基于方差-協(xié)方差法的VaR測算

肖成碩

摘要：自J.P.摩根銀行開發(fā)VaR方法以來，VaR這一風(fēng)險(xiǎn)管理工具在金融市場的風(fēng)險(xiǎn)管理中得到了廣泛應(yīng)用。本文選取筆者自選股中四只股票歌爾股份（002241）、華鑫股份（600621）、哈高科（600095）、福建水泥（600802）組成標(biāo)的資產(chǎn)組合，并采用各股2018年6月19日到2020年6月15日的日對數(shù)收益率數(shù)據(jù)，在一定的假設(shè)條件下，采用方差-協(xié)方差法分別建立1-day99%VaR模型并進(jìn)行測算，并對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行回溯測試，分析方差-協(xié)方差法測算VaR的優(yōu)劣。

關(guān)鍵詞：VaR;方差-協(xié)方差法;回溯測試

一、風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR以及測算方法

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（Value at Risk，VaR）試圖對金融機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)組合提供一個(gè)單一風(fēng)險(xiǎn)度量，而這一度量恰恰能體現(xiàn)資產(chǎn)組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。該概念最早由J.P.Morgan公司公開發(fā)表。該方法傳播開后很快得到了金融機(jī)構(gòu)和學(xué)術(shù)界的認(rèn)同。在市場正常波動(dòng)條件下，當(dāng)使用VaR來檢測風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，VaR是指在一定概率下，某一金融資產(chǎn)或金融資產(chǎn)組合的VaR是在未來特定一段時(shí)間T內(nèi)的最大可能損失。其數(shù)學(xué)式表達(dá)為：

其中隨機(jī)變量?P為金融資產(chǎn)或金融資產(chǎn)組合在風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)期間T內(nèi)的價(jià)值變動(dòng)量。

VaR的估算關(guān)鍵在于描述投資組合在評(píng)估期間收益的概率分布，常用的方法有：歷史模擬法、協(xié)方差矩陣法和蒙特卡羅模擬法。本文使用方差-協(xié)方差法計(jì)算VaR。

方差-協(xié)方差法又稱模型構(gòu)建法，該方法基于馬科維茨對于投資組合管理的理論，由資產(chǎn)組合中的標(biāo)的資產(chǎn)的收益率均值和方差以及各資產(chǎn)之間的相關(guān)性，計(jì)算出投資組合的方差及協(xié)方差。假設(shè)組合中的各項(xiàng)資產(chǎn)的收益率變化均服從正態(tài)分布，并且假設(shè)資產(chǎn)組合價(jià)值的收益率變化也服從正態(tài)分布，由此根據(jù)公式prob（?P>VaR）=1-X% 結(jié)合正態(tài)分布特性可以很容易的計(jì)算出組合的VaR。

二、 數(shù)據(jù)來源及描述

本文選取筆者A股股票賬戶自選股中四只股票歌爾股份（002241）、華鑫股份（600621）、哈高科（600095）、福建水泥（600802）組成資產(chǎn)組合。從CSMAR數(shù)據(jù)庫中調(diào)取上述四只股票在2018年6月19日到2020年6月15日期間的一共1490份日收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為本文所研究的基本樣本數(shù)據(jù)

假定所持有的交易組合初始交易頭寸的數(shù)量為400萬元，每只股票的頭寸均為100萬元，即各股頭寸權(quán)重相等。定義△xi為資產(chǎn)第i天的回報(bào)，投資αi數(shù)量與資產(chǎn)i所產(chǎn)生的的日回報(bào)為αi△xi，并且

公式中，αi，△P以百萬計(jì)。

本文所計(jì)算的1-Day 99% VaR針對的是資產(chǎn)組合日收益率變動(dòng)在置信度為99%下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，故本文所分析的樣本數(shù)據(jù)設(shè)定資產(chǎn)組合的日回報(bào)為日對數(shù)收益率，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

三、方差-協(xié)方差法計(jì)算VaR

（一）方差-協(xié)方差法

1.基本假設(shè)

對四只股票的對數(shù)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布模擬可以發(fā)現(xiàn)，各股的實(shí)際分布與模擬的正態(tài)分布曲線并不相符，同時(shí)還存在著尖峰肥尾現(xiàn)象，但由于樣本數(shù)據(jù)足夠大，可以粗略的利用正態(tài)分布來近似處理計(jì)算VaR。因而方差-協(xié)方差法可用于計(jì)算VaR的一個(gè)重要假設(shè)為資產(chǎn)組合的收益率變化服從正態(tài)分布，并且交易組合價(jià)值每天的變化也服從正態(tài)分布，該假設(shè)同時(shí)還滿足每日回報(bào)相互獨(dú)立且具有相同的方差，則可以用日波動(dòng)率σ2來表示。

同標(biāo)準(zhǔn)差相比，收益率的波動(dòng)在一個(gè)較小區(qū)間內(nèi)變化的期望值相對較小，為了方便計(jì)算，假定在展望期上個(gè)股i以及投資組合的期望收益率變動(dòng)△P的期望值為0，并且假設(shè)收益率是一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列。

2.基本原理

在設(shè)定上述假設(shè)的情況下，方差-協(xié)方差法計(jì)算VaR對由股票組成的資產(chǎn)組合十分適用，其基礎(chǔ)是馬科維茨關(guān)于投資組合管理的先驅(qū)性理論，由資產(chǎn)組合中的標(biāo)的資產(chǎn)的收益率變動(dòng)均值和方差，以及資產(chǎn)回報(bào)之間的相關(guān)性，可以計(jì)算出投資組合收益率變動(dòng)的方差及協(xié)方差矩陣，再根據(jù)正態(tài)分布的特性，在預(yù)設(shè)的置信度下算出分位數(shù)，根據(jù)公式（2-1）可以計(jì)算出一定展望期下的VaR，其VaR值隨時(shí)間長度的平方根增長。則VaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中z值為預(yù)設(shè)置信度X%下對應(yīng)的臨界值;T為展望期;σp為組合價(jià)值日變動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差

（二）計(jì)算過程

第一步，計(jì)算投資組合的日收益變動(dòng)ΔP的標(biāo)準(zhǔn)差σp。

假定σi為第i項(xiàng)資產(chǎn)的日波動(dòng)率，ρij，為資產(chǎn)i及資產(chǎn)j的相關(guān)系數(shù)，則Δxi的標(biāo)準(zhǔn)差σi將ΔP的方差記為σ2p，則σ2p的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

設(shè)定置信度X為99%，展望期T=1天，根據(jù)公式（3-1）則持有的交易組合的價(jià)值為P，在交易組合中有4個(gè)不同資產(chǎn)，投資組合中資產(chǎn)i（1≤i≤4））的數(shù)量為αi，則αi均等于1百萬元，對相關(guān)系數(shù)和波動(dòng)率進(jìn)行計(jì)算，可使用方差和協(xié)方差，變量i的每日變化的方差vari等于每日變化波動(dòng)率的平方，變量i和j的協(xié)方差等于i和j每日波動(dòng)率、相關(guān)系數(shù)ρij，三項(xiàng)乘積。

則式（5-2）中投資組合ΔP的方差可以表達(dá)為：

根據(jù)第三章中的歷史收益率數(shù)據(jù)對所有數(shù)據(jù)設(shè)定等同權(quán)重，運(yùn)用EXCEL的數(shù)據(jù)分析功能計(jì)算出資產(chǎn)i和j的日對數(shù)收益率的相關(guān)性矩陣和協(xié)方差矩陣，如下表所示：

由公式（5-3）計(jì)算得投資組合的價(jià)值變動(dòng)ΔP方差σ2p=0.008320163，則交易組合收益率變動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差σp=0.091214927。

第二步，計(jì)算VaR。

由VaR計(jì)算公式（5-1）計(jì)算得1-day 99%VaR=2.33*0.09121=0.212（百萬）得出交易組合在99%的置信度下1天展望期的VaR為21.2萬元。

（三）回溯測試

根據(jù)方差-協(xié)方差法測算出標(biāo)的組合的VaR后，對VaR進(jìn)行回顧測試，檢驗(yàn)該方差-協(xié)方差模型的表現(xiàn)，如果1-day99%VaR的方差-協(xié)方差模型準(zhǔn)確無誤，那么每天的損失超出VaR=21.2萬元的概率p=1%，每天的損失是否超過VaR服從二項(xiàng)分布的性質(zhì)，建立兩種對立假設(shè)：

根據(jù)組合加權(quán)平均日收益時(shí)序圖，可以發(fā)現(xiàn)在484個(gè)觀察日中出現(xiàn)7天的損失超出了根據(jù)模型測算的VaR，選定5%的置信度，通過Excel中BINOMDIST函數(shù)計(jì)算在484次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中有7天或更多天實(shí)際損失超出VaR的概率。通過計(jì)算對應(yīng)7次或者更多的例外發(fā)生的概率為1-BINOMDIST（6，484，0.01，TURE），計(jì)算數(shù)值為0.214，說明7次或者更多的例外發(fā)生的概率大于5%，不拒絕假設(shè)1。

四、總結(jié)

方差-協(xié)方差法總是假定收益率服從一定的分布，如前文就假定了收益率服從正態(tài)分布，這樣計(jì)算相對簡便，結(jié)果也很直觀明了，但這種假設(shè)收益率分布所得出的結(jié)果是否有效很大程度上依賴于收益率分布假設(shè)的正確與否，倘若假設(shè)的分布不正確，產(chǎn)生的誤差就很大。然而正如前文中對標(biāo)的資產(chǎn)收益率的分布圖所示，時(shí)間序列一般來說并不滿足正態(tài)分布，故用該方法計(jì)算出的VaR值可能不夠準(zhǔn)確。而后續(xù)的回溯測試也證明，事實(shí)已經(jīng)證明，收益率的分布是厚尾的，因而正態(tài)性的假定會(huì)導(dǎo)致對極端事件 VaR 的低估。

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