彈性機構的動力學模型及分析

劉曉靜

摘要：以梁單元作為研究基礎，引入型函數與廣義坐標建立單元運動微分方程。通過坐標轉換矩陣與協調矩陣結合拉格朗日方程組集得到系統的運動微分方程。以彈性四桿機構作為研究對象，對其鉸接點與系統內任意一點的彈性位移進行了動力學建模與分析，為后續機構的可靠性計算奠定基礎。

關鍵詞：彈性機構;動力學模型;彈性位移;運動微分方程

0? 引言

早前對運動機構的研究局限于其剛性分析，對其彈性變形對工作性能及可靠性的影響考慮甚少。隨著工業的不斷發展，機構的彈性變形對機構的影響日益增加。現有國內外很多學者研究彈性機構的動力學分析。Howell[1]和Midha提出偽剛體模型，奠定了彈性機構的研究的基礎。HETRIK[2]等研究了彈性機構的拓撲優化設計方法的重要性。張義民[3]則提出了機械動態與漸變可靠性理論。

本文以梁單元作為研究基礎，引入型函數與廣義坐標建立單元運動微分方程。通過坐標轉換矩陣與協調矩陣結合拉格朗日方程組集得到系統的運動微分方程。以彈性四桿機構作為研究對象，對其鉸接點與系統內任意一點的彈性位移進行了動力學建模與分析。

1? 彈性連桿機構的模型建立

對于任意一個梁單元都可以建立一個獨立的局部坐標系，取梁單元左端點作為坐標原點即可建立局部坐標系xay，如圖1。

2? 算例

以彈性四桿機構為例，彈性四桿機構的具體參數見表1。基于基本參數建立彈性四桿機構的動力學方程，得到系統運動微分方程，可以獲得系統任意位置系統坐標系下的彈性位移。

選取連桿與曲柄的中點作為研究對象，主動桿件轉速為300r/min時，選取點與對應的彈性變形示意圖如圖2。x1、x2為彈性軸向位移，y1、y2為彈性縱向位移。

圖3、圖4為連桿中點的彈性軸向、縱向位移隨著主動桿件轉動一周的曲線圖，從圖3、圖4中可以看出彈性變形最大值出現在0-30°，即機構啟動前期，機構的啟動對于連桿任意點影響較大，隨著主動桿件的變化，彈性位移隨之而發生波動。從圖3、圖4中可得到彈性連桿機構的縱向位移峰值為0.321mm，彈性縱向位移峰值為0.323mm。

圖5、圖6分別為曲柄中點對應的彈性軸向、縱向位移隨著主動桿件轉動一周的曲線圖，從圖5、圖6中可以得到曲柄中點的彈性變形同樣最大值出現在0-30°但隨著主動桿件轉速變化彈性變形的波動趨勢與連桿中點的變化趨勢有所不同，因此桿件不同點的彈性變形在同一時刻有所不同。

3? 結束語

彈性機構的彈性變形最大值出現在0-30°，即機構啟動前期，機構的啟動對于連桿任意點影響較大，隨著主動桿件的變化，彈性位移隨之而發生波動。

由此通過計算可以得到彈性四桿機構中任意一點處的彈性變形隨著主動桿件轉動的變形情況，為后續機構的可靠性計算打好基礎。

參考文獻：

[1]L. L. Howell， A.Midha， A Loop-Closure Theory for the Analysis and Synthesis of Compliant Mechanisms [J]. SME Transactions， Journal of Mechanical Design， 1996， 118（1）： 121- 125.

[2]HETRIK J A，KOTA S. An energy formulation for parametric size and shape optimation of compliant mechanims[J]. Trans. ASME Journal of Mechanical Design，1999，121（3）：229-233.

[3]張義民.機械動態與漸變可靠性理論與技術評述[J].機械工程學報，2013，49（20）：101-114.

[4]韓清凱，孫偉，王伯平，李朝峰.機械結構有限元法基礎[M].北京：科學出版社，2013：93-102.

[5]Chunmei J， Yang Q， Ling F， et al. The non-linear dynamic behavior of an elastic linkage mechanism with clearances[J]. Journal of sound and vibration， 2002， 249（2）： 213-226.

[6]王小瓊.彈性機構系統可靠性分析與穩健優化設計[D].東北大學，2014.