2020年中考“綜合與實踐”專題命題分析

祁慧淵 薛紅霞

摘 要：綜合與實踐是指一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動. 依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》的目標和內容要求，梳理2020年全國部分地區中考試卷中有關“綜合與實踐”內容的試題，從數學六大核心素養的角度對此類試題進行分析，總結“綜合與實踐”在這六方面體現出來的命題特點，并提供相關模擬試題.

關鍵詞：中考試題;綜合與實踐;命題分析;學科核心素養

一、內容分析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動. 它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授. 它是教師問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動.“綜合與實踐”是實現積累數學活動經驗、培養學生應用意識和創新意識等目標的重要和有效的載體. 教師要適當的開發出適合本地學生開展的結合實際情境的數學活動，創設層層深入的問題，給學生更多思考和操作的空間，鼓勵學生大膽設計活動方案，提倡學生之間進行更多的合作交流，在活動中激發學生進行深度學習，提升數學思維，發展學生的數學學科核心素養，凸顯問題性，注重綜合性，落實實踐性. 2020年全國各地區中考“綜合與實踐”試題從不同的知識與能力角度，體現了《標準》中對此部分內容的學習要求與理念，充分地體現了對《標準》提出的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數學分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識十個關鍵詞的重視，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師自身和學生素質的有效過程.

二、命題思路分析

依據《標準》，“綜合與實踐”領域的考查主要關注問題、過程和綜合三個層面. 教師要創設出有利于提升學生數學思維的恰當問題. 情境的設置可以從數學內部知識間的聯系與綜合、跨學科領域的整合、數學與現實生活的融合等方面去設計，讓學生在思考和分析問題的活動過程中，充分利用已有的知識經驗和生活經驗來解決問題，進而積累豐富的數學活動經驗.

綜觀2020年全國各地區中考試卷，“綜合與實踐”內容的考查呈現形式為選擇題、填空題和解答題，分值和題量基本保持穩定，且略有上升趨勢. 選擇題和填空題的分值在4 ～ 6分之間;解答題和綜合性問題的分值在10 ～ 18分之間. 試題分值占全卷總分值的20%左右. 在研究的109份2020年中考數學試卷中，發現“綜合與實踐”的相關試題背景豐富，有現實生活中幾何圖形的研究，有跨學科問題情境的設置，有數學操作問題的探究，呈現出數學問題生活化、熱點化、操作化的特點，特別注重數學活動經驗的積累和數學思想的滲透. 以下將從數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六個方面的數學學科核心素養出發，選取一些具有代表性的試題進行具體分析.

1. 數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程. 數學抽象主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系;從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征. 數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中. 數學抽象是綜合與實踐的起點. 數感有助于學生理解現實生活中數的意義，對運算結果的估計等方面的感悟;符號意識有助于理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律，知道使用符號進行運算和推理得到一般性結論，這些都是數學抽象的載體.

例1 （湖南·婁底卷）如圖1，各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，x的值為（? ? ）.

（A）135 （B）153

（C）170 （D）189

例2 （黑龍江·齊齊哈爾卷）如圖2，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且按一定規律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形. 第一次滾動后點[A10，2]變換到點[A26，0]，得到等腰直角三角形②;第二次滾動后點A2變換到點[A36，0]，得到等腰直角三角形③;第三次滾動后點A3變換到點[A410，42]，得到等腰直角三角形④;第四次滾動后點A4變換到點[A510+122，0，] 得到等腰直角三角形⑤;……依此規律，則第2 020個等腰直角三角形的面積是? ? ? .

【評析】例1和例2從數感和符號意識方面突出對學生數學抽象素養的考查，在探究中體會過程性. 例1的設計簡潔，通過方格中數的擺放位置來尋找數之間的關系，進而轉換為字母間的規律，關注對學生使用符號意識的考查和數感中數量關系的感悟. 例2是對等腰直角三角形性質應用的考查，要求學生思考圖形中的頂點在翻轉變換中的關系，進而發現規律，突出考查學生理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律. 此類問題的設計既讓學生在解題過程中體會圖形頂點坐標的運動變化規律，又激發學生在思考過程中建立符號意識，進而要求教師在數學問題的創設上具有從知識立意轉向關注數學學科核心素養立意的意識.

2. 邏輯推理

《標準》中提出，推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中. 推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式. 推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則進行證明和計算. 在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路、發現結論，演繹推理用于證明結論. 2020年中考“綜合與實踐”試題更注重通過與生活中的情境結合、跨學科整合來解決具體的實際問題.

例3 （湖南·婁底卷）如圖3，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂L1 = Lcos α，阻力臂L2 = lcos β，如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當阻力不變時，杠桿向下運動時的動力變化情況是（? ? ）.

（A）越來越小 （B）不變

（C）越來越大? ? （D）無法確定

例4 （湖南·株洲卷）據《漢書·律歷志》記載：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中國古代的一種量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”. 意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓.”

問題：如圖4，現有一斛，其底面的外圓直徑為

兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的周長為? ? ? ?.（結果用最簡根式表示.）

【評析】例3借助物理學中撬釘子的情境，利用杠桿原理進行數學的推理分析，動力 × 動力臂 = 阻力 × 阻力臂，當阻力及阻力臂不變時，動力 × 動力臂為定值，且定值大于0，考查了利用銳角三角函數cos α的增減性來說明動力的變化. 例4以古代的一種量器為背景命制，將圓與正方形組合，考查圖形的推理與計算. 此類試題意在讓學生體會在不同的問題情境中運用直觀的邏輯推理，并綜合不同領域的跨學科知識，提升學生分析問題和解決問題的能力.

例5 （河南卷）我們學習過利用尺規作圖平分一個任意角，而“利用尺規作圖三等分一個任意角”曾是數學史上一大難題，之后被數學家證明是不可能完成的. 人們根據實際需要，發明了一種簡易操作工具——三分角器. 圖5（1）是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等，DB與AC垂直于點B，DB足夠長.

使用方法如圖5（2）所示，若要把∠MEN三等分，只需適當放置三分角器，使DB經過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明. 如下給出了不完整的“已知”和“求證”，試補充完整，并寫出“證明”過程.

已知：如圖5（2），點A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點B， ? ?   ? ? ? ? ? ? .

求證：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

【評析】例5以數學知識中“利用尺規作圖三等分一個任意角”的問題為情境，將數學中的難題轉變為一種簡易操作工具——三分角器來解決問題. 要把∠MEN三等分，只需適當放置三分角器，使DB經過∠MEN的頂點E，點A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，切點為F，則EB，EO就把∠MEN三等分了. 在說明了所有的操作過程后，讓學生自己填寫已知和求證并完成證明過程，既考查了學生推理過程的嚴謹性、規范性、完整性，又關注了歸納與演繹的綜合. 此題注重把數學的學習看作是數學活動的學習，在探究過程中提出問題，綜合應用所學的知識來分析和解決問題，在“做”的過程和“思考”的過程中積淀數學活動經驗，有效考查了綜合與實踐的基本要素.

3. 數學建模

《標準》中指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑. 建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義. 這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識. 建立數學模型就是要培養學生在現實活動中，從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，進而建立模型得出結論，還要驗證結果和改進模型，最終解決實際問題. 綜合與實踐活動不僅提升了學生從具體到抽象、從特殊到一般的數學思維能力，也培養了學生的應用意識和創新意識. 數學建模是綜合與實踐的實施途徑之一.

例6 （山東·青島卷）某公司生產A型活動板房成本是每個425元. 圖6（1）表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AD = 4 m，寬AB = 3 m，拋物線的最高點E到BC的距離為4 m.

（1）按如圖6（1）所示的直角坐標系，拋物線可以用y = kx2+m （k ≠ 0）表示. 求該拋物線的函數表達式.

（2）現將A型活動板房改造為B型活動板房. 如圖6（2），在拋物線與AD之間的區域內加裝一扇長方形窗戶FGMN，點G，M在AD上，點N，F在拋物線上，窗戶的成本為50元 / m2. 已知GM = 2 m，求每個B型活動板房的成本是多少？（每個B型活動板房的成本 = 每個A型活動板房的成本 + 一扇窗戶FGMN的成本.）

（3）根據市場調查，以單價650元銷售（2）中的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個. 公司每月最多能生產160個B型活動板房. 不考慮其他因素，公司將銷售單價n（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

例7 （江蘇·南京卷）如圖7（1），要在一條筆直的路邊[l]上建一個燃氣站，向[l]同側的[A，B]兩個城鎮分別鋪設管道輸送燃氣. 試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短.

（1）如圖7（2），作出點[A]關于[l]的對稱點[A，] 線段[AB]與直線[l]的交點[C]的位置即為所求，即在點[C]處建燃氣站，所得路線[ACB]是最短的.

為了證明點[C]的位置即為所求，不妨在直線[l]上另外任取一點[C，] 連接[AC，BC，] 證明[AC+CB<][AC′+C′B.] 試完成這個證明.

（2）如果在[A，B]兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域. 試分別給出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由）.

① 生態保護區是正方形區域，位置如圖7（3）所示;

② 生態保護區是圓形區域，位置如圖7（4）所示.

【評析】例6考查學生在實際生活情境中體會變量之間的關系，根據題意建立函數模型來解決問題，考查了學生的數學應用意識. 在這個綜合實踐活動中，學生進行了兩次建模：第一次建模是把矩形窗戶邊框與墻抽象成數學圖形，并建立關系，理解數學圖形中的點的意義，建構二次函數模型;第二次建模是在第（2）小題中，求每月銷售活動板房所獲的最大利潤，比對二次函數模型，找到頂點坐標，根據函數的增減性和不等式的范圍確定最值. 例7為模擬真實情境的綜合實踐活動，通過最短距離問題模型，再次提出生活情境問題，根據不同的方案設計，經過計算確定管道鋪設方案，再現了數學探究活動的過程性、實踐性和綜合性. 解決此類問題還是要引導學生多進行真實任務情境下的綜合實踐活動.

4. 直觀想象

直觀想象主要是指利用圖形進行描述和分析問題，感知事物的形態與變化，理解和解決數學問題. 直觀想象主要表現為：建立形與數的聯系，借助空間形式認識事物的位置關系與形態變化及運動規律，構建數學問題的直觀模型分析問題，把復雜的數學問題簡單化、形象化，進而探索解決問題的思路. 綜合與實踐重在實踐和綜合，教師要設置貼近學生的生活情境，充分發揮學生的直觀想象、展現學生的思考過程，合作交流收獲體會，激發學生創造潛能.

例8 （湖北·荊州卷）“健康荊州，你我同行”，市民小張積極響應“全民健身動起來”號召，堅持在某環形步道上跑步. 已知此步道外形近似于如圖8所示的Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB與BC間另有步道DE相連，D地在AB正中位置，E地與C地相距1 km. 若tan∠ABC =[34]，∠DEB = 45°，小張某天沿A→C→E→B→D→A路線跑一圈，則他跑了 ? ? ? .

例9 （山西卷）閱讀與思考：下面是小宇同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

[× 年 × 月 × 日? 星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖9所示的四邊形木板，他已經在木板上畫出一條裁割線AB，現根據木板的情況，要過AB上的一點C，作出AB的垂線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖9，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD = 30 cm，然后分別以D，C為圓心，以50 cm與40 cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E，作直線CE，則∠DCE必為90°.

辦法二：如圖10，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出M，N兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點M與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應的位置標記為點Q，保持點N不動，將木棒繞點N旋轉，使點M落在AB上，在木板上將點M對應的位置標記為點R. 然后將RQ延長，在延長線上截取線段QS = MN，得到點S，作直線SC，則∠RCS = 90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據的是什么數學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？…… ]

任務：

（1）填空：“辦法一”依據的一個數學定理是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（2）根據“辦法二”的操作過程，證明∠RCS = 90°.

（3）① 尺規作圖：試在圖11的木板上，過點C作出AB的垂線.（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法.）

② 說明你的作法依據的數學定理或基本事實.（寫出一個即可.）

【評析】例8通過直觀化表達健身運動路徑，考查三角函數的概念，根據模型解釋實際意義，需要學生運用幾何直觀促進理解. 例9為真實情境的“綜合與實踐”活動，該活動利用不同方案解決在沒有直角尺的情況下作直角的問題，先以閱讀材料的方式給出兩種具體的操作方法，然后讓學生在理解此操作過程的同時寫出數學依據，進而思考是否還有其他作出垂線的方法. 例9讓學生根據圖形的特點，借助幾何直觀觀察圖形、分析問題、發現解題途徑，有效開展綜合實踐活動，進一步培養學生解決問題的創新意識.

5. 數學運算

《標準》中指出，運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確進行運算的能力. 培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題. 數學運算在綜合實踐活動中的應用最常見、最廣泛，有助于學生理解運算對象、掌握運算法則、形成程序化思維.

例10 （四川·自貢卷）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法. 例如，代數式[x-2]的幾何意義是數軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為[x+1=x--1]，所以[x+1]的幾何意義就是數軸上x所對應的點與-1所對應的點之間的距離.

（1）發現問題：代數式[x+1+x-2]的最小值是多少？

（2）探究問題：如圖12，點A，B，P分別表示數-1，2，x，AB = 3.

因為[x+1+x-2]的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，

所以當點P在線段AB上時，PA + PB = 3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA + PB > 3.

所以[x+1+x-2]的最小值是3.

（3）解決問題：

① [x-4+x+2]的最小值是 ? ? ;

② 如圖13，利用上述思想方法解不等式[x+3+][x-1] > 4;

③ 當a為何值時，代數式[x+a+x-3]的最小值是2.

【評析】例10以學生非常熟悉的兩點之間的距離為情境，讓學生去發現問題、分析問題、探究問題、解決問題，這是非常好的綜合與實踐的學習方式. 這些問題要求學生在已經具備一定的數式運算能力的基礎上，依據法則正確運算，體會運算的算理，轉化為熟悉的運算方式，也考查了學生對數學運算法則使用的遷移能力，進一步體現了在學習過程中數學運算素養的重要性，為教學指明方向.

6. 數據分析

數據分析是統計的核心.“綜合與實踐”在此方面的考查具體表現在數據的收集和整理，對數據信息的理解和處理，提取信息和解釋結論. 綜觀2020年中考試題，數據分析類綜合試題呈現出情境生活化、熱點化的特點，更加重視對統計量意義的理解和利用數據分析結果并進行方案的決策評估和預測.

例11 （山東·臨沂卷）2020年是脫貧攻堅年. 為實現全員脫貧目標，某村貧困戶在當地政府支持幫助下，辦起了養雞場. 經過一段時間精心飼養，總量為3 000只的一批雞可以出售. 現從中隨機抽取50只，得到它們質量的統計數據如表1和圖14所示.

根據以上信息，解答下列問題.

（1）表中a的值為 ? ? ，補全頻數分布直方圖;

（2）這批雞中質量不小于1.7 kg的數量大約有多少？

（3）這些貧困戶的總收入達到54 000元，就能實現全員脫貧目標. 按15元 / kg的價格售出這批雞后，該村貧困戶能否脫貧？

【評析】數據分析素養主要體現在“統計與概率”中，其與實際生活聯系緊密，能更好地體現綜合與實踐的考查意圖. 例11從學生熟悉的生活背景及社會關注的熱點問題等方面進行數據分析和處理. 對現實生活中的問題先做調查研究、收集數據，通過統計圖或表格進行數據分析，做出判斷. 此類試題突出對抽樣調查中分析數據的方法和解決問題能力方面的考查，更加注重對學生獲取信息能力和分析決策能力的考查，真正體現出統計的作用.

三、復習建議

通過對2020年中考試卷中“綜合與實踐”部分試題的分析，發現這些試題充分體現了《標準》對此部分內容的引領作用. 在教學過程中，教師要特別注意問題情境的設計、活動過程的探究和解決問題方法的綜合，強化綜合與實踐活動中知識的整合、延伸與拓展，加強對學生思維能力、運算能力、探究能力和創新能力的培養. 在復習教學中，教師要對以下幾個方面予以關注：一是創設更貼近生活現實、數學現實和其他學科現實的情境，增強學生的應用意識;二是加強初中數學各部分內容之間的相互聯系，體現數學學習的整體性與綜合性;三是讓學生在探究活動過程中感悟知識的生成和運用，提升解決問題的能力，增強創新意識的培養. 針對以上情況，對2021年中考復習提出以下幾點建議.

1. 夯實基礎，提升能力

在日常教學中，若學生的基礎知識不過關，會體現在概念辨析不到位，基本運算算理不清楚，以及解題方法不適當等方面. 因此，在教學中，教師一定要回歸教材、落實基礎，強化對基礎知識和基本技能的訓練，多研究典型題和易錯題，多對比、多變式，引導學生自主建構知識體系，將基礎知識的掌握落到實處. 一是要讓學生對所學的概念、公式、定理進行深度剖析與解讀;二是讓學生經歷知識的生成與生長過程，對問題的解決方法進行歸納梳理;三是通過課堂內外綜合與實踐活動的開展，強化學生的“四基”及知識的融會貫通.

2020年全國各地區中考“綜合與實踐”類試題中都創設了現實生活或跨學科的情境，解題時需要學生具備豐富的知識與問題間的鏈接能力，這就要求教師在教學中要注重揭示知識發生、發展的過程，使學生的思維得到高密度的訓練，能力得到高層次的發展.

2. 經歷過程，提升思維

如果把數學問題的解決看成是“目”，那么數學思維就是“綱”，綱舉目張. 在教學中，教師要重視引導學生理解知識的形成過程，在活動中讓學生通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，經歷自主學習、合作交流、探索研究的過程，創設一些能引發學生深度思考的過程性問題，并運用研究方法進行解題思路的遷移，開闊學生的思維視野，拓寬學生的觀察角度，促使其自覺養成良好的數學思維品質. 教師也可以通過編擬一些貼近生活實際的數學應用問題，讓學生在學習中經歷更多真實情境問題的探究過程，在活動中不斷進行思維碰撞，體會問題解決方法的多樣性，從而引導學生充分體會數學與人類社會的密切聯系，加強對數學的理解，用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界，進而形成學數學、用數學的意識和能力，切實提高學生的思維品質.

3. 加強閱讀，提升素養

“綜合與實踐”類試題中經常會呈現一些閱讀材料，提供一些解決問題的知識或方法，需要學生在閱讀的過程中獲取信息和理解信息，還要應用所學到的思想或方法解答提出的新問題. 因此，建議教師在日常教學中補充一些與教材內容相關的閱讀材料，通過對教材的例、習題進行整合，挖掘一些綜合與實踐學習的素材，設計一些相關的綜合與實踐活動，并要求學生經歷活動后嘗試寫出實踐報告和活動反思，讓學生經歷數學問題設計與解決的探究過程，發現不同解決問題的途徑，積累豐富的數學活動經驗，進而提升學生的綜合解題能力. 通過讓學生在綜合與實踐活動中將自主、合作、探究的學習方式融入數學學科核心素養的形成過程，把學生的學習興趣作為發展數學學科核心素養的推動力，以激發教學創新.

我們欣喜地看到，越來越多的教師在“綜合與實踐”領域的日常教學中進行更深層次的思考與創新，以提升學生的數學學科核心素養為培養目標，真正回歸教育本源，實現對人的培養.

四、模擬題欣賞

1. 定義新運算：對于任意實數a，b，都有a⊕b =ab + a + b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運算，例如，2⊕3 = 2 × 3 + 2 + 3 = 11. 若y關于x的函數y = （kx + 1）⊕（x - 1）圖象與x軸僅有一個公共點，則實數k的值為 ? ? .

參考答案：0或-1.

2. 圖15（1）為一張寬為6 cm的平行四邊形紙帶ABCD，AB = 10 cm，小明用這張紙帶對底面周長為10 cm直三棱柱紙盒的側面進行包貼（要求包貼時沒有重疊部分）. 小明通過操作后發現此類包貼問題可將直三棱柱的側面展開進行分析.

（1）如圖15（2），若紙帶在側面纏繞三圈，正好將這個直三棱柱紙盒的側面全部包貼滿. 則紙帶AD的長度為 ? ? ?;

（2）如圖15（3），若AD = 100 cm，紙帶在側面纏繞多圈，正好將這個直三棱柱紙盒的側面全部包貼滿. 則這個直三棱柱紙盒的高度是 ? ? .

參考答案：（1）25 cm;（2）60 cm.

3. 某市景區內有一座歷史名人塑像，“綜合與實踐”小組的學生開展了測量這一塑像高度的活動.他們在該塑像底部所在的平地上選取一個測點，測量了塑像頂端的仰角，調高測傾器后二次測量了塑像頂端的仰角. 為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數及測傾器高度時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結果，測量數據如表2所示.

任務：

（1）根據以上測量結果，試幫助該“綜合與實踐”小組求出塑像的高度.（參考數據：sin35.0° ≈ 0.57，cos35.0° ≈ 0.82，tan35.0° ≈ 0.70，sin33.5° ≈ 0.55，cos33.5° ≈ 0.83，tan33.5° ≈ 0.66.）

（2）該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論“用已知高度的側傾器CD測出仰角∠ADF的度數，再測出BC的長來計算塑像高度AB”的方案，但未被采納. 你認為其原因可能是什么？（寫出一條即可.）

參考答案：塑像的高度為12.26 m.

（2）塑像下半部分為底座，其底部不可直接到達，不能準確測出BC.

4. 問題情境：

數學課上同學們探究正方形邊上的動點引發的有關問題. 如圖16（1），正方形ABCD中，E是邊BC上的一點，點D關于直線AE的對稱點為點F，直線DF交AB于點H，直線FB與直線AE交于點G，連接DG，CG.

猜想證明：

（1）當圖16（1）中的點E與點B重合時得到圖16（2），此時點G也與點B重合，點H與點A重合. 同學們發現線段GF與GD有確定的數量關系和位置關系，其結論為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（2）希望小組的同學發現，圖16（1）中的點E在邊BC上運動時，（1）中結論始終成立. 為證明這兩個結論，同學們展開了討論.

小敏：根據軸對稱的性質，很容易得到GF與GD的數量關系，……

小麗：連接AF，圖中出現新的等腰三角形，如△AFB，……

小凱：不妨設圖中不斷變化的角∠BAF的度數為n，并設法用n表示圖中的一些角，可證明結論.

請你參考同學們的思路，完成證明.

（3）創新小組的同學在圖16（1）中，發現線段CG∥DF，試說明理由.

聯系拓廣：

（4）如圖16（3），若將題中的“正方形ABCD”變為“菱形ABCD”，∠ABC = α，其余條件不變，試探究∠DFG的度數，并直接寫出結果.（用含α的式子表示.）

參考答案：（1）GF = GD，GF⊥GD.

（2）連接AF，證明略.

（3）連接AF，BD，證明略.

（4）∠DFG = 90° - [a2]. 理由略.

5. 觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.

在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，過點A作AD⊥BC于點D，如圖17（1），

則sin B = [ADc]，sin C = [ADb]，

即AD = csin B，AD = bsin C.

于是csin B = bsin C，即[bsinB=csinC].

同理，有[csinC=asinA]，[asinA=bsinB].

所以[asinA=bsinB=csinC].

即在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等. 在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素. 根據上述材料，完成下列各題.

（1）如圖17（1），△ABC中，∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 60，則AB的值為 ? ? .

（2）如圖17（2），一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里 / 時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上，求此時貨輪距燈塔A的距離AB.

（3）在（2）的條件下，試求75°的正弦值.（結果保留根號.）

[A][C][D][c][a][B][b] [（1）] [北][南][西][東] [A][C] [30°][30°][75°] [（2）][B][圖17]

參考答案：（1）AB =[206];

（2）貨輪距燈塔A的距離AB =[156];

（3）sin75° = [2+64].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數學課程標準（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]陳莉紅，張仁華. 2018年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2019（3）：47-55，59.

[4]劉永東. 2016年中考“綜合與實踐”專題命題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2017（3）：54-64.