高考數(shù)學(xué)平面向量問(wèn)題的解題策略

陳軍

摘要：在高中數(shù)學(xué)中，平面向量模塊知識(shí)內(nèi)容并不多，但所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法卻意義深刻，耐人尋味。在高考試題中，既可出簡(jiǎn)單題，又可出中高檔題。一旦為中高檔題，會(huì)讓不少考生所費(fèi)解。平面向量結(jié)合的知識(shí)較廣，如不等式、平面幾何、代數(shù)，也可與三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等融合。故我們常稱它是一種有力的工具，是溝通代數(shù)與幾何的重要橋梁。為此，本文將著重探究如何在高考數(shù)學(xué)中如何處理好平面向量的相關(guān)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：平面向量;坐標(biāo)法策略;幾何化策略;極化恒等式

引言：

近幾年高考題中，平面向量的綜合問(wèn)題深受命題人的青睞，其考察難度有所增加。如何才能讓學(xué)生在短時(shí)間找到問(wèn)題的最佳思路，如何讓學(xué)生靈活使用各項(xiàng)策略，這需要廣大高中教師在日常教學(xué)中刻意訓(xùn)練學(xué)生的解題策略，使學(xué)生在這類問(wèn)題前從容不迫，自信解題。

下面，我以一道2018年天津高考題的多種解法來(lái)引入平面向量問(wèn)題的多種策略。

故此時(shí)，簡(jiǎn)直一個(gè)字“妙”啊。

綜合看這一題高考題，采用不同策略，其計(jì)算過(guò)程的繁雜性不一樣，分別體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想，因而數(shù)學(xué)思想在高中教學(xué)中的滲透至關(guān)重要。下面就高考數(shù)學(xué)中平面向量問(wèn)題的常見解題策略列舉如下：

一、策略一：坐標(biāo)化策略

坐標(biāo)是向量代數(shù)化的一種表達(dá)形式，可以利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，也可以體現(xiàn)共線等位置關(guān)系。所以向量坐標(biāo)化就是將幾何圖形問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程。對(duì)于求解：如向量的運(yùn)算，求參數(shù)值，向量中的最值或范圍等這些問(wèn)題，坐標(biāo)化后便迎刃而解，或轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的常見問(wèn)題。見幾題：

（一）坐標(biāo)化策略可以解決最值或范圍問(wèn)題

此題建立平面直角坐標(biāo)系，重點(diǎn)在于計(jì)算B點(diǎn)坐標(biāo)，此環(huán)節(jié)中又結(jié)合了解三角形求邊長(zhǎng)知識(shí)。

二、策略二：幾何化第略

向量可以用有向線段表示，向量的相關(guān)運(yùn)算也可以用圖形語(yǔ)言描述。對(duì)于向量問(wèn)題，我們可以借助于圖形直觀化的特點(diǎn)幫助我們破解解題疑點(diǎn)。比如說(shuō)，向量的加減圖形表示，模長(zhǎng)問(wèn)題，夾角問(wèn)題等。將所涉及的題設(shè)條件的幾何意義與圖形相關(guān)聯(lián)，然后進(jìn)行解題。

（一）數(shù)量積中投影長(zhǎng)度問(wèn)題

例3：（2020山東），已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF下內(nèi)的一點(diǎn)，則范圍為

掌握好數(shù)量積中投影的幾何意義能建解，比坐標(biāo)法后求范圍取值問(wèn)題更加速解。

（二）模長(zhǎng)問(wèn)題的幾何化

例4.已知，為平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若向量滿足，求最大值。

解析：本題做法很多，既可以坐標(biāo)化，也可以直接去括號(hào)轉(zhuǎn)換為關(guān)于夾角的函數(shù)問(wèn)題。

那么.，數(shù)量積為0想到向量的垂直關(guān)系，如圖∵∠BCA=90°，連接BA，故動(dòng)點(diǎn)C是在以AB中點(diǎn)，Q為圓心的圓上，半徑，求最大值，故.直徑所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)。

此題關(guān)鍵是挖掘垂直關(guān)系，直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為90°。

三、策略三.基底化策略

平面向量基本定理是一項(xiàng)重要的解題依據(jù)。定理規(guī)定了平面上任何一個(gè)向量總是可以由兩個(gè)不共線的向量（基底）線性表示。日常教學(xué)中，很多學(xué)生只會(huì)去機(jī)械刷題，而不熱衷于挖掘數(shù)學(xué)定理與定義中所蘊(yùn)含的一些本質(zhì)內(nèi)容：積極培養(yǎng)基底化思想解決平面向量問(wèn)題，勢(shì)必可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，順著走，我們使用基本定理，將未知向量用已知向量表示。逆著走，已知向量表示未知向量，求參數(shù)值問(wèn)題就有簡(jiǎn)單化了。應(yīng)用平面向量基本底表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形或三角形法則進(jìn)行向量的加法，減法或數(shù)乘運(yùn)算，在此，產(chǎn)生了三點(diǎn)共線問(wèn)題的結(jié)論。如圖：△ABC中，B，Q，C三點(diǎn)共線，若，那如何用、線性表示呢？

四、策略四：談?wù)剺O化恒等式的妙用

結(jié)束語(yǔ)

平面向量兼具代數(shù)與幾何兩種形式，兩種形式并不是獨(dú)立分割的，而是相互促進(jìn)轉(zhuǎn)化的，很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想。使用坐標(biāo)化策略，將求解問(wèn)題代數(shù)化，向量運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，可用于求值，求范圍或最值問(wèn)題。幾何化策略，需要充分將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，如：長(zhǎng)度，夾角，軌跡，投影。借助幾何直觀將問(wèn)題化解。基底化策略，實(shí)現(xiàn)了未知向已知的轉(zhuǎn)化，選擇合適的基底很重要。極化恒等式是廣義平方差的推導(dǎo)公式，遇到數(shù)量積問(wèn)題可以考慮使用其進(jìn)行優(yōu)解。不同的策略均可發(fā)展學(xué)生思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。廣大教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生對(duì)不同策略的思想方法進(jìn)行領(lǐng)悟，不同問(wèn)題可能選擇的策略不一，其解題過(guò)程的復(fù)雜性也不一，廣大考生也應(yīng)該靈活處理。希望本文能夠給廣大教師，讀者帶來(lái)啟示，若文中有不當(dāng)之處，還請(qǐng)批評(píng)指正！

參考文獻(xiàn)：

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