分離參數法在解高考數學題中的應用

摘 要：結合高考實例分析說明了分離參數法在解高考數學題中的討論方程根的個數、判斷函數的零點問題、解決不等式恒成立等多方面的應用，進而說明這種方法往往可以使問題簡化，達到事半功倍的效果。

關鍵詞：分離參數法;高考數學題;零點問題

所謂“分離參數法”是指在含有兩個量（一個參數和一個變量）的關系式（不等式或方程）中，要求變量的取值范圍，可以將變量和參數分離（即變量和參數各在等式或不等式的一端），從而求出變量的取值范圍或者是判斷解的存在性問題。它在求函數的值域或最值、數列求和、討論方程根的個數、函數的零點個數分析、不等式的恒成立判定以及根的存在性問題等諸多方面均有廣泛的應用，而且利用這種方法可使解答問題簡單化，達到事半功倍的效果。下面結合高考數學題實例來進行分析說明。

1 ?分離參數法在求解函數最值問題中的應用

例1 ?若關于x的函數的最大值為M，最小值為N，且M+N=4，則實數t的值為多少？

分析：先將該函數進行參數分離，然后利用奇函數圖像關于原點對稱，其最大值與最小值之和為零，得到M+N=2t，從而求得t的值。

解：對該函數進行參數分離得，令，因為g（x）是奇函數，其圖像關于原點對稱，所以最大值與最小值之和為零，從而得到M+N=2t，故有t=2.

評注：題目中出現最大值與最小值之和等問題，可以轉化為對稱性問題來解決，通過參數分離后出現了奇函數，再結合奇函數圖像的對稱性可以快速解決問題。此題如果是直接對已知函數求導，利用函數的單調性求其最大值與最小值，在利用已知條件求出參數t將極為麻煩。

2 ?分離參數法在討論函數零點個數中的應用

例2 ?已知f（x）是定義在R上且周期為3的函數，當x∈[0，3）時，，若函數y=f（x）-a在區間[-3，4]上有10個零點（互不相同），則實數a的取值范圍是 ? ? ?（2014年高考江蘇卷第13題）。

分析： 要求函數y=f（x）-a在區間[-3，4]上有10個不相同的零點，通過分離參數a轉化為要求函數y=f（x）與函數y=a在區間[-3，4]上有10個不相同的交點。

解 ?根據函數的圖象：

有;當且僅當x=1時，;同時知 .

關于x方程f（x）- a=0即f（x）=a在x∈[-3，4]上有10個零點，即曲線y=f（x）與直線y=a在[-3，4]上有10個交點.因為函數f（x）的周期為3，所以直線y=a與曲線有4個交點時，由于曲線y=f（x）與直線y=a在x∈[3，4]上還有兩個交點，所以得到實數a的取值范圍是.

評注：如果直接求原函數在 x∈[-3，4] 上有10個不同的零點，通過分類討論將十分復雜，這里我們通過分離參數將原函數轉化為y=f（x） 圖像與直線y=a的交點，利用周期性即可很快地求出所求參數a的取值范圍，方法簡潔、事半功倍。

3 ?分離常數法在討論函數極值問題中的應用

例3設函數（k為常數，e是自然對數的底數）.

（1）當k≤0時，求函數f（x）的單調區間;

（2）若函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，求k的取值范圍.（2014年高考山東卷理科第20題）

分析：這里要求函數f（x）在（0，2）內存在兩個極值點，如果是用列表法分別求其單調區間再來判斷，將極為復雜，我們采取的辦法是通過分離參數k快捷簡便。

解 ?（1）. 當k≤0時，得，所以與x-2同號，得函數f（x）的單調增區間、減區間分別是.

（2）由（1）的結論知，，與同號.

設，得.

所以函數在（0，1），（1，2）上分別是減函數、增函數.又因為，所以函數在（0，2）有兩個零點.

設這兩個零點分別是，還可證它們分別是函數f（x）的極小值點、極大值點.所以所求k的取值范圍是.

評注：在求出函數f（x）的導數后，通過參數分離再令，然后對的單調性和極值進行求解，進而得出的范圍，最后求得參數的取值范圍。

4 分離常數法在求解恒成立、存在性問題中的應用

例4 ?設函數.若存在f（x）的極值點x0滿足恒成立，則m的取值范圍是（ ?）。（2014年高考課標全國卷II理科第12題）

A. B.

C. D.

分析：這里要求出m的取值范圍，針對條件中的不等式恒成立，通過參數分離實際上是要求出不等式左邊的最大值即可。

解 ?.得Z）（還可得這樣的x0一定是函數f（x）的極值點）.

滿足，即Z滿足，也即，還即，進而可得答案為C.

評注：在許多針對不等式恒成立或者是解的存在性問題時，我們往往可以通過參數分離的辦法將所求問題轉化為求函數的最大值、極小值問題。

綜上所述，分離參數法在高考數學中有著廣泛的應用，它的本質實際上是轉化與化歸的思想，通過參數分離將一些復雜的問題轉化為簡單的問題或者是已經熟練掌握了的問題，這樣往往可以化繁為簡。

參考文獻：

[1]王后雄主編. ?高考標準教材數學理數[M]，湖北教育出版社，2014.03.

[2]牛玉勝總主編. 高中數學萬能解題模版[M].湖南師范大學出版社，2014.04.

[3]許楠桸，許賽飛. 例談“非等價轉化”方法解高考數學題[J].2021.（1）：274-280.