應(yīng)用函數(shù)思維探析堿液稀釋pH變化

周松根

摘 要：應(yīng)用函數(shù)思維，從水溶液中電解質(zhì)的電離規(guī)律出發(fā)，結(jié)合電荷守恒、物料守恒等建立強堿、弱堿溶液稀釋過程中pH與稀釋倍數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，將函數(shù)輸入GeoGwbra圖形計算器作圖，依據(jù)圖像進行理論分析，解決學(xué)生的困惑，并得出相應(yīng)變化規(guī)律。研究還發(fā)現(xiàn)弱堿稀釋到一定程度后與強堿溶液行為相似。

關(guān)鍵詞：函數(shù);堿液稀釋;pH變化

函數(shù)的功能就是人類的思維，找出兩個變量間互動的因果關(guān)系即為一種函數(shù)思維[1]。函數(shù)關(guān)系可用圖象來表達(dá)。近年高考常以圖像的形式來考察學(xué)生對于物質(zhì)在水溶液中行為的綜合理解，其中有關(guān)酸堿鹽溶液稀釋過程中pH變化規(guī)律問題常見于高考考題。深入挖掘圖像背后的函數(shù)意義能促進我們對此類問題的理解。

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，有關(guān)教育部考試中心2020年版高考試題分析理科綜合分冊化學(xué)例題4（見例題），學(xué)生對于選項C的理解有兩種看法，看法①為“將兩條直線延長會交于一點，此時pH相等，因此C（OH-）相等”;看法②為“無限稀釋后溶液均趨于中性，使得兩溶液C（OH-）相等”。

例題：濃度均為0.10mol/L、體積均為V0的MOH和ROH溶液，分別加水稀釋至體積V，pH隨lg的變化如圖所示，下列敘述錯誤的是（? ?）

A.MOH的堿性強于ROH的堿性

B.ROH的電離程度： b點大于a點

C.若兩溶液無限稀釋，則它們的c（OH-）相等

D.當(dāng)lg=2時，若兩溶液同時升高溫度，則c（M+）/c（R+）增大

有報道從數(shù)字實驗出發(fā)研究此問題，運用Excel軟件擬合得出線性回歸曲線，利用該曲線模型可預(yù)測看法②正確[2]。事實上，學(xué)生產(chǎn)生看法①這樣的思考，只是分析圖像的“表面”情況，并未發(fā)現(xiàn)橫縱坐標(biāo)間的化學(xué)關(guān)系。為幫助學(xué)生理解此問題，本文基于函數(shù)思想，從電解質(zhì)溶液中的定量關(guān)系出發(fā)建立一元堿液稀釋過程中pH與稀釋倍數(shù)對數(shù)值間的數(shù)學(xué)函數(shù)，利用GeoGebra圖形計算器繪制一元堿液稀釋pH變化曲線，從函數(shù)圖像中獲得直觀的證據(jù)來證實看法②正確。在此基礎(chǔ)上本文還基于圖像，從微觀角度探析堿液稀釋過程中的pH變化規(guī)律，加深高中學(xué)生對電解質(zhì)溶液離子行為的理解。

一、函數(shù)的建立

室溫下濃度均為0.1mol/L且體積均為V0的MOH（強堿）和ROH（弱堿）溶液（均視為理想溶液），分別加水稀釋至體積為V，令lg =x，則有V=10xV0，令此時溶液pH=y，則有c（H+）=10-y，由水的離子積，則有c（OH-）=10y-14。

對于一元強堿（MOH）溶液，有以下兩個電離過程：MOH=M++OH-;H2OH++OH-

稀釋至體積為V時，有c（M+）=0.1/10x=10-1-x

稀釋過程中溶液始終滿足電荷守恒，即有c（H+）+c（M+）=c（OH-）

因此可得函數(shù)關(guān)系：10-y+10-1-x=10y-14（*）

對于一元弱堿（ROH），有以下兩個電離平衡：ROH R++OH-;H2OH++OH-

稀釋過程中溶液始終滿足物料守恒，即有c（ROH）+c（R+）=0.1/10x=10-1-x

由ROH的電離平衡常數(shù)Kb==，得c（R+）=

將其代入電荷守恒c（H+）+c（R+）=c（OH-），得函數(shù)關(guān)系：（※）

二、依據(jù)函數(shù)作圖及分析

（一）一元強堿（MOH）

將函數(shù)（*）輸入GeoGebra圖形計算器，得下圖①中曲線（實線所示）。

圖 一元堿液稀釋過程中pH的變化圖（③中曲線a、b、c所對應(yīng)一元弱堿的電離平衡常數(shù)分別為10-3、10-5、10-7）

一元強堿（MOH）稀釋過程中pH的變化圖像分析如下：

當(dāng)y≥8時，，即10y-14與10-y相差兩個數(shù)量級，此時（*）可轉(zhuǎn)化為10-1-x=10y-14，即有y=-x+13。也就是說，該強堿溶液從起始到稀釋至pH為8，該稀釋曲線可以近似看做直線（如圖1虛線f），溶液pH與稀釋倍數(shù)間為一次函數(shù)關(guān)系，原因是水的電離被MOH所電離出的OH-強烈抑制，可以忽略水的電離，溶液pH的變化來自于MOH所電離的OH-濃度的變化。

當(dāng)8>y>7時，將（*）轉(zhuǎn)化為 y=lg，利用GeoGebra圖形計算器描點功能，發(fā)現(xiàn)此情況下5

當(dāng)x>8時，由圖可知，曲線已接近水平直線，結(jié)合 y=lg分析，當(dāng)x→∞時，y→lg=7，也就是說，此時曲線無限趨近于y=7這條直線（如圖1虛線g），這種情況下溶液可近似為純水。

（二）一元弱堿（ROH）

我們以Kb的數(shù)量級為10-5為例，將函數(shù)（※）輸入GeoGebra圖形計算器，得上圖②中曲線（實線所示）。

一元弱堿（ROH）稀釋過程中pH的變化圖像分析如下：

當(dāng)ROH電離度很小時，忽略其電離，此時c（ROH）=0.1/10x=10-1-x。由電荷守恒c（H+）+c（R+）=c（OH-），當(dāng)c（OH-）比c（H+）大2個數(shù)量級以上時，即pH>8時，可忽略溶液中的c（H+），即有c（R+）=c（OH-）。由Kb=得Kb=，結(jié)合水的離子積得pH=-lg，由前文所令pH=y即有函數(shù)y=x++3.5。當(dāng)Kb=10-5時，y=x+11。此種情況下，溶液pH與稀釋倍數(shù)間近似形成斜率為的一次函數(shù)關(guān)系，將該函數(shù)輸入GeoGebra圖形計算器得圖2中曲線h，h與實線重疊部分即為ROH電離度很小時溶液稀釋時的情況。

當(dāng)加水稀釋到ROH電離度較大時，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)加水稀釋帶來的電離度增長率很小，若忽略此時電離度的變化，此時ROH溶液稀釋時的離子行為類似于強堿MOH的稀釋表現(xiàn)，即此時溶液pH與稀釋倍數(shù)間近似形成斜率為-1的一次函數(shù)關(guān)系：y=-x+13，將該函數(shù)輸入GeoGebra圖形計算器得圖2中曲線f。f與實線重疊部分即為ROH電離程度較大時溶液繼續(xù)稀釋時的情況。

繼續(xù)稀釋，此時水的電離和ROH的電離均不可忽略，溶液的pH應(yīng)綜合反映水及ROH的電離。由※，當(dāng)x→∞時，※可轉(zhuǎn)化為，即10-y=10y-14，得y=7，如圖2中曲線h所示。也就是說無限稀釋時，此溶液近似為純水。

三、結(jié)論與啟示

（一）強堿（MOH）和弱堿（ROH）溶液稀釋過程中，溶液pH與lg 并非簡單的滿足一次函數(shù)關(guān)系。溶液的pH需綜合考慮堿的電離及水的電離，在堿的電離主導(dǎo)溶液pH情況下，水的電離才可忽略。強堿和弱堿溶液無限稀釋，溶液均將近似于純水，使得兩溶液C（OH-）相等。

（二）改變Kb數(shù)值，將相應(yīng)數(shù)值代入※輸入GeoGebra圖形計算器，得到不同一元弱堿溶液稀釋過程中，溶液pH與稀釋倍數(shù)間關(guān)系如上圖中③。圖像給我們很多啟示，比如縱截距、稀釋初始階段圖像的斜率均可反映堿的相對強弱;又比如堿性越強，曲線中斜率近似為-1類似于強堿稀釋情況的區(qū)域就越大。

（三）本文對一元堿液稀釋過程中pH變化圖像的分析，深刻滲透化學(xué)觀念中的“微粒觀”、“變化觀”與“守恒觀”，利用函數(shù)生成圖像能直觀生動的啟發(fā)學(xué)生思考pH變化背后的化學(xué)意義，啟發(fā)學(xué)生運用化學(xué)知識解決問題。用數(shù)學(xué)的函數(shù)思維來解決化學(xué)實際問題，將數(shù)學(xué)與化學(xué)學(xué)科思維交叉融合，有利于高中學(xué)生學(xué)會更本質(zhì)的認(rèn)識電解質(zhì)溶液問題。

（四）本文在回答學(xué)生困惑的過程中，直接使用智能手機APP GeoGebra圖形計算器作圖，相比Excel等軟件，該APP作圖十分簡便，只需輸入函數(shù)將即可快速生成圖像，并可通過描點等功能更深刻的認(rèn)識圖像，對于一線教學(xué)和高中學(xué)生非常實用。

參考文獻

[1]權(quán)平建一郎、神原武志.函數(shù)在你身邊[M].北京：科學(xué)出版社.2001：152-158.

[2] 馬善恒、夏建華、盛恩宏. 利用數(shù)學(xué)建模促進對化學(xué)知識的深度學(xué)習(xí)——以水溶液中離子濃度關(guān)系考查為例[J].化學(xué)教學(xué)，2019（6）： 79-81.

本文為廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃2020年度教育科研一般項目：“構(gòu)建普通高中化學(xué)學(xué)科思維課堂的教學(xué)研究”階段研究成果，課題批準(zhǔn)號：2020YQJK004。