基于方差-協方差法的VaR測算

肖成碩

摘要：自J.P.摩根銀行開發VaR方法以來，VaR這一風險管理工具在金融市場的風險管理中得到了廣泛應用。本文選取筆者自選股中四只股票歌爾股份（002241）、華鑫股份（600621）、哈高科（600095）、福建水泥（600802）組成標的資產組合，并采用各股2018年6月19日到2020年6月15日的日對數收益率數據，在一定的假設條件下，采用方差-協方差法分別建立1-day99%VaR模型并進行測算，并對預測結果進行回溯測試，分析方差-協方差法測算VaR的優劣。

關鍵詞：VaR;方差-協方差法;回溯測試

一、風險價值VaR以及測算方法

風險價值（Value at Risk，VaR）試圖對金融機構的資產組合提供一個單一風險度量，而這一度量恰恰能體現資產組合的整體風險。該概念最早由J.P.Morgan公司公開發表。該方法傳播開后很快得到了金融機構和學術界的認同。在市場正常波動條件下，當使用VaR來檢測風險時，VaR是指在一定概率下，某一金融資產或金融資產組合的VaR是在未來特定一段時間T內的最大可能損失。其數學式表達為：

其中隨機變量?P為金融資產或金融資產組合在風險估計期間T內的價值變動量。

VaR的估算關鍵在于描述投資組合在評估期間收益的概率分布，常用的方法有：歷史模擬法、協方差矩陣法和蒙特卡羅模擬法。本文使用方差-協方差法計算VaR。

方差-協方差法又稱模型構建法，該方法基于馬科維茨對于投資組合管理的理論，由資產組合中的標的資產的收益率均值和方差以及各資產之間的相關性，計算出投資組合的方差及協方差。假設組合中的各項資產的收益率變化均服從正態分布，并且假設資產組合價值的收益率變化也服從正態分布，由此根據公式prob（?P>VaR）=1-X% 結合正態分布特性可以很容易的計算出組合的VaR。

二、 數據來源及描述

本文選取筆者A股股票賬戶自選股中四只股票歌爾股份（002241）、華鑫股份（600621）、哈高科（600095）、福建水泥（600802）組成資產組合。從CSMAR數據庫中調取上述四只股票在2018年6月19日到2020年6月15日期間的一共1490份日收盤價數據作為本文所研究的基本樣本數據

假定所持有的交易組合初始交易頭寸的數量為400萬元，每只股票的頭寸均為100萬元，即各股頭寸權重相等。定義△xi為資產第i天的回報，投資αi數量與資產i所產生的的日回報為αi△xi，并且

公式中，αi，△P以百萬計。

本文所計算的1-Day 99% VaR針對的是資產組合日收益率變動在置信度為99%下的風險價值，故本文所分析的樣本數據設定資產組合的日回報為日對數收益率，其數學表達式為：

三、方差-協方差法計算VaR

（一）方差-協方差法

1.基本假設

對四只股票的對數收益率數據進行正態分布模擬可以發現，各股的實際分布與模擬的正態分布曲線并不相符，同時還存在著尖峰肥尾現象，但由于樣本數據足夠大，可以粗略的利用正態分布來近似處理計算VaR。因而方差-協方差法可用于計算VaR的一個重要假設為資產組合的收益率變化服從正態分布，并且交易組合價值每天的變化也服從正態分布，該假設同時還滿足每日回報相互獨立且具有相同的方差，則可以用日波動率σ2來表示。

同標準差相比，收益率的波動在一個較小區間內變化的期望值相對較小，為了方便計算，假定在展望期上個股i以及投資組合的期望收益率變動△P的期望值為0，并且假設收益率是一個平穩的時間序列。

2.基本原理

在設定上述假設的情況下，方差-協方差法計算VaR對由股票組成的資產組合十分適用，其基礎是馬科維茨關于投資組合管理的先驅性理論，由資產組合中的標的資產的收益率變動均值和方差，以及資產回報之間的相關性，可以計算出投資組合收益率變動的方差及協方差矩陣，再根據正態分布的特性，在預設的置信度下算出分位數，根據公式（2-1）可以計算出一定展望期下的VaR，其VaR值隨時間長度的平方根增長。則VaR的數學表達式為：

其中z值為預設置信度X%下對應的臨界值;T為展望期;σp為組合價值日變動標準差

（二）計算過程

第一步，計算投資組合的日收益變動ΔP的標準差σp。

假定σi為第i項資產的日波動率，ρij，為資產i及資產j的相關系數，則Δxi的標準差σi將ΔP的方差記為σ2p，則σ2p的數學表達式為：

設定置信度X為99%，展望期T=1天，根據公式（3-1）則持有的交易組合的價值為P，在交易組合中有4個不同資產，投資組合中資產i（1≤i≤4））的數量為αi，則αi均等于1百萬元，對相關系數和波動率進行計算，可使用方差和協方差，變量i的每日變化的方差vari等于每日變化波動率的平方，變量i和j的協方差等于i和j每日波動率、相關系數ρij，三項乘積。

則式（5-2）中投資組合ΔP的方差可以表達為：

根據第三章中的歷史收益率數據對所有數據設定等同權重，運用EXCEL的數據分析功能計算出資產i和j的日對數收益率的相關性矩陣和協方差矩陣，如下表所示：

由公式（5-3）計算得投資組合的價值變動ΔP方差σ2p=0.008320163，則交易組合收益率變動的標準差σp=0.091214927。

第二步，計算VaR。

由VaR計算公式（5-1）計算得1-day 99%VaR=2.33*0.09121=0.212（百萬）得出交易組合在99%的置信度下1天展望期的VaR為21.2萬元。

（三）回溯測試

根據方差-協方差法測算出標的組合的VaR后，對VaR進行回顧測試，檢驗該方差-協方差模型的表現，如果1-day99%VaR的方差-協方差模型準確無誤，那么每天的損失超出VaR=21.2萬元的概率p=1%，每天的損失是否超過VaR服從二項分布的性質，建立兩種對立假設：

根據組合加權平均日收益時序圖，可以發現在484個觀察日中出現7天的損失超出了根據模型測算的VaR，選定5%的置信度，通過Excel中BINOMDIST函數計算在484次獨立實驗中有7天或更多天實際損失超出VaR的概率。通過計算對應7次或者更多的例外發生的概率為1-BINOMDIST（6，484，0.01，TURE），計算數值為0.214，說明7次或者更多的例外發生的概率大于5%，不拒絕假設1。

四、總結

方差-協方差法總是假定收益率服從一定的分布，如前文就假定了收益率服從正態分布，這樣計算相對簡便，結果也很直觀明了，但這種假設收益率分布所得出的結果是否有效很大程度上依賴于收益率分布假設的正確與否，倘若假設的分布不正確，產生的誤差就很大。然而正如前文中對標的資產收益率的分布圖所示，時間序列一般來說并不滿足正態分布，故用該方法計算出的VaR值可能不夠準確。而后續的回溯測試也證明，事實已經證明，收益率的分布是厚尾的，因而正態性的假定會導致對極端事件 VaR 的低估。

參考文獻：

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