經歷數學建模過程 積累數學活動經驗

張巍巍 常青 薛紅霞

摘? 要：從八個方面系統地介紹了“介質與距離對WiFi信號強弱的影響”的數學建模活動從設計到實施的全過程. 第一方面至第六方面是數學建模活動教學的設計，基于常規教學設計對其進行拓展，通過改進使之適用于數學建模教學設計的撰寫;第七方面是學生獲得的成果，包括成績和不足兩個方面;第八方面是對本次活動的反思. 這樣的過程能幫助學生應用數學解決實際問題，并真正理解數學. 該教學設計還基于數學建模活動的需求在表達形式上對傳統教學設計進行了發展.

關鍵詞：數學建模;研究規劃;自主探究;課題學習

數學建模是高中數學四條主線之一，人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）中設計了數學建模的內容. 依托該內容，結合學生實際生活開展了“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”的數學建模活動. 在這個活動中，學生有收獲的喜悅，也有失敗的教訓. 下面是此次建模活動設計與實施的真實再現.

一、內容和內容解析

1. 內容：探究關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響

建議使用兩個課時進行授課. 提前布置任務，仿照教材上建立函數模型解決實際問題的研究過程，在教師給出的選題或者感興趣的課題中選擇一個進行研究. 第一課時完善“關于介質對WiFi信號強弱的影響”的課題研究方向，引導學生在課題中增加“距離”這一變量，完成課題研究的前期準備工作;學生利用活動時間自主收集數據、分析數據、建立模型、檢驗模型. 第二課時展示研究成果.

2. 內容解析：函數模型在生活中的應用

為了體現研究的價值，我們應選取日常生活中常見的介質來研究. 在建立函數模型時，介質這個因素的體現是靜態的，雖然可以變換不同的介質，但從數學角度出發無法將其量化，所以考慮到實驗的可操作性（通過控制變量法讓其他因素盡可能相同），將距離作為自變量，將WiFi信號的強弱作為因變量，通過不同介質阻隔信號源來建立不同的函數模型.

用函數構建數學模型解決實際問題時，要先對實際問題中的變化過程進行分析，理清其中的常量、變量及相互關系，明確其中運動變化的基本特征，確定運動變化類型. 然后根據分析結果選擇適當的函數類型構建數學模型，將實際問題抽象為數學問題，再通過運算、推理，求解函數模型. 最后利用函數模型說明實際問題的變化規律，達到解決問題的目的.

2020年的特殊情況讓學生只能線上上課，這對家中的WiFi信號要求較高，流暢與否直接影響了學生的學習體驗. 在這種特殊的經歷下，我們來研究WiFi信號究竟受哪種介質的影響較大，距離對WiFi信號的影響又是怎樣的. 圍繞這些問題進行數學建模，讓學生切身體會數學在現實生活中的作用，從而激發學生的學習興趣，進一步落實數學建模素養.

綜上所述，確定本節課的教學重點是：在學生掌握了基本初等函數的基礎上，探究介質與距離對WiFi信號強弱的影響，建立數學模型說明在不同介質的阻隔下不同距離對WiFi信號強弱的影響，切實體驗數學在實際生活中的應用.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）學生能夠提出課題，并給出合理化建議.

（2）通過實際操作，發展學生的動手能力，確定研究問題的正確方式.

（3）學生根據測量結果得到預期結論.

2. 目標解析

（1）如何體現介質對WiFi信號強弱的影響？通過交流引導，發現在現實生活中很難研究WiFi信號在不同介質中的傳播情況，進而想到可以在信號源處放置不同介質進行阻隔，測試在相同距離、不同介質的阻隔下的信號強度. 但是這樣只能得到哪種介質對信號阻隔性強，如何體現數學建模呢？教師可以進一步引導學生考慮距離對WiFi信號的影響，這樣我們就可以建立函數模型了.

（2）做題能力強但動手操作能力較弱是當前學生的普遍狀況. 通過測量、收集數據，可以提高學生動手操作的能力. 為了重點體現介質和距離對WiFi信號的影響，就要在其他因素（如溫度、濕度、厚度等）盡可能相同的前提下，體現數據的準確性和代表性，這是研究問題的正確思維方式.

（3）確定研究方案. 通過收集數據，提升學生的動手實踐能力;通過整理數據，提升學生處理數據的能力;通過數據分析，繪制散點圖，體現數形結合思想，提高學生的應用數據意識和數據敏感性;通過建立模型與求解模型，鞏固函數基本性質（定義域、單調性、值域等）. 本次數學建模活動突出學生系統運用數學知識解決實際問題的過程，幫助學生逐步積累數學活動經驗，讓學生養成用數學眼光觀察現實世界的習慣，以及用數學思維分析實際問題和用數學語言表達實際問題的能力.

三、教學問題診斷分析

學生已經掌握了基本初等函數等函數知識，但是本次建模活動的難點不在于此，而在于如何排除非必要因素，提煉、選擇主要因素，正確地建立數學模型. 課題提出之初，學生更多的是想研究介質對WiFi信號強弱的影響，教師引導學生發現只需變換不同的介質阻隔信號源，測量等距位置WiFi信號的強弱，即可利用數據進行比較，不需要建立函數模型就可得出結論，那么此次課題還有研究的必要嗎？讓學生思考影響WiFi信號強弱的因素還有哪些，哪些因素是我們比較關注的. 例如，溫度、濕度、介質厚度、與信號源的距離等. 這些因素會直接影響WiFi信號強弱，具備實用性和可操作性的是與信號源的距離，所以我們將課題定為“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”.

四、教學支持條件分析

利用Excel軟件完成數據的處理和函數圖象擬合.

五、研究規劃

在當今社會，WiFi無線網絡已成為人們生活當中不可或缺的一部分，因此我們借助數學課題研究“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”很有必要. 初步思考建模活動的可操作性. WiFi信號如何測量？利用手機軟件可直接測量. 介質對WiFi信號的影響如何體現？因為信號發射呈輻射狀，利用不同介質完全包裹信號源，體現介質這個因素的決定性作用. 如何包裹住家庭中的WiFi路由器？從可操作性方面考慮，利用手機熱點充當WiFi信號發射源. 通過前期準備發現此課題具有可研究性，第一課時完善開題報告中的問題，確定有哪些介質，預測介質對WiFi信號強弱的影響，影響WiFi信號強弱的因素還有哪些. 確定課題研究方向，即介質與距離對WiFi信號強弱的影響. 接下來學生利用活動時間自主收集數據、分析數據，建立模型、檢驗模型. 第二課時展示研究成果.

六、教學過程設計

1. 課前引導

引導語：函數是描述現實世界變化規律的語言和工具，如何根據實際問題建立函數模型？如何用函數模型解釋和解決實際問題？運用函數模型解決實際問題時應注意什么？

（1）選定建模課題.

在教師給出的選題或者感興趣的課題中選擇一個進行研究.

師生活動：教師提出問題，學生自主完成.

【設計意圖】學生是活動的主體，要充分尊重學生的意見.

（2）對學生提出的課題“關于介質對WiFi信號強弱的影響”可操作性進行討論.

問題1：WiFi信號可測嗎？

問題2：如何體現介質對WiFi信號的影響？

問題3：家庭中使用的WiFi路由器如何實現覆蓋操作？

師生活動：教師提出問題，學生自主完成.

【設計意圖】確定課題的可操作性，同意選擇學生提出的課題，讓學生在學習中獲得成就感，提高學生活動的參與度，激發學生的學習興趣.

2. 第1課時：“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”開題報告活動

（1）選題的意義.

問題預設：為什么沒有從教師預選的課題或者教材中提供的課題著手進行探究？

答案預設：隨著當今社會的高速發展，網絡已成為人們生活中不可或缺的因素，研究介質與距離對WiFi信號強弱的影響更貼近生活.

【設計意圖】讓學生體會課題研究的意義.

（2）完善學生提出的課題“關于介質對WiFi信號強弱的影響”.

學生可能面對的困難1：介質的提出有重復性.

教師引導：WiFi信號屬于電磁波，速度受介質影響主要是由介質的密度、厚度、大小、反射率決定的，所以對于有共性的介質選取其中有代表性的進行研究即可.

學生可能面對的困難2：在眾多影響WiFi信號強弱的因素中，過多關注厚度，無法排除非必要因素，提煉、選擇主要因素.

教師引導：研究問題需要關注問題中的變量和定量，若研究介質厚度在實際生活中確實有用，但是在操作中保證不同介質累加相同厚度存在難度，則可以把變量定為與信號發射源的距離，測試相對簡單，而且也可以服務實際生活，即在什么樣的范圍內WiFi信號強度較好.

【設計意圖】進一步將課題完善為“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”.

（3）數據收集的前期準備工作.

學生可能面對的困難：忽略其他因素對WiFi信號的影響.

教師引導：在什么地方測量？在什么樣的環境中測量？

答案預設：在空曠的地方，最好在溫度、濕度相同的條件下測量.

【設計意圖】在其他因素盡可能相同的情況下才能體現“介質”與“距離”在影響WiFi信號強弱的因素中所起的決定性作用.

作業：課題組長分配任務.

① 填寫研究報告.

② 細化前期準備工作.

③ 設計好活動時間的數據收集工作.

④ 數據資源共享，分析數據建立模型，從數據中得到結論.

（4）學生自主探究.

① 收集數據.

學生可能面對的困難1：數據測量存在誤差.

教師引導：對與信號源距離相同的不同位置多次測量求平均值.

學生可能面對的困難2：選擇不同介質在不同的距離測量時對WiFi信號的影響差異較小，所以測試距離間隔較大.

教師引導：手機熱點作為信號源信號較弱，建議測試距離密集一些，數據多一些，在后續的研究中才能更好地描繪函數模型.

學生可能面對的困難3：測試信號的軟件不同，影響測試結果.

教師引導：盡量選取相同的手機軟件接收信號，也盡量選取同型號、同運營商的手機，盡最大努力排除其他因素對WiFi信號的影響.

② 分析數據.

學生可能面對的困難1：取得數據后不知道先描繪和觀察散點圖.

教師引導：提醒學生將數據可視化. 選定適合的橫、縱坐標繪制散點圖.

學生可能面對的困難2：繪出散點圖后無法將散點圖反映出的規律抽象為數學語言.

教師引導：鼓勵學生先轉化為自然語言，再把自然語言轉化為相應的數學語言.

③ 初步建立模型并進行分析.

學生可能面對的困難1：數據擬合后不知道選取哪個函數模型.

教師引導：注意圖形與數據的匹配程度.

學生可能面對的困難2：不知道如何判斷所建模型的合理性.

教師引導：匹配程度好是預測值與實際值差距較小，可以比較每組數據的預測值與實際值的差距，進而說明問題，鼓勵學生自學相關知識.

3. 第2課時：“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”結題交流

學生在教師的引導下，分組匯報成果.

（1）教師活動.

① 認真聆聽并思考.

② 對比自己所在小組的模型和結果，思考可能的改進方案.

③ 記錄對該組的質疑，匯報后可以提問.

（2）學生活動.

① 小組課題負責人匯報成果，其他成員可以補充.

② 其他小組成員做好記錄，認真反思，取長補短.

（3）課題總結.

① 評出優秀小組.

② 指出優點和缺點.

③ 布置作業：完成研究報告;利用教材中處理數據的方法，計算擬合函數模型并存檔，在后期學習擬合效果的知識后再拿出來做對比.

七、研究成果

1. 介質對WiFi信號強弱的影響

通過測量發現，介質對WiFi信號的影響由強到弱分別為塑料、金屬、泡沫塑料、玻璃，如表1所示. 由于WiFi信號屬于電磁波，介質對WiFi信號的阻隔程度是由介質的密度、厚度、大小、反射率決定的，介質的形狀、大小、厚度對實驗結果均有影響，所以實驗結果與實際介質對電磁波影響有出入. 這里要充分肯定學生在現有條件下做出的努力，肯定學生解決問題的科學方法，用數據說話，體現數學在生活中的實際應用.

WiFi路由器放置時盡量避開塑料、金屬、玻璃等材質的障礙物，放置在較開闊的位置，這樣信號被阻隔的可能性較小，接收效果較好.

2. 不同介質阻隔下距離對WiFi信號強弱影響效果的探究

表1的數據體現了在不同介質阻隔下距離對WiFi信號強弱的影響. 通過數據處理、計算機擬合，學生可以根據函數模型具體說明WiFi信號的衰減趨勢，進一步鞏固和提高了學生對函數模型變化趨勢的認識.

通過表2的數據可以看到在3 m內信號較強，在3.5 m以外信號較弱，說明WiFi信號在空氣中傳播時信號也是在減弱的，在空氣中WiFi信號傳播的有效距離為3.5 m. （WiFi信號接收速度大于20 Mbps時，認為信號較強;接收速度小于10 Mbps時，認為信號較弱.）

通過表3的數據可以看到，在金屬鐵的阻隔下，在1 m內信號較強，在2 m以外信號已經很微弱，說明鐵介質對信號阻隔較強，鐵介質阻隔下的WiFi信號的有效距離為1 m.

通過表4的數據可以看到，在玻璃的阻隔下，在3.5 m內信號較強，在6.5 m以外信號較弱，說明玻璃介質對信號的阻隔性沒有鐵介質強，玻璃介質阻隔下WiFi信號的有效距離為3.5 m，與空氣介質組數據很相近，說明玻璃介質對WiFi信號的影響很微弱.

通過表5的數據可以看到，在塑料的阻隔下，在3 m內信號較強，在6 m以外信號已經很微弱，說明塑料介質對信號的阻隔沒有鐵介質強，塑料介質阻隔下的WiFi信號的有效距離為3 m.

3. 失敗引發的思考

因為與其他小組的信號源距離過近，并且測量間距較大，導致表6測試的數據不盡如人意，教師與學生進行溝通，鼓勵學生不要害怕失敗，并帶領小組成員認真分析了失敗的原因，最終得到了意想不到的結果.

通過實驗與反思，發現WiFi信號并不能達到1 + 1 > 2的效果，同一位置接收信號較多時，信號之間是互相干擾的，所以家庭路由器的使用并不是越多越好.

4. 一組數據下的兩種函數模型擬合

表7的數據是最令人驚艷的. 一個小組認為在實際生活中WiFi信號只會越來越弱但不會消失為0，所以應該選取指數型函數進行擬合，這樣更符合實際意義;而另一組認為選取直線型函數進行擬合與數據的匹配度更好，并且計算出了實際測量數據的平均值為19.784，直線型擬合函數的平均值為19.783 45，指數型擬合函數的平均值為23.868 7，數據體現出直線型函數擬合效果更好. 學生不但勇敢地提出質疑而且還能夠用數據說話，教師對兩個小組都給予了充分肯定，針對這種情況，教師引導學生思考如何來解決這個問題.

學生提出在測量中應該讓距離間隔更近一些，從而使數據點更加密集，通過匹配程度即可看出哪種函數擬合效果更好，教師進一步鼓勵學生自學擬合效果的知識，體驗數學建模在學習中的綜合性應用，激發學生學習數學的興趣，使學生在學習中找到快樂與成就感.

通過表7的數據可以看到，在泡沫塑料阻隔下，在1.5 m內信號較強，在3.5 m以外信號已經很微弱了，說明泡沫塑料介質對信號的阻隔也沒有鐵介質強，但比其他介質要強，泡沫塑料介質阻隔下的WiFi信號的有效距離為1.5 m.

5. 啟示

（1）建筑材料的選取. 在不影響建筑結構且經濟實用的前提下優先選取對WiFi信號阻隔較小的材料，也可以考慮合成新型材料來達成目的.

（2）通過前期數據的測量，擬合函數后可以計算WiFi信號覆蓋的最優距離，從信號發射源入手，加強信號覆蓋面積，提高學生研究這方面物理知識的興趣.

（3）通過實驗，我們發現無論介質還是距離對WiFi信號的阻隔都很難“消失不見”，所以屏蔽儀的工作原理是從信號干擾入手. 可以讓感興趣的學生自己查閱資料，這樣的建模活動不是只停留在數學課和數學知識層面上，而是在真正意義上實現了各科知識的融合，使學生的綜合能力得以提高.

八、對本次課題研究活動的反思

在課題選定時充分尊重學生，通過交流研討確定建模方向，預計通過此次建模活動完成兩個問題的研究. 一是不同介質對WiFi信號的影響強弱排序是否與起初設想相同;二是在相同物質阻隔下WiFi信號傳播受到距離的影響是怎樣的，越來越弱的信號如何通過數學語言來刻畫. 但是在開題時提出的目標不夠明確，導致學生只關注了第二個問題，只有一組學生測量了距離不變，不同介質阻隔下同一WiFi信號的強弱，如果不研究第一個問題，其實課題應該改成“在不同介質阻隔下WiFi信號受距離的影響”. 因此，在實踐課上，教師雖不應該包辦所有，但也不能放手不管，明確的目標引領是必要的.

在數據測量過程中學生的動手實踐能力得以提高，但是個別小組也出現了一些問題. 例如，數據較少，測量間隔較大，說明前期準備不到位，留給學生的討論時間不夠充分. 教師對學生遇到的問題預設也不到位，盡管我們已經想到了很多問題，但由于信號的不穩定性，以及測量的時間不夠充分，導致部分小組的研究數據出現異常，最后無法進行函數擬合.

在數據處理過程中，因為時間有限，沒有讓學生自主計算函數模型，未完成數據處理的目標，只能讓學生形象地看到結果，而沒有計算的過程，學生處理數據的能力沒有得到提高. 以后在處理這類課題時還是要適度留出時間.

在函數模型擬合后基本出現了預想的函數模型，學生也能夠感受到函數模型該如何選取，但是利用模型說明實際問題做得不夠理想，只能看出信號的衰減性，函數模型的預測作用沒有得到體現. 實際應用上的結論做得不夠好. 雖然在教師的引導下，學生得出了結果，但是對于數學模型的實際應用還是沒有放開思想、打開思路.

在活動過程中，學生的表現還是可圈可點的. 例如，選題比較前沿，前期工作中考慮得也比較全面，個別小組的數據收集具有代表性;在數據的處理過程中也敢于提出不同意見，并且能用自己的方法來粗略驗證模型選取的最優問題;在測量中因為沒有封閉信號源，使得測出的數據出現突變，從而提出金屬有加強信號的作用. 這些都能體現學生在本次活動中的主觀能動性和處理問題的綜合能力，如果能堅持下來帶學生做數學建模，相信學生的綜合能力和數學學科核心素養都會得到提高.

通過本次活動可以培養學生從實際情境中用數學眼光發現問題和提出問題，并通過分析問題、構建模型等活動，最終解決實際問題的能力.

從知識層面上講，本活動不僅進一步鞏固了函數模型的應用，還對接下來關于統計中最小二乘法求回歸直線方程、非線性回歸方程、殘差圖及[R2]的學習均有深遠的意義，因此將數據留存，還可以協助后續單元的教學.

最后，希望課題學習在接下來的教學中可以持續，在不停的實踐與反思中能夠切實將其做好，在真正意義上提高學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.