一道數列證明題的解題微探

朱衛中 吳凱

摘 要：數列求和證明題是高考的常考題型之一，通過對一個求和問題的典型錯解分析，從四個不同的角度來深度剖析其正確解法，最后談三個方面的教學思考，以期與同行交流.

關鍵詞：典型錯解;裂項相消;數列放縮

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）13-0060-02

點評 本解法采用了“化繁為簡”的策略，過程更加清楚簡便，放縮恰到好處，在處理“裂項”時也需注意“同構”的問題.

四、教學感悟

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質，凸顯數學的內在邏輯和思想方法.”因此，在數列的解題教學中，教師可關注以下三點：

首先，放縮問題是近幾年高考的常考題，將數列求和、不等式證明有機融合，這類考題能充分檢測考生的數學核心素養，有效鑒別考生的解題能力，它是受命題者青睞的題型之一，因此，數列放縮證明問題是高考備考復習的重點內容，在教學中需要增加教學課時，重視解題訓練.

其次，基于放縮思想，較多學生雖已經初步形成“放縮求和”的思想，但是仍然不能掌握解題之精髓，無法靈活運用，如本題的典型錯解，會出現精度不夠的問題，我們也俗稱之“放過了”，究其根本原因，在于其解題的盲目性，不能有效根據題目給定的界限來確定解決路徑，所以，如何能讓學生快速認識到“放過了”的原因，然后能依照題意來調整并思考解題的方向，是教學中的難點.那么，當解題思路遇阻時，需要一些補救措施來實現“扭轉乾坤”，如解法1中直接約去“2n”轉化為等比數列12n，但由于n項全部求和是不能滿足精度的，故保留其前兩項，用原始數值，以確保滿足精度，實現證明，對于通項可以放縮到等差或等比數列，能直接用求和公式求其“上限和”的情況，理論上只要盡可能保留足夠多的原始數值，就一定能達到精度要求，但考慮到數值計算的復雜性，我們只能做到適可而止，也就是說，需要保留的項盡可能少為宜.

再者，基于裂項相消模型的思考，如后三個解法，“同構式”是“裂項”的必要因素，由最簡單的裂項相消模型1n（n+1）=1n-1n+1，于是∑ni=11i·（i+1）=1-1n+1<1，可以看出，它能實現裂項相消的必備條件是“1n”與“1n+1”是同構關系，且一正一負，求和時能“前后相消”.因此，若在本題的裂項時出現“12n+n-12n+1+n”或“12n+n-12n+n+1”之類錯誤的表達式，即前后兩項未達到同構關系，是不能相消的.那么什么是數列的“同構關系”呢？其實，即如函數式“f（n）”與“f（n+1）”，通項式“an”與“an+1”，即為同一通項的前后兩項，因此，學習“裂項相消法”并不僅僅是死記公式，而應充分理解相消求和的原理與實現的途徑，這樣我們才能觸類旁通，學以致用.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

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[3]王勇強，王紅權.知識與能力并重 傳承與創新同行[J].中學教研（數學），2020（09）：41-44.

[責任編輯：李 璟]