋找運動變化中的那些量不變，圖形中又有哪些可利用的特殊位置關系。例 1： 如圖，在銳角△ ABC 中，AB = 4，∠ BAC = 45°，∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D，M、N 分別是 AD、AB 上的動點， 計算 BM + MN 的最小值。

評析：動點問題的本質是點的運動引發的圖形變化，題目中M、N 都是動點，BM 和 MN 都是不確定的值，造成思維上的障礙。可利用軸對稱變換將 MN 轉化 ME，拖動點 M 再現圖形變化，不難發現 MB 和 ME 的最小值 BE，拖動 N 的子對象點E 再現圖形變化， 可知 BE 的最小值為 BF，問題得解。動態的直觀的展示整個復雜的圖形變化過程，為學生尋找最值搭建思維的臺階。有效突破“想不到”的思維瓶頸，解決“畫不出”的現狀。

二、輔助圓解題模型的應用——追蹤軌跡，有跡可循

新課標對圖形變換提出了明確要求，“能夠準確觀察圖形， 還要會用語言描述的圖形運動形式，并能將其運動變化想象并外化為圖形。”動點引起的圖形變化有時很隱蔽，教師口述或者板書也很難讓大部分學生理解想象出來。幾何畫板追蹤點的軌跡， 化隱形為有形，給學生深度思考搭建腳手架。下面以定點定長加點圓最值模型為例。

三、旋轉解題模型的應用——條件搬家，化散為聚

當題目中的已知條件比較分散、有等長線段共端點、未知線段公端點，這時經常利用旋轉變換，將條件集中在某一特殊三角形中進行計算。常見的模型有，旋轉模型、費馬點模型、角含半角模型。畫板編輯中的移動點功能，構造旋轉變換，可完美的展示旋轉前后圖形相等的量，易于學生在旋轉變化圖形中尋找不變的量以及特殊三角形。

例 3：如圖，已知點P 為△ ABC 內一點，AB = 3，BC = 4，∠ ABC = 30°，計算 PA + PB + PC 的最小值。

評析：本題中 PB、PA、PC 共頂點，拖動點 P 三條線段的長度都會發生變化，這些不確定的因素成為解題的干擾。利用幾何畫板的移動點功能，構造 60°旋轉再現線段“搬家”過程，將三條星狀分布的共頂點線段 PB、PA、PC 轉化為 DE、EP、PC 首尾相連，拖動點 E、點 P 可知當 D、E、P、C 四點共線時和最小為DC，將條件聚集在△ DBC 中進行計算。構造旋轉模型“化星為折， 化折為直”，直觀感知圖形位置變化，讓學生在變化的圖形中認識永恒不變的幾何規律。

評析：平面內點M 為定點，點N 為主動點，點 A′為從動點， 且 MA′長度始終等于 MA，追蹤 A′的軌跡，是以 M 為圓心 MA 為半徑的圓。確定A′的運動軌跡，拖動點N 再現CA′的變化過程， 當 M、A′、C 三點共線時 CA′最小，最小值為 CF。展示 CA′ 的“前世今生”，在高階的思維探索中活化和遷移知識形成能力， 讓最值有跡可循。

四、為學而教——操作體驗，讓學習真正發生

幾何畫板探究解題模型的活動設計，要為學生“學習”而設計， 只有通過主體實踐活動才可形成能力。運用幾何畫板，不是教師直接展示最值位置讓學生記憶模仿。學生活動設計要以學為主， 讓學生親自構造和拖動動點，感知圖形的生成過程，經歷由動點帶來的圖形變化全過程，通過觀察、實驗、操作、透徹理解動點問題的經驗。

五、結語

幾何畫板具有強大的交互性和動態性，有效喚醒了學生對知識的好奇心，讓學生獲得參與探究的奇妙體驗，為數學課堂注入了新鮮的血液。愿我們在幾何畫板教學的引領下，讓學習在數學課堂真正發生，促進學生學習方式的變革與數學思維品質的提升， 開啟數學課堂的靈動之旅。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部著 . 數學新課程標準 [M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 汪正貴. 為“學習”而教 [N]. 中國教師報，2021-3-24（12）.

（周至縣二曲初級中學，陜西 西安 710400）