突破三角形中線問題的向量解法

胡玉林 康利攀

摘要：三角形中的向量問題在近幾年的考試中出現的頻率很高，且難度也增加了。利用向量解法來研究三角形的性質，從而突破三角形中線問題，是人教A版新教材的“探究數學活動”專題，要求學生通過向量法來研究三角形的性質，從而解決三角形中線問題。鑒于此，本文主要論述用向量解法來解決三角形的中線問題。

關鍵詞：三角形;中線問題;向量解法

盡管在初中，學生就已經接觸過向量知識，但在高中教學中，如何利用向量解法研究三角形的性質問題，顯而易見，學生會顯得捉肘見禁。而常見的解決三角形問題中，主要是反復使用正弦定理和余弦定理，但若是運用了向量解法，那么所有的問題即將迎刃而解，學生會迅速的做出解答，使人受益匪淺。同時，向量體系的構建也離不開三角形。例如：向量的加法、向量的減法等都包括著三角形的法則，而在求向量的數量積時，更是離不開三角形中的余弦定理。因此，學習好向量知識尤為重要。

1.向量解法在三角形中線問題應用的意義

眾所周知，解決三角形問題的常見方法就是正余弦定理，但是對于三角形的中線問題，若能利用三角形的中線向量性質，建立三角形中線與角的關系，就可以巧妙的解決三角形的角、邊長、周長、面積等有關三角形中線的問題。在高一數學教學中，通常在利用正余弦定理解決三角形問題上，會涉及到三角形一邊的中線問題，而解決這類問題就是利用中線的一邊來構建一個三角形，在至少兩個三角形的問題下來解決問題，但是如果應用向量解法，就可以直接在原三角形中即突破中線問題。

向量法是解決近代數學問題的重要方法，也是最基本的概念之一。向量是將“數”和“形”融于一體的代數形式和幾何形式。平面中的任意邊長都可以用向量來表示，運算也有對應的代數表示。在幾何中，用向量表示既有大小又有方向。向量是溝通幾何與代數等內容的橋梁，它具有豐富的實際背景和廣泛應用。在解決三角形中的中線問題也同樣適用，向量是一種有用的數學工具，它為我們解決三角形領域的問題提供新的思維方法，開闊教師和學生的視角，從而將三角形的知識在向量的串聯下實現有機統一，可以將三角形中的問題簡單化、具體化，從而使學生在解決三角問題上更具有科學性和邏輯性，進而培養高一學生的創新精神。

2.利用向量解法突破三角形中的邊長問題

例1：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且A=，b（2sinA—cosC）=cCOSB，BC邊上的中線AM的長是，求邊C的大小。

分析：由b（2sinA—cosC）=CcosB，得2sinBsinA—sinBcosC=sinCcosB.，2sinB·sinA=sin（B+C），即sinB=，得A=B=，依中線的向量性質2=，即=，又因b=a，可得+=56，由余弦定理得cosA=，即cos=，得a=c，從而得出+，得C=。

在本題中，我們已知三角形中一邊上的中線長和三角形的內角。此時，我們就可以利用向量法運用到三角形中線中去，并幫助學生迅速構建中線與邊角的關系式，從而正確求出三角形邊長問題。

3.利用向量解法突破三角形中的周長問題

例2：在△ABC中中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，b=，B=，D為AC的中點，BD=，求△ABC的周長。

分析：依中線的向量性質=，即=，又因為b=2，可得=10，.由余弦定理cosB=，即cos=，得ac=2，從而得出，得a+c=，故△ABC的周長為。

在解決三角形周長問題時，若已知三角形一邊上的中線長與部分邊角，教師就可以引導學生就利用中線的向量性質，構建三邊與中線的關系式，將問題簡單化，從而快速做出解答。

4.在三角形中線問題中運用向量教學的注意點

教師在解決三角形中線問題引入向量法時，首先應讓學生感受到向量法的優勢，改變學生對于向量法可有可無的想法。例如在小學中解決雞兔同籠的問題時，小學生會感到很困難，待到中學學習方程組時，利用方程法就很容易解決，學生就會感到此方法很受用。同樣，在解決三角形中線問題上，在利用正余弦定理的基礎上，介入向量法的使用，就會使問題變得更加直觀，從而使問題簡單化。

從目前情況來看，現在的向量教學存在著“穿新鞋走老路”的現象，具體可以理解為表面上是使用向量法，實際上還是運用原來的幾何法，造成這種現象發生的根本原因是由于教師未引導學生利用向量思維去解決三角形問題，因此造成學生對向量法的誤解。基于此，教師就可以將學生設置成幾個討論小組讓學生以小組探究的方式來研究三角形的性質，并進行大膽猜想多種解題方法，并利用向量法進行推理證明，學生可以在此過程中積累數學活動經驗，體驗探究三角形性質與向量之間的聯系，從而激發學生的探究熱情。

結束語

綜上所述，本文主要闡述了向量解法在三角形中線問題應用的意義，并舉例說明利用向量解法突破三角形中的邊長、周長問題，并分析在三角形中線問題中運用向量教學的注意點，讓學生通過通過向量法來研究三角形的性質，從而解決三角形中線問題，這對激發高一學生探索數學知識的興趣有很大的幫助。

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