2020年中考“事件的概率”專題命題分析

譚宏杰

摘? 要：2020年全國各地區中考“事件的概率”相關試題穩中求新、“活”而不難，從題量、題型、思想、素養、深度與難度出發展開命題分析，在數學基礎、數學價值、數學素養的角度提出概率模塊知識點的應對復習、知識體系的完整復習，以及與其他知識同步開展的融合復習等復習建議.

關鍵詞：事件的概率;命題分析;復習建議

“概率”是初中數學四個課程內容之一的“統計與概率”知識的組成模塊，主要內容包括了解必然事件、不可能事件、隨機事件及其概率的有關概念，理解用列舉法（枚舉法、列表法和畫樹狀圖法）求簡單隨機試驗中事件的概率，利用頻率估計概率.“概率”也是歷年中考的常考內容之一. 筆者對2020年全國各地區98份中考試卷進行整理、剖析、歸納，對其中“事件的概率”試題的命題分析如下.

一、考查內容分析

2020年中考數學“事件的概率”命題以《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）為依據，其對“事件的概率”教學與考查的要求是：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事件的概率;（2）知道通過大量地重復試驗，可以用頻率來估計概率. 整理的98份中考試卷都是嚴格按照《標準》要求進行命題的.

1. 考查的題量與題型

2020年全國大部分地區的中考試卷對概率的考查題量一般是1道題（76份試卷）或2道題（16份試卷），但也存在如廣東卷、江蘇南京卷、山東聊城卷、山東淄博卷、四川宜賓卷、浙江嘉興卷中將統計與概率作為一個整體考查，命制了統計部分的試題，沒有單獨考查概率的情況.

整理的98份中考試卷中共有108道概率相關的試題，其在各份試卷中分布較廣，在選擇題、填空題與解答題中均有涉及. 其中，解答題占比最大，接近半數;純概率知識的試題和概率與其他知識復合的試題各占一半，客觀題中仍是純概率知識題占據主流，而解答題除了河北卷第25題外，都是由概率與統計知識復合而成.

2. 考查的知識與思想

在知識層面，以判斷命題的形式考查學生對隨機事件的認識，對必然事件、不可能事件及其概率的理解;以主觀題考查利用試驗的頻率估計事件發生的概率;以選擇題、填空題或解答題的形式考查列表或畫樹狀圖求隨機事件的概率.

在思想層面，以“摸球”過程中“放回”與“不放回”為基本數學模型，考查學生的建模思想和分類討論思想;以概率的古典定義公式[PA=mn]（其中，[PA]為簡單隨機事件[A]的概率，n為列出所有可能的結果，m為指定事件發生的所有可能結果）考查學生的化歸思想.

3. 考查的深度與難度

《標準》雖然沒有明確說明“事件的概率”教學要求是“了解”“理解”還是“應用”，但從表述中可知概率的概念是“了解”層面，頻率估計概率是“理解”層面，求簡單隨機事件的概率是“應用”層面. 從考查的概率知識來看，試題對概率知識命題判斷、一次試驗概率、二次試驗概率、頻率估計概率分別以不同的數學或生活情境進行考查，考查的深度適中，沒有涉及偏、難、怪題，但難度有所差異，差異的根源在于試題中復合的其他知識的考查難度不同.

二、命題思路分析

從“事件的概率”考查的內容分析，我們可以初步揣度命題者的命題思路：（1）命題者開始衡量統計知識和概率知識哪個現實價值更大，是否必須考查概率知識;（2）從概率知識的內涵及應用角度看，概率依舊是初中數學知識體系中的重要內容，是承接初中學業水平檢測及高中選拔考試良好的知識載體，同時也是拓展、復合其他知識的良好命題載體;（3）概率知識能很好地反映學生的數感、符號意識、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識;（4）概率知識的考查可以基于社會熱點、時事問題等現實生活情境，能有效引導教師在日常教學中踐行“立德樹人”的教育根本任務.

1. 立足基礎常規，重視“四基”經驗

《標準》對概率內容的要求處于初級水平，教學重點在于概率意義的理解和隨機觀念的培養. 命題過程中會把握重點和控制難度，不會在概率的深層次理解和應用上做文章，也不會在繁難的計算上做要求，試題中的試驗結果有限且數量不多，能通過列舉法（枚舉法、列表法或畫樹狀圖法）或用頻率估計概率能求出事件的概率. 根據試題中給出的條件，學生能快速從試題中抽取信息，對號入座相關的初中數學概率模型，如放回型或不放回型，進而通過熟悉的解決事件的概率方法解答試題. 例如，黑龍江齊齊哈爾卷第4題考查了一次試驗、直接應用概率的古典定義公式[PA=mn.]

例1 （黑龍江·齊齊哈爾卷）一個質地均勻的小正方體，六個面分別標有數字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，擲小正方體后，觀察朝上一面的數字出現偶數的概率是（? ? ）.

（A）[12]? （B）[13] ? （C）[14]? （D）[23]

又如，湖南衡陽卷第20題第（2）小題考查了二次試驗、通過列表法或畫樹狀圖，最后使用概率的古典定義公式求解.

例2 （湖南·衡陽卷）一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黑球和n個白球，攪勻后從盒子里隨機摸出一個球，摸到白球的概率為[13.]

（1）求n的值;

（2）所有球放入盒中，攪勻后隨機從中摸出1個球，放回攪勻，再隨機摸出第2個球，求兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率.試用畫樹狀圖或列表的方法進行說明.

個別試題考查了“事件的概率”相關基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗中最質樸、最本源的內容. 例如，湖南衡陽卷第20題第（1）小題和黑龍江綏化卷第8題，考查學生對概率的古典定義公式中每個變量的理解及應用.

例3 （黑龍江·綏化卷）在一個不透明的袋子中裝有黑球[m]個、白球[n]個、紅球3個，除顏色外無其他差別，任意摸出一個球是紅球的概率是（? ? ）.

（A）[3m+n] （B）[3m+n+3]

（C）[m+nm+n+3] （D）[m+n3]

內蒙古通遼卷第21題考查三次試驗概率情況，是對二次試驗概率的深刻理解與拓展應用.

例4 （內蒙古·通遼卷）甲口袋中裝有2個相同小球，它們分別寫有數字1，2;乙口袋中裝有3個相同小球，它們分別寫有數字3，4，5;丙口袋中裝有2個相同小球，它們分別寫有數字6，7.從三個口袋各隨機取出1個小球.用畫樹狀圖或列表法求：

（1）取出的3個小球上恰好有一個偶數的概率;

（2）取出的3個小球上全是奇數的概率.

2020年全國各地區中考“事件的概率”試題中很多是以上述典型常規概率試題為命題方向，由于概率知識對學生應用能力要求不高，是定位給大部分學生“摘到果子”之所在. 在今后的中考相關試題中，這一趨勢應該仍會保持.

2. 凝練生活氣息，體現數學價值

人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第二十五章“概率初步”的教學建議為“概率與現實生活的聯系非常緊密，這一領域的內容對學生來說應該是充滿趣味性和吸引力的……選擇典型的、學生感興趣的和富有時代氣息的現實問題作為例子，在解決這些實際問題的過程中學習計算概率的方法、理解概率的意義”.

很多試題素材來源于生活，在看似平凡的問題中體現概率最基本的知識原理和思想方法，培養學生用數學眼光觀察世界、理解世界，解決生活中的實際問題. 例如，廣西玉林卷第16題考查紅綠燈時車輛通行的隨機事件及其某一事件發生的可能性.

例5 （廣西·玉林卷）經過人民中路十字路口紅綠燈處的兩輛汽車，可能直行，也可能向左轉，如果這兩種可能性大小相同，則至少有一輛向左轉的概率是 ? ? ? ? .

又如，湖北恩施卷第6題以選粽子為背景命制試題，體現了濃濃的生活氣息.

例6 （湖北·恩施卷）“彩縷碧筠粽，香粳白玉團”.端午佳節，小明媽媽準備了豆沙粽2個、紅棗粽4個、臘肉粽3個、白米粽2個，其中豆沙粽和紅棗粽是甜粽.小明任意選取一個，選到甜粽的概率是（? ? ）.

（A）[211]? （B）[411]? （C）[511]? （D）[611]

在調查的98份2020年全國各地區中考試題中，有11道“事件的概率”試題以“新冠肺炎疫情”這一熱點問題作為情境展開命題，如江蘇徐州卷第21題.

例7 （江蘇·徐州卷）小紅的爸爸積極參加社區抗疫志愿服務工作.根據社區的安排，志愿者被隨機分到A組（體溫檢測）、B組（便民代購）、C組（環境消殺）.

（1）小紅的爸爸被分到B組的概率是 ? ? ;

（2）某中學王老師也參加了該社區的志愿者隊伍，他和小紅爸爸被分到同一組的概率是多少？（試用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程.）

此題除了一次試驗和二次試驗求概率這一知識性考查外，還有在知識外的命制目的，即讓學生銘記我國抗擊“新冠肺炎疫情”的艱辛，以及對志愿者在抗疫期間的付出的認可，傳遞著一心為公、有所擔當的德育元素，這是初中數學學科德育的呈現方式之一. 同時也向初中數學教師傳遞了“數學教學”向“數學教育”轉化的要求，提醒教師在教學概率知識時要注重選取與生活密切聯系的素材.

3. 知識復合考查，凸顯學科素養

在近幾年的中考中，將統計與概率知識復合在同一道試題中進行考查成為常態，嚴格來說是概率借助統計考查試題的現實情境，是對統計知識考查結果的拓展，是相對比較松散的知識復合考查. 這種考查方式在2020年中考中仍然普遍存在，知識復合概率將是未來中考考查的重點方向之一.

知識復合概率考查的試題根據知識復合程度分三種類型.

第一種：涇渭分明型，即概率知識和其他知識涇渭分明，可以先完成其他知識再根據結果完成概率的內容. 例如，內蒙古通遼卷第10題先讓學生根據無理數概念、因式分解、正方體的性質、扇形弧長及面積公式判斷命題的正確與否，再通過概率公式求出最后結果，兩者雖有正確解題的相互支撐，但又在解題過程中相對獨立.

例8 （內蒙古·通遼卷）從下列命題中，隨機抽取一個是真命題的概率是（? ? ）.

（1）無理數都是無限小數;

（2）因式分解[ax2-a=ax+1x-1;]

（3）棱長是1 cm的正方體的表面展開圖的周長一定是14 cm;

（4）弧長是20π cm，面積是240π cm2的扇形的圓心角是120°.

（A）[14]? （B）[12]? （C）[34]? （D）1

第二種：知識融合型，即從概率角度入手必須使用其他知識解題，從其他知識角度入手也是概率解題的必要步驟，特別是面積類求概率的試題. 例如，湖北隨州卷第14題.

例9 （湖北·隨州卷）如圖1，△ABC中，點D，E，F分別為AB，AC，BC的中點，點P，M，N分別為DE，DF，EF的中點，若隨機向△ABC內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為 ? ? ?.

第三種：綠葉參與型，即當完成其他知識的考查后，試題的概率結果已經顯而易見了. 例如，山東濱州卷第17題.

例10 （山東·濱州卷）現有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為 ? ? ? .

隨著知識復合考查概率的試題增多，概率試題將出現“新”的命題趨勢. 此“新”更多的是指概率題將復合不同的知識及知識要點，實現對學生綜合能力和學科素養的考查.

三、復習教學建議

根據穩中求新的“事件的概率”知識模塊命題思想，復習的教學思想應該遵循常規基礎復習為主、適度前瞻滾動、動態分層提升的策略.

1. 檢測選拔的目標背景下，概率模塊應對復習

為實現初中學業水平檢測和高中入學選拔的雙重目標，讓學生“做對題”是考試最“社會化”的要求. 在此背景下，要從歷年中考試題中“事件的概率”及其趨勢所考查的題型、難度入手，依標據本，選取難度適當的題目，分門別類進行系統訓練與鞏固，應對中考常規試題展開復習. 筆者在“事件的概率”專題復習中常以一個題干（摸球模型）將初中階段需要掌握的概率知識命題判斷、一次試驗概率典型題、二次試驗概率典型題、使用頻率估計概率、三次試驗概率典型題、概率應用能力題整合在一起復習（詳見下文模擬套題）.

2. 思維素養的考查背景下，概率模塊完整復習

“事件的概率”知識模塊命題將考查基礎知識、基本能力、基本素養，側重數學思維、實踐應用、創新融合，兼顧知識的“生長點”和“延伸點”.

在思維素養的考查背景下，對概率模塊的復習需要有完整的初中數學概率知識框架（如圖2），對框架中的數學知識、數學思想與數學方法要做到胸有成竹.

3.“活”而不難的命題背景下，概率模塊融合復習

“事件的概率”中考試題以常規考查為主，同時也存在創新命題，集中在試題的情境及復合其他基礎知識. 因此，對概率的復習不必過于刻板和集中，可以采取“cháng”備考復習策略——拉“長”概率部分備考復習時長;“常”練相關難點、易錯題型，在其他知識模塊的備考復習過程中融合概率知識的復習. 概率模塊與其他知識模塊進行融合復習的設計，有助于實現復習過程中知識間的咬合、滾動與不斷夯實鞏固.

4.“培養人”的教育背景下，善于命題指引復習

2019年3月18日，習近平主持召開學校思想政治理論課教師座談會并發表重要講話，最根本的是要全面貫徹黨的教育方針，解決好培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人這個根本問題. 正如《標準》的要求，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面不可替代的作用. 中考試題是引導教師“教”與學生“學”的指揮棒，教師應該與時俱進，提升自身的命題能力，緊握這根指揮棒，實現知識技能、數學思考、問題解決和情感態度的教學總體目標.

四、模擬題欣賞

筆者編制了一組“模擬套題”，是以“不放回摸球模型”為背景，圍繞《標準》要求命制的符合“了解概率概念、理解頻率表示概率、應用樹狀圖或列表解決概率問題”的基礎題目，能夠讓學生更好地感受隨機事件、概率內涵及應用. 其中，問題6增加了題目情境和開放性的設計，既考查學生對概率知識的深層次認知，又能讓學生感受到概率知識的實用價值、感悟數學的思維與嚴謹. 這6個問題以適當的梯度展開，對學生的知識及其他層面的素養要求有著由淺入深的考查，可以為學生不斷進步鋪設階梯，讓不同的人在數學上得到不同的發展.

題目? 在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4.

問題1：（概率知識命題判斷）以下說法錯誤的是（? ? ）.

（A）摸出標號為6的小球是不可能事件

（B）摸出的小球標號都小于6是必然事件

（C）摸一次球，摸出標號分別為1，2，3，4的小球雖然是隨機的，但可能性是不一樣的

（D）摸出標號為5的小球的概率是0

參考答案：C.

問題2：（一次試驗概率典型題）若隨機摸出一個小球，則摸出標號為3的概率是（? ? ）.

（A）[14]? ?（B）[13]? ?（C）[12] ? （D）[34]

參考答案：A.

問題3：（二次試驗概率典型題）若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球.試用樹狀圖或列表求兩次取出小球標號的和等于5的概率.

解：依題意可得樹狀圖如圖3所示.

[7][開始][第一次][第二次][和][1][2][3][4][5][6][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [3][4][3][5][4][5][5][6][7][圖3]

所有等可能的情況有12種，其中兩次取出的小球的標號的和等5的情況是4種，

所以[P和為5=412=13.]

問題4：（使用頻率估計概率）在口袋中再放入若干個完全相同但沒有標號的白色小球，某學習小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出1個球，摸到白色小球打“√”，摸到標號小球打“○”，之后放回、攪勻，不斷重復這個過程，獲得數據如下表所示.

[摸球的次數 200 300 400 1 000 1 600 2 000 打“√”的頻數 72 93 130 334 532 667 打“√”的頻率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5 ]

估計該學習小組摸一次球，摸到白球的概率是? ? ? ? .（精確到0.01），由此估出白球的個數為? ? ?.

參考答案：0.33，2.

問題5：（三次試驗概率典型題）若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球后仍不放回，第三次隨機摸出一個小球. 試用樹狀圖或列表求三次取出小球標號的和等于6的概率.

解：依題意可得樹狀圖如圖4所示.

[開始][第一次][第二次][和][1][2][3][4][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [3][4][2][4][2][3][3][4][1][4][1][3][2][4][1][4][1][2][2][3][1][3][1][2] [6][7][6][8][7][8][6][7][6][9][7][9][6][8][6][9][8][9][7][8][7][9][8][9][圖4]

所有等可能的情況有24種，其中三次取出的小球的標號的和等6的情況是6種，

所以[P和為6=624=14.]

問題6：（概率應用能力題）小明和小亮都想去觀看電影，但必須有一個人留在家里等候簽收重要快遞，于是他們設計了一個“摸球”游戲：若隨機摸出一個小球后記下標號但不放回，再隨機摸出一個小球也記下標號. 試補充完整、公平的“摸球”游戲規則，并說明其公平性.

解：游戲規則如下：第一次摸出小球標號大于第二次摸出的小球標號，則小明勝;反之，則小亮勝.

畫樹狀圖如圖5所示.

[開始][第一次][第二次][1][2][3][4][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [圖5]

因為[P小明勝=P小亮勝=612=12，]

所以這樣的游戲規則公平.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.