讓學生像數學家一樣思考

趙爽 錢守旺

【編者按】社會科學的高速發展，對人們的數學素養提出了更高的要求，而這也促使基礎教育必須做出相應的變化。基于此，兼具能力發展與實踐操作等豐富內容的數學拓展課進入了廣大教師的視野。一線教師如何提升自身專業素養，如何遵循《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求、學生發展規律等要素設計出高水平的數學拓展課？本期話題圍繞“小學數學拓展課的設計與實踐”展開探討。

縱觀數學史，許多著名的數學結論都是從猜想開始。雖然數學猜想的結論不一定正確，但它作為一種創造性的思維活動，是科學發現的一種重要方法。可以說，數學猜想不僅是推動數學理論發展的強大動力，也是推動科學發展的強大動力之一。猜想作為一種創造性的思維活動，該怎么教呢？如果能引導學生像數學家一樣去思考，經歷大膽猜想、小心求證的過程，無疑是培養學生猜想能力、提高創新能力、發展推理能力、激發學習興趣以提升核心素養的有效途徑。基于以上思考，筆者將世界三大數學猜想之一的“四色猜想”引入課堂，開發了五年級思維拓展課。

一、營造寬松的學習氛圍，讓學生敢于猜想

心理專家指出，緊張的學習氣氛制約著人們智慧潛能的發揮，而寬松民主的學習環境，可以誘發學生創新潛能的萌動。一個人的創造力只有在他感覺心理安全和心理自由的條件下，才能獲得最優的表現和發展。學生只有在這樣的課堂環境中，才會敢想、敢說、敢問、敢猜、敢辯。

《最強大腦》節目以“讓科學流行起來”為口號，以“讓更多年輕人愛上科學”為目標。節目中的智力游戲有助于提高選手和觀眾的觀察力、記憶力、空間力、創造力、推理力和計算力。其中有兩期節目是以“四色問題”為主題的，一期是拿破侖的四色禮物，一期是盧浮宮四色金字塔，正好與本節課教學內容相契合。因此，創設此情境，無論是形式還是內容，都為接下來的學習埋下伏筆，可謂一舉多得。

課前，先讓學生欣賞一段《最強大腦》比賽視頻。以視頻為媒介，借談話導入新課，消除了緊張的氣氛，拉近了師生的距離，調動了學生的情緒，激發了學習的興趣，為接下來的猜想從心理上做了充分的準備。課中，現實版的“最強大腦”填色游戲貫穿始終，吸引著學生全程積極參與，加上教師激勵性的評價語言，讓每一個學生都樂于猜想。教師尊重每一個學生的發言，答錯了也能體面地坐下，讓每一個學生都敢于猜想。

二、設計有趣的推理游戲，讓學生科學猜想

數學猜想是以一定的數學事實為根據，包含著以數學事實作為基礎的可貴的想象成分。沒有數學事實作根據，隨心所欲地胡亂猜想得到的命題不能稱之為“數學猜想”。數學猜想通常是應用歸納、類比的方法提出的。歸納猜想是一種由特殊到一般的推理形式，其思維過程為“特例—歸納—猜測”。類比猜想是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維過程為“聯想—類比—猜測”。四色猜想屬于歸納猜想。不管哪種猜想，都是一種合情推理，其結論具有或然性，不一定正確，需要進一步證明。

基于以上認識，筆者設計了現實版的“最強大腦”推理游戲，給泰森多邊形填色。游戲分初級、中級和高級挑戰三個層級，每一級勝出的學生都有資格進入最后的腦王爭霸賽，讓學生在填色游戲中經歷大膽猜想、小心求證的過程，不斷體驗挑戰的樂趣。隨著游戲不斷升級，學生的學習也從淺表逐漸走向深入。具體操作如下。

游戲規則：給泰森多邊形填色，要求每相鄰兩個多邊形顏色不能相同，使用顏色種類最少、用時最短并且填色均勻者為勝，顯示不全看不到公共邊的兩個圖形視為不相鄰。泰森多邊形對小學生來說是陌生的，但北京水立方像肥皂泡一樣的圖案卻是學生熟悉的，將兩者建立聯系，一下便拉近了學生和泰森多邊形之間的距離。

游戲從初級挑戰開始，要求按游戲規則給圖1填色。完成后對比觀察，發現最少是三種顏色。教師追問：“用四種顏色的能不能減少一種呢？”學生很快發現，紅色多邊形和黃色多邊形是不相鄰的，可以用同一種顏色來填。因此，把黃色改成紅色即可（圖4）。

游戲需要學生根據規則步步推理。既要保證相鄰兩個多邊形顏色不能相同，又要保證使用顏色種類盡可能少。對于規則，比賽之前筆者沒有做過多的解釋與提醒，學生出錯在所難免。而恰恰是在出錯、糾錯的過程中，提高了學生的推理能力，強化了對游戲規則的理解，為接下來的猜想埋下伏筆。

游戲進入中級挑戰，要求按游戲規則給圖2填色。教師先鼓勵學生大膽猜想：“多邊形數量增多，再用三種顏色，還夠嗎？”大部分學生猜不夠，認為圖形數量越多，用的顏色種類也越多。大膽猜想，小心求證，是科學研究的基本方法，也是培養學生的科學探究精神和創新能力，發展合情推理能力的有效措施。缺乏思考的驗證是盲目的，親歷失敗后，教師不用做過多強調，學生自會總結經驗教訓，先認真思考，再小心填色，多了理性，少了盲目，使驗證更加有效。通過對比觀察，學生發現三種顏色不夠，最少用四種。在匯報交流方法時，學生的發言特別精彩。一個學生說：“我先把中間的多邊形填上藍色，它周圍一圈的多邊形就不能用藍色了，我用‘紅—綠—紅—綠—紅—綠’交替著填，當填到周圍一圈的最后一個時，發現不增加顏色就撞色了，于是又增加了黃色。”（圖5）另一個說：“我是先把左下角的一個填上紅色，然后根據規則推理，把所有可能填紅色的都填上。再選綠色，把所有可能填綠色的都填上，以此類推，直到填滿。”這些都是最優的策略。筆者的評價“思維縝密、推理嚴謹”直指核心素養，給全班同學指明努力的方向。學生也在對話交流中分享收獲的喜悅，初步學會了科學合理地提出猜想，小心謹慎地驗證猜想。

三、制造尖銳的矛盾沖突，讓學生修正猜想

猜想是一種合情推理，其結論具有或然性。有的猜想被驗證為正確，成為定理，如本節課研究的四色猜想，現在可以稱為四色定理;有的猜想被驗證為錯誤，如歐拉猜想;還有一些猜想正在驗證過程中，如哥德巴赫猜想。教師在教學過程中需要有意設計，讓學生經歷“猜想—修正—再猜想”的過程，體會猜想的道路并不總是一帆風順，有時需要調整方向。

中級挑戰結束后，教師再讓學生用最優策略給圖6、圖7填色。很快得出結論：圖6最少用三種顏色，圖7最少用四種顏色。面對結論，學生產生了三個疑問：（1）為什么圖6和圖2多邊形數量相同，卻用了三種顏色？（2）為什么圖7多邊形數量較少，卻用了四種顏色？（3）顏色種類的多少，到底和什么有關呢？這些都是筆者期待的很有價值的問題。筆者啟發學生比較圖6和圖7中間圖形的邊數，再聯想涂色過程，很快發現了其中的奧秘：圖6中間圖形是六邊形，邊數為偶數，周圍相鄰的圖形按照“紅—綠—紅—綠—紅—綠”的順序正好填完，而圖2中間圖形是七邊形，邊數為奇數，按照同樣的順序填，最后會單出一個，不增加顏色就撞色，圖7也同樣。由此發現，顏色種類的多少和中間圖形的邊數有關。如果中間圖形邊數是奇數，則最少需要4種顏色。

教師巧設矛盾沖突，打破了原有的平衡，引發質疑，激發學生進一步探究。學起于思，思源于疑。小疑則小進，大疑則大進。新的發現，迫使學生對之前的猜想進行修正。帶著新發現，進入游戲的高級挑戰，要求按游戲規則給圖3填色。學生自覺地觀察“中間圖形”（周圍有一圈多邊形的圖形）邊數，發現圖3的“中間圖形”不止一個，并且五邊形、六邊形、七邊形都有。根據剛才新發現推測，3種顏色肯定不夠。多邊形的數量增加了很多，邊數也復雜了很多，4種也可能不夠，所以猜5種。驗證猜想時，學生又提出填色時能不能只涂一個點代替，在此啟發下又想到可不可以用數字代替，省下換彩筆的麻煩。學習就是這樣一個認真傾聽、相互啟發、不斷改進的過程。遇到復雜的問題能想到化繁為簡，用抽象的數學符號代替填色，說明學生已經在自覺地用數學的思維思考現實世界了。

驗證猜想時學生驚奇地發現，大部分同學的猜想是錯誤的，原來4種顏色能填滿（圖8）。出乎大家預料，并沒有像猜的那樣，多邊形數量越多，需要的顏色種類越多。合情未必是真理，合情推理得出的結論有可能是對的，也有可能是錯的，這是本環節學生最真切的體會。筆者追問：“如果多邊形數量再增加一倍，甚至更多，你猜結果會怎樣？”學生大膽猜想，不管圖形數量增加多少，都是最少用4種顏色。此時，學生提出的猜想就是著名的四色猜想。當學生發現自己的猜想竟和數學家一模一樣時，心里是滿滿的自豪感。“四色猜想”這節拓展課的價值不在于了解四色問題是什么，而在于引導學生經歷數學家猜想的過程，學習用數學思想方法解決問題，感受數學思想的魅力。

四、感受執著的科學精神，讓學生延續猜想

不經邏輯證明的猜想永遠是猜想。經過一代又一代數學家的不懈努力，四色猜想終于得到證明，由四色猜想變成了四色定理。由猜想走向定理的過程充滿了艱辛，但也充滿了魅力，吸引一代又一代數學家獻出畢生的精力。觀看科普視頻，了解四色猜想證明的過程，學生從中感受到了什么是科學精神。數學猜想與發現，就像數學領域中的兩顆耀眼的明珠，放射著人類智慧的光芒，是科學寶庫中無價的財富。相信數學家嚴謹的科學態度，會激勵著學生們在“大膽猜測、小心求證”這條道路上繼續前行，勇攀科學高峰。

中小學數學教育的核心目標在于：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。本節課以培養學生猜想能力為目標，從喜聞樂見的《最強大腦》開始，在層層遞進的填色游戲中推進，在數學家生命不息、探索不止的故事中升華，在緊張激烈的腦王爭霸賽中結束。將冰冷的美麗還原成火熱的思考，師生共同經歷了一段美好的智慧之旅。教師借助一定的活動情境帶領學生超越表層的知識符號學習，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，挖掘知識內涵的豐富價值，完整地實現知識教學對學生的發展價值。

（作者單位：山東省濟南市章丘區清照小學 北京市朝陽區教育研究中心）