概述力學在小提琴研究上的應用（下）

韓玫瑰 曹小建

（接上期）

二、施力對小提琴聲學特性的影響

弦的頻率上文已作介紹，當材料和張力確定后，琴弦長度的改變就會帶來音調變化，演奏時通過手指壓弦配合弓對琴弦的壓力帶來悅耳的音樂。琴弓馬尾涂抹松香后，其壓弦時就存在一定的干摩擦力了。當琴弓由于摩擦力帶動弦向一側運動時，弦彈性變形增大，彈性回復力與變形成正比也同時增大。當回復力可以克服摩擦力時，弦快速反向回到初始位置，再重新被琴弓帶動，整個過程是典型的粘滑振動。到目前為止，力學家們仍沒有對粘滑機理給出理想的解釋，有認為是摩擦力隨拉弓速度變化破壞系統平衡引起的，也有認為跟松香剪切強度相關的。另外，振動力學中，摩擦力影響下琴弦的頻率會略小于其固有頻率，只不過人耳不易分辨。

（一）亥姆霍茲運動

亥姆霍茲通過振動顯微鏡發現拉動時琴弦瞬時成V字型，并提出了亥姆霍茲角（即V型頂角，如圖2中虛線標注的圓圈處所示），該角兩側弦分為兩段直線。演奏時亥姆霍茲角在琴碼和手指之間快速移動，亥姆霍茲角的頂點在來回移動過程中的包絡線形成拋物線。這種亥姆霍茲運動與琴弓壓力、運弓速度及施力位置有關。弦上任一點隨時間變化的位移表現為三角波的傳播，該點的速度為位移方程關于時間的導數時而為正時而為負。研究發現，任一點的位移與走弓速度vB成正比，又反比與該點到琴碼的距離占該弦在指尖和琴碼間長度的比例β[9]。

弓毛與弦在黏著和滑動過程中，如果亥姆霍茲角的角尖越趨于平滑（接近弧線），聲音也會更悅耳。尖銳和平滑的平衡完全靠演奏者演奏時在弓上加力來控制。由摩擦力計算的庫倫公式可知，施力越大，靜滑動摩擦力越大，也更容易引起明顯且尖銳的亥姆霍茲角。此時需要提高泛音的能量來增加聲音的亮度。另一個影響亥姆霍茲角平滑度的因素是二級波及其漣漪。波的漣漪是因為亥姆霍茲角回傳到弓與弦接觸點處雖會變平滑但不會迅速消失，卻繼續在弦上多次折返而形成。第三種觀點認為可以通過弦的拉平效應來控制角的平滑。特別是當施加較大的力于高位拉奏G弦時，更容易觀察到尖銳的角迅速被拉平。這種效應是因弦中能量耗散的延遲而導致。總之，亥姆霍茲角的平滑度需要通過經驗來控制。譚分析發現琴體與琴頸連接處是小提琴力學中心點，制作時此處角度輕微變化都會改變琴體力矩和背板張力[10]。其給出了琴板受力分析公式，且設計制作時可通過尺規控制。琴弦與琴馬的角度通常設置在158°，從力矩和變形角度認為琴弦上設計穩定的預應力利于琴的長期使用[11]。

（二）弓的施力區間

在粘滑引起的規則亥姆霍茲運動中，包含有兩個重要的特征施力參量。一是粘著時足夠大到允許弓毛在弦上游走的力Fmax，二是足夠小到允許亥姆霍茲角處于弓弦接觸處仍能繼續往兩側移動的力Fmin，具體見Schelleng[12]提出的公式（3）。其中vB和β的物理意義跟上文一樣，Z0是弦的橫向阻抗，μd和μs分別是動摩擦系數和靜摩擦系數（通常靜摩擦系數更大），R則是拉曼弦模型中琴碼終端的阻力。弓對弦施加的力在Fmin和Fmax之間時，小提琴發出的聲音較柔和。根據公式建立平面直角坐標系下的β-力圖時，Fmin和Fmax均表現為直線且斜率分別是-1和-2。在這兩條線和原點形成的三角區域之外，小提琴發出的聲音則很刺耳。演奏樂曲時，亥姆霍茲運動為常態才能讓聲音連續優美。對于所有的演奏者來說，當音樂力度由pp轉換到f，加大弓上的力時，弓會離琴碼更近，弓速也會加快。此時弓上施加的力可達到2.5N，弓速為2m/s。

（三）弓的施力角度

圖3中給出了弓與弦接觸角度的示意圖，從中可見運弓時有歪斜、側斜和傾斜三種狀態[13]。運弓是為了讓弓能貼在需要發音的弦上，一般認為它比施力更重要。歪斜是指弓與x軸在水平面Oxy上有一定角度（α角），其常自然而然地出現在曲子漸強或漸弱的情況下。側斜是弓毛與x軸重合，弓與馬尾構成的面與Oxz面存在夾角（θ角），當音樂力度一直減弱時很常見。當從弓尖一直走到弓根時，側斜角度也會越來越大;另外這也是運弓過程中弓更易向指板滑動的原因，因為側斜會帶來弦對馬尾的一個水平反作用力（圖4中的Fx）;由力學分析可知弓對弦的壓力與側傾角成正比。傾斜則是指弓與水平面之間形成角度（β角），演奏時頻繁地換弦就需要變換傾斜角。另外演奏和弦時，根據琴的大小及演奏者習慣的施力點，傾斜角都可精確計算。

三、人弦琴交互作用的力學分析

在總結弦樂演奏動作的研究成果時，李武華[14]提出了弦樂演奏力學四個原理。除了上文已表述的部分外，還有人弦交互作用的力學分析。演奏中需要抬臂運弓，引起發音的力主要是地球引力作用在弓、手和臂上的重力，其中最主要的是上臂受的重力。為克服重力，要放松肩關節。肘部、腕部和其他關節連接弓和人體，靠的是肌肉和韌帶提供支撐力，處于次要地位。腕部有時需要用力去展現技巧，但不需要把整個手臂的力都壓到弦上。演奏時應該身體上主要部位放松，讓次要部位去發力。身體、肩關節、上臂、肘關節、小臂、腕關節、手掌、指關節、手指是環環相扣的有機整體，因此當其中一個部位繞關節轉動用力時，由理論力學動量矩守恒定律可知，相鄰部位必然會產生相反方向的運動趨勢，如直升機的側向尾槳就是為了產生與主螺旋槳相反的動量矩而設計，目的是為保持飛行中整體動量矩平衡。有時這種反向運動的受力是由琴或弦對人體的反作用力。若手臂整體做僵硬的同一方向運動，則容易跑調。像快速的分弓和跳弓就不適合僅僅控制上臂來演奏。

對于長期演奏某一種樂器的演奏家們來說，關節反復性高強度使用會帶來職業病。這屬于生物力學的研究范疇。肩部疼痛、腰部疼痛、脊椎疼痛和腱鞘炎是常被提及的小提琴演奏家職業病類型[15]。小提琴音色不好可能和琴的夾持有關，最好是經常性放松調整;腰部和脊椎的不適可能是站姿或站位不當，最好是雙腳平行站立、身體自然挺直、盡量使琴水平;少數出現的肘部問題則主要是由于運弓過程中手腕太緊張及手指用力過大。Turner-Stokes等利用瑞典Qualysis公司的三維運動分析系統MacReflex研究了提琴演奏者在樂曲演奏過程中的各關節運動角度及身體各部分運動幅度[16]。小提琴方陣中，最高音演奏者肩關節運動角度為27.4～46.3°，肘關節運動角度為70.4～133.6°，腕關節運動角度為143.3～191.1°;最低音演奏者肩關節運動角度為36.2～63.7°，肘關節運動角度為70.4～136.7°，腕關節運動角度為140.9～189.3°。演奏高音時肩關節和肘關節運動幅度更大，腕關節運動幅度較小。各關節運動位移上有同樣的規律。這些研究成果有助于診斷小提琴演奏者長期形成的關節損傷并給出治療方案。

四、結論

（一）小提琴選材上，傳聲速度、音響阻抗和輻射阻尼均與材料彈性模量的方根成正比。對于共振板應選擇輻射阻尼大阻抗小的材料，共鳴箱板壁則優先選擇輻射阻尼小、阻抗大的材料。弦的頻率與弦材料力學中的強度相關，與弦所受張力的方根成正比。

（二）弦演奏過程中是振動力學中的粘滑振動，會產生亥姆霍茲運動。亥姆霍茲角越平滑，樂聲越優美?？刂坪ツ坊羝澖?，壓弦的力需要控制在一個區間[Fmin，Fmax]內。根據樂曲需要，弓有側斜、歪斜和傾斜三種姿態。

（三）演奏過程中，人和琴整體符合理論力學動量矩守恒定律，肩關節要放松而靠其他部位發力。通過生物力學研究小提琴演奏者的動作習慣有助于分析其關節損傷。

參考文獻：

[9]Pitteroff R，Woodhouse J.Mechanics of the contact area between a violin bow and a string part III：parameter dependence[J].Acta Acustica united with Acustica，1998，84：929-938.

[10]譚建華.小提琴角度與力學（一）[J].樂器， 2015，10：14-17.

[11]譚建華.小提琴角度與力學（二）[J].樂器， 2015，11：16-19.

[12]Schelleng JC.The bowed string and the player[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1973， 53（1）：26-41.

[13]Erwin S.Mechanics and acoustics of violin bowing： Freedom，constraints and control in performance[D]. Sweden's Royal Institute of Technology，2009.

[14]李武華.弦樂演奏力學原理[J].西安音樂學院學報，1989，2：37-42.

[15]黎頌陽.小提琴演奏中某些職業病的成因及解決辦法[J].星海音樂學院學報，2006，2：107-108.

[16]Turner-Stokes L，Reid K.Three-dimensional motion analysis of upper limb movement in the bowing arm of string-playing musicians[J].Clinical Biomechanics，1999，14：426-433.