均值不等式的一個(gè)新證明

王麗 燕子宗

摘要：本文通過(guò)運(yùn)用伯努利型不等式方法和初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式提出了均值不等式的一個(gè)新證明。

關(guān)鍵詞：算數(shù)平均數(shù);幾何平均數(shù)

一、引言

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式。靈活的運(yùn)用均值不等式，可以使得許多看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。均值不等式的具體內(nèi)容為：調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為“調(diào)幾算方”。均值不等式也可以看成是“對(duì)于若干個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于幾何平均”的推論。

迄今為止，諸多學(xué)者已經(jīng)給出了許多關(guān)于均值不等式的證明和推導(dǎo)方法。例如數(shù)學(xué)歸納法（第一數(shù)學(xué)歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。本文在前人的工作啟發(fā)下，提出了均值不等式的一個(gè)新證明。

四、總結(jié)

本文基于初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式提出了均值不等式的一個(gè)新證明，為證明均值不等式的證明提供了新思路，豐富了均值不等式的相關(guān)內(nèi)容。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：（70771080）。

作者簡(jiǎn)介：王麗，最優(yōu)化理論與算法，長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北荊州，434023。

（長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院 湖北省荊州市 434023）