2020年中考“抽樣與數據分析”專題命題分析

石樹偉 周斌

摘? 要：信息時代要求中考加強對“抽樣與數據分析”內容的考查，文章依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》梳理了“抽樣與數據分析”內容的考點和能力素養要求，以及2020年全國各地區中考統計試題，舉例分析“抽樣與數據分析”的命題趨勢，并針對命題趨勢提出了相應的復習建議.

關鍵詞：抽樣與數據分析;命題分析;復習建議

數據中蘊含的豐富信息已日益成為信息時代重要的寶藏資源. 為了更好地認識各種自然現象和社會現象，做出正確的判斷和決策，人們必須學會利用數據. 數據分析已經成為信息時代每一位公民必備的基本素養，“用數據說話”的數據分析觀念已經成為現代社會一種普遍適用并且強有力的思維方式. 為了適應時代發展對人才培養的要求，當前中考普遍加強了對統計內容的考查. 筆者就2020年全國各地區中考“抽樣與數據分析”試題的命題情況進行如下分析.

一、考點分析

1. 能力素養層面

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）是中考命題的根本依據.《標準》在課程內容中提出了要發展學生的數據分析觀念，包括：了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊含著信息;了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法;通過數據分析體驗隨機性，對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，只要有足夠的數據就可能從中發現規律. 數據分析是統計的核心.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》進一步凝練提出數據分析素養，即針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養. 主要表現為：收集和整理數據，理解和處理數據，獲得和解釋結論，概括和形成知識.

從能力素養層面上看，上述觀念或素養的主要表現也就是當前中考“抽樣與數據分析”內容命題的考點.

2. 知識內容層面

從《標準》對“抽樣與數據分析”的具體內容要求來看，本專題中考查的考點分析如表1所示.

二、命題趨勢分析

筆者收集了2020年全國各地區中考試卷130余份，對其中的300余道與“抽樣與數據分析”內容相關的試題進行梳理分析，發現當前中考統計試題的命題注重在具體實際背景下圍繞數據的收集、描述、分析、應用等統計活動過程，以及統計與概率相結合進行命題，考查學生對統計基本概念和原理實際意義的理解和應用，評測學生數據分析素養的養成情況.

1. 數據的收集

數據的收集主要考查具體實際背景下調查方式的選擇是否合適、可行，或樣本抽取的方式是否具有代表性. 題型以填空題、選擇題為主，也有在綜合性解答題中考查統計活動的全過程，涉及對數據收集的考查.

（1）考查具體問題情境下調查方式的選擇.

調查方式有全面調查（普查）和抽樣調查（抽查），各有適用范圍. 當前中考命題已基本避免了對概念的記憶考查，而是在具體問題情境下考查學生對調查方式的選擇.

例1 （湖南·張家界卷）下列采用的調查方式中，不合適的是（? ? ）.

（A）了解澧水河的水質，采用抽樣調查

（B）了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調查

（C）了解張家界市中學生睡眠時間，采用抽樣調查

（D）了解某班同學的數學成績，采用全面調查

【評析】此題考查具體情境下調查方式的選用. 選擇全面調查還是抽樣調查要根據調查對象的具體特征和實際情況靈活選擇. 一般來說，對于調查對象數量不大、人力物力花費不多、容易進行的調查，或精確度要求高、事關重大的調查，往往選用普查;對于具有不可逆轉的破壞性的調查、難以進行普查，或普查的意義和價值不大的調查，選擇抽樣調查.

（2）考查具體問題情境下樣本抽取方式是否合適可行.

抽樣是否合理決定著調查結果的可靠性. 當前中考命題比較注重考查具體問題情境下樣本抽取方式是否合適可行，進而通過分析、應用可靠的調查數據做出推斷和決策.

例2 （吉林卷）2020年3月線上授課期間，小瑩、小靜和小新為了解所在學校九年級600名學生居家減壓方式情況，對該校九年級部分學生居家減壓方式進行抽樣調查. 將居家減壓方式分為A（享受美食）、B（交流談心）、C（室內體育活動）、D（聽音樂）和E（其他方式）五類，要求每位被調查者選擇一種自己最常用的減壓方式. 他們將收集的數據進行了整理，繪制的統計表分別為表2、表3和表4.

根據以上材料，回答下列問題.

（1）小瑩、小靜和小新三人中，哪一位同學抽樣調查的數據能較好地反映出該校九年級學生居家減壓方式情況，并簡要說明其他兩位同學抽樣調查的不足之處.

（2）根據三人中能較好地反映出該校九年級居家減壓方式的調查結果，估計該校九年級[600]名學生中利用室內體育活動方式進行減壓的人數.

【評析】此題綜合考查了一個統計活動過程的頭（數據收集）和尾（做出推斷）. 第（1）小題判斷哪位學生的抽樣調查方式合理，從而確定第（2）小題用來做出推斷的數據. 第（1）小題判斷正確是第（2）小題做出正確推斷的前提.

2. 數據的描述

初中階段對于數據的描述，要求學生掌握制作有關統計圖表的方法，但隨著信息技術和人工智能的發展，制作統計圖表的工作將逐漸被計算機所替代. 因此，中考中對數據描述和統計圖表的制作已經不再是考查的重點，而對于圖表的特點和選用、圖表制作原理的理解，以及圖表信息的提取和運用等逐漸成為考查的重點.

（1）呈現雜亂無章的數據，要求學生通過適當的方法進行整理.

考查數據信息的提取要先呈現數據. 中考試題中數據的呈現方式多樣，可以呈現一些原始的、未經整理的數據，要求學生先通過適當的方法整理數據，然后再提取信息，意在讓學生經歷統計活動的全過程. 囿于考試時間和閱卷，命題實踐中較多的讓學生經歷部分數據的整理過程.

例3 （云南·昆明卷）某鞋店在一周內銷售某款女鞋，尺碼（單位：cm）數據收集如下：

24，23.5，21.5，23.5，24.5，23，22，23.5，23.5，23，22.5，23.5，23.5，22.5，24，24，22.5，25，23，23，23.5，23，22.5，23，23.5，23.5，23，24，22，22.5.

繪制以下不完整的頻數分布表（表5）及頻數分布直方圖（圖1）.

（1）試補全頻數分布表和頻數分布直方圖.

（2）若店主要進貨，她最應該關注的是尺碼的眾數，上面數據的眾數為? ? ? .

（3）若店主下周對該款女鞋進貨120雙，尺碼在[23.5≤x<25.5]范圍的鞋應購進約多少雙？

【評析】此題提供了一組雜亂無序的數據，需要學生先參與數據整理的過程，然后再分析數據、提取信息，應用統計分析的結果解決實際問題.

（2）呈現數據整理的結果，要求學生閱讀圖表提取信息.

現代信息社會，人們會通過各種媒介得到一些統計圖表，這就要求我們能閱讀圖表提取信息. 因此，中考統計試題可以呈現初步整理數據的結果或比較規范的圖表，要求學生讀懂圖表，并做出推斷和決策.

例4 （江蘇·南京卷）黨的十八大以來，黨中央把脫貧攻堅擺到更加突出的位置. 根據國家統計局發布的數據，2012 — 2019年年末全國農村貧困人口的情況如圖2所示.

根據圖中提供的信息，下列說法錯誤的是（? ? ）.

（A）2019年末，農村貧困人口比上年末減少551萬人

（B）2012年末至2019年末，農村貧困人口累計減少超過9 000萬人

（C）2012年末至2019年末，連續7年每年農村貧困人口減少1 000萬人以上

（D）為在2020年末農村貧困人口全部脫貧，今年要確保完成減少551萬農村貧困人口任務

例5 （浙江·嘉興卷）小吳家準備購買一臺電視機，小吳將收集到的某地區A，B，C三種品牌電視機銷售情況的有關數據統計如圖3、圖4、圖5所示.

根據上述三個統計圖，請解答：

（1）2014—2019年三種品牌電視機銷售總量最多的品牌是? ? ? ，月平均銷售量最穩定的品牌是? ? ? ?.

（2）2019年其他品牌的電視機年銷售總量是多少萬臺？

（3）貨比三家后，你建議小吳家購買哪種品牌的電視機？說說你的理由.

【評析】例4和例5都是通過呈現整理好的統計圖表，讓學生從中提取信息做出判斷和決策，考查學生適應未來生活所應具備的信息素養.

（3）呈現不完整的圖表，要求學生提取信息補全圖表.

統計圖表的制作費時費力，中考試題為考查學生圖表制作的原理和技能，可以呈現幾幅還需繼續完善的統計圖表，要求學生提取信息，完善尚不完整的圖表. 這樣既考查了學生繪制圖表的能力和對圖表制作原理的理解，又克服了考試時間和閱卷的限制，這是考查學生統計圖表制作技能較為可行的辦法，但存在的不足就是部分試題情境不夠真實自然，人為拼湊的痕跡嚴重.

例6 （江蘇·揚州卷）揚州教育推出的“智慧學堂”已成為同學們課外學習的得力助手. 為了解同學們“智慧學堂”平臺使用的熟練程度，某校隨機抽取了部分同學進行調查，并將調查結果繪制成如圖6和圖7所示的兩幅尚不完整的統計圖.

根據以上信息，回答下列問題.

（1）本次調查的樣本容量是? ? ? ，扇形統計圖中表示A等級的扇形圓心角度數為? ? ? .

（2）補全條形統計圖.

（3）學校擬對“不太熟練或不熟練”的同學進行平臺使用的培訓，若該校有2 000名學生，試估計該校需要培訓的學生人數.

【評析】此題需要學生對比閱讀兩幅統計圖，提取信息完善統計圖，通過補全統計圖考查學生統計圖的制作技能，通過求扇形圓心角的度數考查學生對扇形統計圖制作原理的理解. 第（3）小題用樣本估計總體考查學生的數據分析觀念和統計應用意識.

3. 數據的分析

在初中階段，數據分析需要學生掌握的統計量包括兩類：一類是刻畫數據集中趨勢的統計量，包括平均數、中位數、眾數;另一類是刻畫數據離散程度的統計量，包括極差、方差. 對于上述統計量的考查，有關統計量的計算固然需要學生掌握，但中考中概念的記憶與運算已不再是考查的重點，而學生對統計量現實意義的理解及統計量的選擇使用，或基于統計量計算應用數據分析的結果做出推斷和決策成為中考考查的重點.

（1）考查對統計量概念及現實意義的理解.

為了計算而計算的統計量計算工作將逐漸被計算機所替代，各種統計量概念的記憶與運算已不再是中考考查的重點，而對統計量概念及現實意義的理解已經成為中考考查的重點.

例7 （湖北·黃岡卷）甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績統計如表6所示，如果從這四位同學中，選出一位同學參加數學競賽，那么應選擇（? ? ）.

【評析】此題中應選擇平均分高且成績穩定（方差小）的學生參加競賽，考查了平均數和方差的實際意義.

例8 （浙江·臺州卷）在一次數學測試中，小明成績72分，超過班級半數同學的成績，分析得出這個結論所用的統計量是（ ? ）.

（A）中位數 （B） 眾數

（C）平均數 （D）方差

【評析】此題沒有讓學生去計算一組數據的中位數，而是考查學生對中位數現實意義的理解.

例9 （山東·煙臺卷）如果將一組數據中的每個數都減去5，那么所得的一組新數據（? ? ）.

（A）眾數改變，方差改變

（B）眾數不變，平均數改變

（C）中位數改變，方差不變

（D）中位數不變，平均數不變

【評析】如果將一組數據中的每個數都減去5，那么所得的一組新數據的眾數、中位數、平均數都減少5，但方差不變. 此題沒有讓學生去計算一組數據的眾數、中位數、平均數和方差，而是考查學生對上述統計量概念的理解.

（2）在具體問題情境中自主選擇適當的統計量解決問題.

設計一定的問題情境，讓學生在具體問題情境中自主選擇適當的統計量解決具體問題，考查學生的應用意識和數據分析觀念，體會統計學習的價值和意義.

例10 （湖南·懷化卷）小明到某公司應聘，他想了解自己入職后的工資情況，他需要關注該公司所有員工工資的（? ? ）.

（A）眾數 （B）中位數

（C）方差 （D）平均數

例11 （湖南·郴州卷）某鞋店試銷一種新款男鞋，試銷期間銷售情況如表7所示.

則該組數據的下列統計量中，對鞋店下次進貨最具有參考意義的是（? ? ）.

（A）中位數 （B）平均數

（C）眾數? ? （D）方差

【評析】例10和例11都考查了學生在實際情境中自主選擇適合的統計量解決問題的能力，體現統計在日常生產生活中應用廣泛，有利于考查學生的數據分析素養.

（3）以統計圖表呈現數據計算各種統計量.

統計試題中數據的呈現逐步多樣化，以統計圖表呈現數據，要求學生從統計圖表中提取數據信息計算各種統計量，從而體現這組數據的集中趨勢和離散程度. 在今后的中考中此類試題會越來越多.

例12 （黑龍江·齊齊哈爾卷）數學老師在課堂上給同學們布置了10個填空題作為課堂練習，并將全班同學的答題情況繪制成如圖8所示的條形統計圖. 由圖可知，全班同學答對題數的眾數為（? ? ）.

（A）7 （B）8

（C）9 （D）10

例13 （山東·泰安卷）某中學開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學生四月份的讀書冊數，對從中隨機抽取的20名學生的讀書冊數進行調查，結果如表8所示.

根據統計表中的數據，這20名同學讀書冊數的眾數、中位數分別是（? ? ）.

（A）3，3 （B）3，7

（C）2，7 （D）7，3

【評析】例12和例13通過圖表形式呈現數據，考查統計量的計算. 以圖表形式呈現加權數據計算統計量對學生要求較高，不僅需要學生正確區分數據和數據的權數（該數據出現的次數），還需要學生正確區分數據的種類和數據的個數. 計算中位數時學生容易把數據的種類數當作數據的個數，忽視了權數. 例如，例13中其實有20個數據，要求找20個數據的眾數和中位數. 這類試題能很好地考查學生對統計量概念意義的理解，以及對圖表形式呈現數據的閱讀理解，具有較高的信度和區分度.

4. 數據的應用

統計活動中，數據處理不是為了整理而整理、為了計算而計算. 在近幾年的中考中已不多見單純考查統計量計算技能的試題，更多的是讓學生在數據收集、整理、分析的基礎上應用統計結果做出推斷和決策，前面已有舉例，如例2、例3、例5、例6等. 下面再看一例.

例14 （寧夏卷）某家庭記錄了未使用節水龍頭20天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節水龍頭20天的日用水量數據，得到如表9和表10所示的頻數分布表.

（1）計算未使用節水龍頭20天的日平均用水量和使用了節水龍頭20天的日平均用水量.

（2）估計該家庭使用節水龍頭后，一年能節省多少立方米水？（一年按365天計算.）

【評析】此題中，計算出使用節水龍頭前后的日平均用水量不是最終目的，最終目的是用樣本去估計總體，估算該家庭使用節水龍頭一年能節省的用水量，讓學生體會節約用水的重要性，養成節水意識，體會學習統計的價值和意義.

5. 統計與概率的整合

統計與概率都是研究隨機現象的科學. 統計是基于數據，通過歸納的方法研究隨機現象，而概率，特別是概率計算則是通過構建模型演繹地研究隨機現象. 統計與概率整合考查的試題在近年中考中經常出現，但基本上是通過同一問題情境把統計和概率計算兩種問題簡單拼湊在一起，而很少讓學生認識到統計與概率之間的聯系——可以借助統計活動用頻率來估計概率，反過來可以從概率角度分析統計數據特征.

例15 （安徽卷）某單位食堂為全體960名職工提供了A，B，C，D四種套餐，為了解職工對這四種套餐的喜好情況，單位隨機抽取240名職工進行“你最喜歡哪一種套餐（必選且只選一種）”問卷調查. 根據調查結果繪制了條形統計圖（圖9）和扇形統計圖（圖10），部分信息如下.

（1）在抽取的240人中最喜歡A套餐的人數為? ? ? ? ? ，扇形統計圖中“C”對應扇形的圓心角度數的大小為? ? ? .

（2）依據本次調查的結果，估計全體960名職工中最喜歡B套餐的人數.

（3）現從甲、乙、丙、丁四名職工中任選兩人擔任“食品安全監督員”，求甲被選到的概率.

【評析】此題第（1）（2）小題考查統計圖表信息的提取與應用，第（3）小題在同一情境下考查學生用列舉法（畫樹狀圖或列表）計算概率的技能.

三、中考復習建議

統計是一門應用性學科，對于統計的考查需要強調應用統計的知識、技能和思想方法解決實際問題的基本價值取向. 近年來中考對統計考查的難度一般不大，著重考查具體情境下統計知識和思想的應用及數據分析觀念. 因此，統計內容的復習應注意以下幾點.

1. 讓學生經歷統計活動全過程，發展數據分析觀念

觀念是不能灌輸的，只有在活動中潛移默化地養成. 學習統計的核心是數據分析觀念的形成，數據分析觀念絕非等同于計算、作圖等簡單技能，而是統計意識和信息感、數據感. 在復習教學中，教師應選擇一些能讓學生經歷統計活動過程的問題（如模擬題欣賞中的第3題和第4題），突出統計對決策的作用，引導學生從統計的角度思考與數據有關的問題，不應讓計算統計量、畫統計圖等內容占據學生過多的時間.

2. 重視問題情境的設計，在具體背景下理解概念的實際意義

創設統計的實際應用情境，引導學生在具體背景下學習數據收集的方法，體會全面調查與抽樣調查的特點，體會抽樣的必要性和合理性;創設統計的實際應用情境，引導學生在具體問題背景下理解常用統計量的意義，學習選擇適當的統計量分析數據的集中趨勢和離散程度，注重對統計量實際意義與特點的理解，避免統計量計算的技巧化.

3. 注意統計的應用，讓學生體會學習統計的價值和意義

統計的內容具有非常豐富的實際背景，在現實世界中有著廣泛的應用，統計知識和方法的學習要盡可能地融入解決實際問題的活動中. 現實生活中有多種渠道可以提供有意義的問題，在中考復習中，教師要充分挖掘適合學生學習的材料. 可以從報刊、電視廣播、計算機數據庫等多個方面尋找素材，也可以從學生的生活實際中選取. 總之，統計的復習應著重對現實問題的探索，解決實際問題，提升統計應用能力，使學生能自覺從統計的角度思考與數據有關的問題，提升數據分析素養.

四、模擬題欣賞

1. 一些計算機內存分析軟件為了讓使用者清楚、直觀地看出內存“已用空間”與“可用空間”占“整個內存空間”的百分比，使用的統計圖是（? ? ）.

（A）條形統計圖

（B）折線統計圖

（C）扇形統計圖

（D）條形統計圖或折線統計圖

參考答案：C.

【命題意圖】此題的考查目標不是統計圖的制作，而是各種統計圖的特點和選用.

2. 數學老師布置10道選擇題作為課堂練習，并將全班同學的答題情況繪制成如圖11所示的條形統計圖，根據圖表，全班每位同學答對的題數所組成樣本的中位數和眾數分別為（? ? ）.

（A）8，8? ? （B）8，9

（C）9，9? ? （D）9，8

參考答案：D.

【命題意圖】此題以條形統計圖的形式呈現加權數據，從而計算中位數和眾數. 考查重點不是運算，而是深刻理解兩種統計量的意義，以及對數據不同呈現方式的閱讀理解.

3. 某校學生會準備調查九年級同學每天（除課間操外）的課外鍛煉時間.

（1）確定調查方式時，甲同學說：“我到（1）班去調查全體同學”;乙同學說：“我到體育場上去詢問參加鍛煉的同學”;丙同學說：“我到九年級每個班去隨機調查一定數量的同學”. 試指出哪位同學的調查方式最為合理.

（2）他們采用了最為合理的調查方法收集數據，并繪制出如圖12所示的條形統計圖和如圖13所示的扇形統計圖，試求出圖12中每天課外鍛煉時間約10分鐘的人數，并將圖12和圖13補充完整.（注：圖13中相鄰兩虛線形成的圓心角為30°.）

（3）若該校九年級共有240名同學，試估計其中每天（除課間操外）課外鍛煉時間不大于20分鐘的人數，并根據調查情況向學生會提出一條建議.

參考答案：（1）丙同學的調查方式最為合理.（2）每天課外鍛煉時間約10分鐘的人數為36人，補圖略.（3）估計每天課外鍛煉時間不大于20分鐘的人數為220人，建議略.

【命題意圖】此題意在讓學生經歷一個統計活動全過程. 第（1）小題考查抽樣方式是否合理;第（2）小題考查統計圖的信息提取和制作技能;第（3）小題考查用樣本估計總體并做出推斷和決策的應用意識和數據分析觀念.

4. 某市為落實“健康中國”行動，擬根據初中生體能的實際狀況制定中考體育新標準. 為此抽取50名初中將畢業的女生進行一分鐘仰臥起坐測試，將測試情況繪制成表11.

（1）求這次抽樣測試數據的眾數、中位數和平均數.

（2）在眾數、中位數和平均數中，你認為用哪一個統計量作為該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目的合格標準較為合適？簡要說明理由.

（3）如果該市當年有3萬名初中畢業女生參加中考體育考，根據（2）中你認為合格的標準，試估計該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目的合格人數是多少？

參考答案：（1）眾數為18個，中位數為18個，平均數為20.5個;（2）眾數或中位數作為合格標準較為合適，因為大部分學生都能達到;（3）估計合格人數為24 600人.

【命題意圖】此題在統計量計算的基礎上考查統計量的選用，通過數據收集和分析確定合格標準，體現學習統計的價值和意義，滲透統計分析觀念.

5. 甲、乙兩籃球運動員上賽季每場比賽的得分如下.

甲：15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，50.

乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.

小莉用如圖14所示的方式來表示甲、乙的得分.

（1）試在右側補全乙的得分.

（2）[x甲]? ?[x乙;] [s2甲]? ?[s2乙].（填“>”“<”或“=”）

（3）試說出此種表示方式的優點.

參考答案：（1）略;（2）[>]，[<];（3）能夠直觀顯示數據的分布狀況和離散程度.

【命題意圖】對于第（1）小題，要求學生現場學習應用一種新的數據整理描述方式（莖葉圖），考查學生的現場學習能力;第（2）小題中，無需學生動筆計算，根據莖葉圖中數據的分布狀況比較兩組數據平均數和方差的大小，考查平均數和方差兩種統計量的實際意義;第（3）小題考查學生在前面的統計活動過程中所積累的基本活動經驗，從而深入理解現場學習的數據整理描述方式.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.