芻議現行估算教學中的“缺”與“補”

施小鋒

摘要：估算的本質在于結合實際的背景對數量進行“估計、權衡和量度”。估算在生活消費中運用廣泛、估算相較于精算優勢顯著、估算在解決問題中對于數學素養的形成意義深遠，但是學生對估算并非主動出擊而是被動應對，不是積極悅納而是消極接受，經常出現“要我估算我才估算”的現象。本文試圖通過“正視價值功效，補估算‘元氣’”、“厚植教學策略，補估算‘朝氣’”、“明確方法格式，補估算‘底氣’”，三“補”三“氣”，化解尷尬、破解疑難，引導并培養學生逐步形成良好的估算意識和估算能力。

關鍵詞：估算;乘除法;解決問題;尷尬;破解;策略

一、問題緣起

這是最新改版作業本五上第一單元“小數乘法”P12單元綜合練習上的最后一題。這道題考查的小數乘法的運用，兩個分步的乘積中“學生的票價”筆算麻煩，需要估算，“教師的票價”可采用口算也可以采用估算，整個題目采用估算解答（下表中的策略3或策略4）比較簡單。

那學生又會選擇什么方法解答這個題目呢？我們對全校172名五年級學生進行了調查。統計結果如下：

因為是在學完了整個單元后進行的一次獨立練習，因此反映的學生狀況和能力水平相對比較客觀、真實。172名學生中，只有45名同學選擇用估算對真實需要的環節或步驟（學生票價部分）來解答，占比26.2%，其中只有35名同學過程和結論是正確的，總的正確率只有20.3%。

二、現狀分析

為什么學生“不喜歡”、不擅長估算呢？通過訪談師生發現，沒有選擇估算主要有以下五個方面原因：

1.現行教材編排系統性的缺乏：人教版教材中，二下和三上都安排了“加法估算解決問題”，三上還安排了乘法估算解決問題，但將重點放在了“≈”的教學上。四年級沒有安排估算教學，五年級安排了小數乘法估算。知識點零散，缺乏整體性;時間跨度長，缺乏統一 表征格式。

2.估算解題自身優越性的缺憾：估算會出現多種不同的結果，這就要顧及結果是否合理、說理是否有力，若不合理或缺乏說服力，則需要進行調整。學生嫌“難學”，步驟多、說理繁、要繞彎，不如精算來得直接。

3.學生對解題能力儲備的缺漏：學生對單一的指令性的計算估算會，但要運用于實際問題情境中，顯得茫然，既沒有心理準備，也沒有能力儲備。在估算能力不是很強的情況下，會覺得信不足而選擇更為保險的“精算”。

4.教師對估算價值認識的缺位：精算固然重要，但是在旅游、購物、行程等實際運用中，估算的選擇更為廣泛。教學中，教師多是被動的接受，大多是看到“大約”“估計”等詞以后才引導學生用估算，很少主動出擊，弱化了“估算”該有的功能和價值。

5.傳統估算教學中方法的缺失：估算需要借助一定的數學語言、符號等進行有條理地表達和有依據的推理。學生和老師普遍認為估算中缺少了一些約定的格式和統一的要求，表征難度大，可以借鑒和參照的資料太少。

估算在現有研究文獻中，比較多的是按照操作任務的差異劃分為三類：測量估算、數量估算和計算估算。本文主要就“計算估算”在乘除法解決問題運用中進行展開，后面文中都簡稱為“估算”。

估算，是相對精算而言的一種運算。從現實來看，估算能力是現代化社會生活中的“必需品”;從新課程標準來看，估算能力也已然成為運算技能和能力的“必備品”。

一方面估算“十分重要”、“百分功效”，而另一方面卻是教師對估算“十足不想”教、學生對估算“百般不愿”用。如何化解這種尷尬境遇，如何破解估算教學中的“冰火兩從天”？教師不妨從以下“三補”入手。

三、破解策略

（一）正視價值功效，補估算“元氣”

1.轉變觀念，挖掘估算價值

估算不僅僅是單純的數學知識和簡單的計算方法，它對于培養學生的數感、直覺思維、推理能力，增強運用意識、認識事物的整體感覺，提高他們的觀察、處理解決實際問題能力等有著積極、深遠的意義。

教師要充分挖掘生活案例，引導學生感受估算的重要性和運用的廣泛性。課堂上，通過觀察、判斷、比較、推理等認知活動，引導學生獲得概括性的結果，從而形成對數量關系或空間形式的全局化、整體性把握，既培養了估算能力，也訓練了思維、發展了智力;課堂上，組織學生交流各自的估算方法，比較各自估算的結果，從而發展出形式各異的估算方法和技巧。

2.適時介入，體現估算優勢

（1）在順意時凸顯優越：教師可以設計連線、選擇等可以進行精算完成也可以通過估算完成的題目，引導學生進行比賽。

如，在學完了小數乘除法后，我出了這樣一組連線題：把這些籃球分別投進對應的籃筐中，并且說說你的方法。

像這樣“半開放式”題型的設計和練習，如果選擇估算，就能既對又快地找到對應的籃筐，學生將充分感受到估算帶來的優越感。

（2）在迷茫時絕處逢生：在完成上面四個籃球的“投籃”后，出示：

“籃球3.2×9.□8”，應該投進下面（ ）個“籃框”中？

A.31.364 B.28.386 C.31.296 D.32.496

如果學生能通過精算完成時，他們會覺得至少還有“保底”。但當數據不齊而精算“斷路”時，學生必然“背水一戰”、另辟蹊徑，這時估算的閃亮登場才是最渴望和最有生命力的。

（二）厚植教學策略，補估算“朝氣”

1.對比，拓估算寬度，顯估算方法的靈活性

（1）相同數據，不同處理方式的對比

232÷5，232÷8，232÷7，232÷11，都是232除以一個數，引導學生比較怎么估算。232÷5≈250÷5，232÷8≈240÷8，232÷7≈210÷7，232÷11≈220÷11。為什么同樣是數據232，“估成”的數完全不一樣？引導學生估算應“先估后算”，估算中的兩個很重要的要素是“計算方便”、“盡量接近”。然后教師追問：那除數是多少時，我們才把232看成230？（除以23，或者除以10時）。

在計算小數乘法估算，12.8乘以一個數時，另一個因數不同，12.8看成的數也不盡相同。當12.8乘以一般的數時可以估成13或10再計算;12.8乘以8時，把12.8估12.5比較好，方便且接近。

（2）相同情境，不同問題要求的對比

體育組要買一批跳繩，每根2.65元，五年級172人每人一根。

①購物前思考，準備600元錢夠不夠？（“估大法”）

②購物滿400元可送護腕，能否贈送護腕？（“估小法”）

③付款時思考，大約需要多少元？（“四舍五入法”）

④收銀員收款，一共需要付多少元？（精算）

通過對相同數據在不同算式中的對比、相同情境中不同問題的對比，引導學生明白估算的方法是靈活的、開放的，只有“高瞻遠矚”、方法了然于胸，才能根據數據特點或結合問題要求，靈活選擇估算的方法。

2.聯系，增估算厚度，顯估算過程的融通性

（1）依托現實情境

情境架起了抽象的數學知識和具象的兒童思維之間的橋梁和紐帶。很多時候，估算只有鑲嵌在實際情境之中，才能顯現出估算的價值和作用，并在不同的情境中加以比較。

①勝利小學有28個班，平均每班32人，共有980個座位的影院，能坐下嗎？

②加工車間要進28箱零件，每箱重32千克。一輛核定載重800千克的小車一次運走會超載嗎？

比較得出，同樣的式子28×32，在不同的情景中，處理是不一樣的。

第一題，估大法：28×32≈30×32=960（估大了），比980小，坐得下;

第二題，估小法：28×32≈28×30=840（估小了），比800大，超載了。

讓學生在不同教學情境中嘗試使用估算，可不斷增強學生估算的適切性和變通性。讓抽象與具象 “呼應”，讓感性和理性“中和”。

（2）貫通聯系四算

估算與口算、筆算、簡算之間具有密切的內在聯系，教學中需要將他們有機滲透、相互融合，不可人為割裂。

①事先想一想：面對問題解決，首先要觀察并判斷是否需要精確計算，如果要，才是考慮是用什么方法計算（口算、筆算）？如果不必精算，考慮如何進行估算或四舍五入，如何進行事實說明和結論闡述。

②算前估一估：當學生確定了具體算法（筆算）后，先引導學生對計算結果進行估計，對結果有大致的了解和預判，這樣既有利于培養學生良好的數感，培養數據的分析和處理能力。

③最后比一比：當學生計算出精確結果后，再與之前估計的結果進行對照，引導學生比較是估大了，還是估小了！出現偏差的原因是什么？這樣的指令和針對性地訓練多次重復進行，勢必能提高學生的思辨能力，提高對運算的整體把握能力，也必將提高計算的正確率。

（3）合理解釋誤差

上題中題目改成：勝利小學有28個班，平均每班32人，“恒達影城”共有900個座位，能坐下嗎？

學生一般有下面幾種方法：

方法一：32×28≈32×30=960（估大了），比900大，坐得下;

方法二：32×28≈30×28=840（估小了），比900小，坐不下;

方法三：32×28≈30×30=900，一個估大2一個估小2，抵消，剛好能坐下。

方法四：32×28=896（精算）<900。

學生比較納悶，一個題目多種方法，結論還都相互“打架”。如果說方法一和方法二由于估大和估小，可以得到準確值在840和960之間，不好比較可以理解！但是方法三，一個估大2，一個估小2，為什么誤差不正好抵消呢！此時，教師可以出示矩形圖來幫助理解誤差。

如何發揮估算的育人價值，需要每一位教學工作者轉變自己的觀念與價值取向，在日常的教學中有效滲透、有機結合。這樣，估算才會展現出它該有的姿態。

3.改變，強估算效度，顯習題編擬的人文性

（1）變封閉唯一為開放多元

文中一開始講述作業中的“120元是否夠”這個題目，可以改編成：教師2名，票價5.□元，學生35名，票價2.8元，帶120元錢是否夠？當然，題目還可以再開放：5.□×2+2.□×35，引導學生比較120元是否夠，這就能完美避開“大多數選擇精算而很少人選擇估算的尷尬”。

（2）變順向思維為逆向思維

502×（ ）≈3000 6391÷（ ）≈8 □×2+2.9×35（>）120，方框中最小是多少？

通過開放多元、逆向思考的習題練習，對培養學生的逆向思維和發散思維，思維的靈活性和縝密性大有裨益。

（三）明確方法格式，補估算“底氣”

筆者根據估算在解決實際問題時問題的類型和要求，把估算分為結果計算型和推理說明型兩類。

1.結果計算型估算，加強方法指導

結果計算型估算重在得到近似結果，可用四舍五入將參與計算的數看成和它接近的整十（整百）數，或看成方便計算的“特殊數”進行估算。

（1）就近性取整估算：就近取整估算是教材中比較強調的一種估算方法，是運用最廣泛也是最有用、有效的策略。取整包括取整十數、整百數、整千數，小數主要是取整數或取比原小數位數少一位或少幾位的近似小數。

（2）簡潔性口訣估算：簡潔性口訣估算，就是在充分考慮數據特點情況下，直接利用乘法口訣去估算結果。在乘法和除法中運用較為常見。

（3）引入中間量估算：引入中間量往往用于結果的大小比較中。如比較4÷7和11÷23時，可以引入中間量0.5，4比7大的一半大，而11不到23的一半，故填大于。

（4）分小數互化估算：在計算小數乘除法時，很多時候把小數轉化成接近的分數進行計算，會出現意想不到的簡便效果。

如：437×0.76大約是多少時，最簡便的也是最優的方法為：437×0.76≈440×=330。

2.結果比較型估算，規范書寫要求

結果比較型估算既要估算結果，更要表達結果推理的過程。在解決實際問題中需要借助一定的數學語言、數學符號進行“有條有理”的表達、“有根有據”的說理。具體的書寫格式可以概括為“估、想、比、答”四個步驟。以開頭作業本上的題目為例：

估：2.8×35+5.8×2≈3×35+6×2=117（元）

想：2.8<3，5.8<6，結果估大了

比：117<120

答：120元夠了。

估算方法的滲透和引導、書寫格式的規定和統一，有利于教師在教學中有“章”可循、有“法”可依。規范的書寫格式能幫助孩子形成縝密的思維、嚴謹的表達。

四、理性思辨

1.關鍵核心相通：測量的估算（如校園總長度的估測）、數量的估算（大數的估算，如一袋大豆的大概數量，一天水龍頭漏水多少千克等），其實在本質上同計算的估算有很多相通之處的，都是靈活選擇和確定合適的比較量或單位量（計量單位、計數單位），取近似值或取值范圍，巧妙計算里面有多少個比較量或單位量，綜合運用、分析結果的過程。

2.估算變化繁多：估算教學中，前后兩數只估一個，比較容易說出是估大了還是估小了。但兩個量都估，一個估大一個估小，估算值是偏大了還是偏小了，難以判斷，結果也就難以取舍。

3.適時感受局限：估算是一個綜合性很強的內容，還是再來說開頭講的作業本上的題目，如果有同學用“2.8×35+5.8×2≈2.8×40+6×2=112+12=124，比120元大了”來進行判斷的話，就需要調整估的過程和結果，使學生理解估算的局限性和特殊性。

五、結語

教學中，教師通過適時“補氣”，在后面的練習和運用中接受、認可并喜歡估算的同學越來越多。在一次次的估算中，學生通過觀察、比較、判斷、推理，對數感的形成、意識的增強、方法的把握、過程的完善、結果的判斷有了明顯的提升。“破解策略”的運用為學生數學素養的發展插上了展翅高飛的翅膀。

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]吳正憲，劉延革.吳正憲答小學數學教學50問[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

[3]吳亞萍.讓學生學習怎樣的估算[J].小學教育研究，2002（8）.

[4]張宏偉.估為“的”，算為“徑”：多位數乘以一位數估算課堂實錄[J].小學數學教師，2016（2）.

[5]范燕.對小學數學估算教學的思考[J].小學數學教師，2016（9）.

杭州市蕭山區瓜瀝鎮第三小學 浙江 杭州 311241