基于解析法的邊坡穩定性分析程序設計及應用

王偉明

【摘? ?要】? ?針對公路或鐵道工程中常用的4.5H法或36°線法確定圓弧滑動面的圓心具有一定偏差的問題，基于簡化Bishop解析法，通過積分計算獲得單一土層的直線型、折線型和階梯型路基安全穩定系數通用表達式。同時以MATLAB程序為平臺編制可用于直線型、折線型和階梯型路基的計算程序，并用4個算例檢驗程序的準確性。

【關鍵詞】? ?公路路基;邊坡穩定性程序;程序設計;路基邊坡;簡化Bishop法

Design and Application of Slope Stability Analysis Program

Based on Analytical Method

Wang Weiming

（Guangdong Construcion Polytechnic， Guangzhou 510440， China）

【Abstract】? ? In this paper， for the 4.5H method or 36° line method commonly used in highway or railway engineering， the center of the arc sliding surface has a certain deviation. Based on the simplified Bishop analytical method， the linear type， polyline type and ladder of a single soil layer are obtained through integral calculation General expression of type roadbed safety and stability coefficient. At the same time， the MATLAB program is used as the platform to compile the calculation program that can be used for straight line， broken line and stepped roadbed. Four examples are used to verify the accuracy of the program.

【Key words】? ? ?highway roadbed; slope stability program; program design; subgrade slope; simplified Bishop method

〔中圖分類號〕? U416.1 ? ?〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2021）01- 0075 - 04

0? ? ?引言

目前我國公路或鐵道工程建設中，黏性土的路基邊坡穩定性通常采用簡化Bishop法進行分析，先以4.5H法或36°線法確定圓弧滑動面的圓心位置，再通過迭代計算獲得穩定系數。該方法最大的問題在于通常不能精確確定最危險滑動圓弧圓心位置，有時會出現穩定系數偏差較大的情況，從而影響穩定性的判斷。

國內基于C語言、Visual Basic、MATLAB程序出現了不少邊坡穩定性的計算程序[1-2]，但這些程序大都以求解直線型邊坡為主。本文基于簡化Bishop解析法[3-6]，以MATLAB程序為平臺編制可用于直線型、折線型和階梯型路基的計算程序。

1? ? ?圓弧條分法的解析表達式

簡化Bishop法由于考慮土條間的相互作用，因此其精度較高，也是現行規范的推薦方法之一，但在計算過程中需對劃分的每一條塊一一求和，計算過程繁雜，且容易出錯。而通過積分法既可簡化過程又可提高計算精度。

簡約Bishop法的穩定性系數公式為隱式解，可通過積分的方法獲得其顯式的解析表達式，其中以直線型路堤為例，一般情況下滑動面過坡腳，以坡腳為原點，受力分析圖示見圖1。

本文參考文獻[4]的解析計算，其穩定安全系數見公式（1）。

[FS=10lrh（x）sinadx0lc+rh（x）tan?cosα+tan?FSsinαdx] （1）

[h（x）=xtanβ-（b-R2-（x-a）2）（0≤x≤Hcotβ）H-（b-R2-（x-a）2）（Hcotβ≤x≤a+R2-（H-b）2）] （2）

公式（1）中，[c]為土的粘聚力，[γ]為土的重度，[?]為土的內摩擦角，（a，b）為圓心坐標，[l=a+R2-（H-b）2]，[sinα=x-aR]，[cosα=R2-（x-a）2R]，R為圓弧半徑，土條間豎向剪力Xi，Xi+1忽略不計。

折線型和階梯型路堤的計算公式與之類似，主要是[h（x）]函數有區別，見公式（3）（4）。

[h（x）=xtanβ1-（b-R2-（x-a）2）（0≤x≤H1cotβ1）H1+（x-H1cotβ1）tanβ2-（b-R2-（x-a）2）（H1cotβ1≤x≤H1cotβ1+H2cotβ2）H-（b-R2-（x-a）2）（H1cotβ1+H2cotβ2≤x≤a+R2-（H-b）2）] （3）

[h（x）=xtanβ1-（b-R2-（x-a）2）（0≤x≤H1cotβ1）H1-（b-R2-（x-a）2）（H1cotβ1≤x≤H1cotβ1+b1）H1+（x-H1cotβ1-b1）tanβ2-（b-R2-（x-a）2）（H1cotβ1+b1≤x≤H1cotβ1+H2cotβ2+b1）H-（b-R2-（x-a）2）（H1cotβ1+H2cotβ2+b1≤x≤a+R2-（H-b）2）]（4）

公式（3）中，[H1]、[H2]分別為折線段高度，[β1]、[β2]為相應折線段角度，這里只列舉兩條折線的[h（x）]函數，如有多段可以此類推。

公式（4）中的b1為階梯型路堤平臺寬度，其他符號含義如前所述，如有幾個臺階亦可以此類推。

依據以上幾式，由公式（1）通過積分計算可獲得單一土層的直線型、折線型和階梯型路基安全穩定系數，通用表達式見公式（5），式中的積分可通過MATLAB程序求解。

[FS=1IW[c/rIc（FS）+tan?H（FS）]] （5）

其中[IW=0a+R2-（H-b）2h（x）sinαdx];

[IC（FS）=0a+R2-（H-b）2dxcosα+tan?/FSsinα];

[H（FS）=0a+R2-（H-b）2h（x）dxcosα+tan?/FSsinα]，[h（x）]見公式（2）-（4）。

如遇不同填土組合，則應以公式（1）為基礎，考慮土層分布，依據土層[r]、[c]、[tan?]的值靈活調整積分區間分多段積分，積分后獲得表達式。

2? ? ?程序編制思路

根據[FS]的表達式可知，每一滑動面都對應一個穩定安全系數值，求取穩定安全系數最小值的本質也即尋找最危險滑動面的圓心坐標。依據文獻[1]的試算，圓心坐標的取值范圍為[-2H≤a≤Hcot?]，[H≤b≤3H]。本文對上述圓心坐標范圍進行搜索，為加快程序計算速度同時考慮強精度，初始搜索步長為0.5m，先給[FS]一初始值，依據公式（5）迭代計算[FS]，依據[FS]最小值初步鎖定危險圓弧滑動面的圓心坐標坐標范圍，以步長0.01m進行再次搜索并迭代計算，最終鎖定最危險滑動面的圓心坐標，輸出[FS]值，這樣既減少程序迭代計算時間又保證了精度。

根據以上思路編制了計算程序，其流程圖見圖2。

3? ? ?可靠性檢驗與應用

3.1? ?程序可靠性檢驗

算例1：文獻[4]引用文獻[8]的算例作為可靠性檢驗，本文同樣應用該算例。條件為土的重度[γ=19.62kN/m3]、粘聚力[c=58.86kPa]、摩擦系數[tan?=0.2]，邊坡高度[H=50m]，坡高比為[1：2.25]、[1：2.5]、[1：2.75]、[1：3]、[1：3.25]，同時以工程中常用的理正巖土軟件（6.5版）選擇簡化 Bishop條分法進行建模計算，結果見表1。

由表1數據可知，本文的計算結果較文獻[4]偏小1%～1.5%，較理正巖土計算結果偏小0.3%～0.6%，總體而言誤差較小，不影響結果判斷。另外本文計算程序每一圓心坐標下的迭代次數為2～3次，即可獲得滿足精度要求的[FS]值。本文與文獻[4]的誤差可能源于程序計算與手算之間的精度誤差。

算例2：以文獻[7]的算例1作為本文的算例2。條件為土的重度[γ=20kN/m3]、粘聚力[c=3kPa]、內摩擦角[?=19.6°]，邊坡高度[H=10m]，坡高比為[1：2]，計算結果見表2。

算例2為澳大利亞計算機應用協會（ACADS）針對邊坡穩定性計算程序而設計的考核題之一EX11，本題的參考答案為1.00。

由表2 的數據可知本文的計算程序與文獻[7]中所有方法的計算結果都接近參考答案，這表明本文直線型邊坡計算程序具有準確性。

算例3：以文獻[9]的比較算例作為本文的算例3。某高路堤，填土容重[γ=13.2kN/m3]，粘聚力[c=42.5kPa]、內摩擦角[?=15°]、邊坡高度[H=25m]，其中路基頂面以下8m坡高比為1：1.5，8m以下為1：1.75，荷載換算土高度為1m，計算結果見表3。

本文計算程序的計算結果較理正巖土計算值偏小0.51%，在工程實踐中偏于保守，具有一定的實際意義，這也表明本文折線型邊坡計算的準確性。而文獻[9]的計算結果與本文及理正巖土相差較大，原因可能是因為其采用的是4.5H法確定圓心，結果存在一定的偏差。

算例4：某地路塹邊坡，填土容重[γ=18kN/m3]，粘聚力[c=25kPa]、內摩擦角[?=23°]、邊坡高度[H=20m]，路基頂面以下8m坡高比為1：1.5，8m以下為1：1.75，中間平臺寬度2m。

計算結果：本文為1.583，理正巖土（簡化 Bishop條分法）為1.593。本文計算程序的計算結果較理正巖土計算值偏小0.63%，兩者誤差較小，表明本文階梯型邊坡計算程序的準確性可得到保證。

綜合以上4個算例，說明本文計算程序計算結果可靠，對工程實踐具有一定的指導意義。

3.2? ?應用

某路堤邊坡高度為25m，填土容重[γ=17.4kN/m3，]

粘聚力[c=20kPa]、內摩擦角[?=20°]，有3個方案可供選擇，方案一直線型邊坡;方案二折線型邊坡;方案三階梯型邊坡。經本文軟件計算，以FS≥1.35為目標，完成3個方案設計，結果見表4和圖3。

由表4可知，以上3個方案均滿足FS>1.35，穩定性滿足要求。從圖3可知，方案三在滿足穩定性要求的前提下比較經濟，且坡度較平緩，可緩和雨水對邊坡的沖刷。綜合考慮各項技術經濟指標，選擇方案三。

4? ? ?結論

本文編制的MATLAB計算程序可用于直線型、折線型和階梯型路基的穩定安全系數計算，與國內其他計算方法的誤差較小，三類路基的計算結果與工程中常用的理正巖土軟件誤差在0.3%～0.6%之間，精度可滿足工程需求，可用于工程實踐，具有一定的實用價值。本文程序目前尚不能對復雜土層進行穩定性分析，這也是今后的努力方向。

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