半線性橢圓方程多解問題的改進(jìn)牛頓流線法

李夏云 肖 喜 羅 園 黃 晞

(湖南城市學(xué)院 理學(xué)院，湖南 益陽 413000)

1 概論

由于新的先進(jìn)技術(shù)的發(fā)展，許多研究人員對為新的應(yīng)用尋找非線性問題的多解很感興趣，并致力于開發(fā)新數(shù)值方法[1-8]來尋找其多解。本文考慮尋找下面半線性橢圓方程的多個解

Ω 是RN上的有界區(qū)域，假設(shè)非線性項f(x，u)在Ω×R 上滿足局部Lipschitz 連續(xù)，其相應(yīng)的能量泛函為

目標(biāo)方程組(3)是非線性方程組,對于其解法文[7-8]從牛頓場的觀點(diǎn)出發(fā)提出了沿場線的追蹤算法——牛頓場線法。

2 改進(jìn)的牛頓流線法數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及算法

2.1 牛頓流線法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

定理3[7]：設(shè)F(x)在閉子域G∈Ω 中是V- 正則的，若在邊界上每一點(diǎn)x0的牛頓方向V(x0)指向Ω 的內(nèi)部，則在Ω 中必存在根x*。

從上面分析來看：牛頓流線法允許從任何不在根附近的初值開始計算,在有根的區(qū)域中，總流量||F(x(t))||是沿著流線方向向根匯聚的，形成一個中心場，則以其中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，追蹤中心場，可以求得此根；若在無根的區(qū)域，總流量||F(x(t))||是減小的，從一端通向另一端，且大范圍按指數(shù)收斂。

2.2 牛頓流線法算法

2.3 牛頓流線法算法改進(jìn)分析

其中B0=(A)-1，A0=DF(x0)，sj=xj+1-xj。Broyden 方法與牛頓方法是一致的，在奇點(diǎn)附近，我們采用牛頓流算法，在根的附近，就采用Broyden 方法，其可以避免誤差的積累傳播，有較快的收斂速度，計算工作量從O(n3)降到O(n2)。

3 半線性橢圓方程多解的改進(jìn)牛頓流線計算法舉例

圖1

有3 個三重特征值，取λ17=λ71=λ55=50，用主部u=aφ17+bφ71+cφ55，通過分析可以得到26 個非零根；

有 18 個 四 重 特 征 值 取 λ47=λ74=λ18=λ81=65，u=aφ47+bφ74+cφ18+dφ81，通過計算可以得到80 個非零根；

有1 個6 重特征值，5 重特征值(很少，在10000 內(nèi)只搜素到兩個)，相應(yīng)的多解計算很困難。若簡單地增加許多基作延拓計算，而初值取的不好，則迭代將發(fā)散。按特征值的大小取：λ11=2，λ22=8，λ13=λ31=10，λ33=18，λ24=λ42=20，這7 個值中，有2 個二重值，3 個單值，按前面的搜索延拓法：應(yīng)該可以得到22 個非零解。其近似解u7(x，y)的系數(shù)滿足非線性方程組：

下面用改進(jìn)的牛頓流線法來對其進(jìn)行計算：在區(qū)域[-3，3]上隨機(jī)取點(diǎn),取n=35000,調(diào)用Matlab 中的rand 函數(shù)，得到一個8×35000 的隨機(jī)矩陣，共35000 個初值，通過計算，得到84 個非零解，與前面的28 個解比較，多了56 個不同的新解，不同的特征值直接可以產(chǎn)生新的多解，例如新解為u1，u2，u3它們對應(yīng)的初值分別為：

圖2～圖7 分別列出了初值與對應(yīng)真解u1，u2，u3的圖形，注意解和初值的圖非常相似。

圖2 初值u1 圖像

圖3 真解u1 圖像

圖4 初值u2 圖像

圖5 真解u2 圖像

圖6 初值u3 圖像

圖7 真值u3 圖像

4 結(jié)論

以上計算和分析表明，求解非線性方程的多解問題，經(jīng)過牛頓流處理以后，在奇點(diǎn)附近，我們采用牛頓流算法，在根的附近，就采用Broyden 方法，效果與牛頓流線法差不多，迭代次數(shù)沒有改變，但計算量可以明顯減少，其可以避免誤差的積累傳播，有較快的收斂速度，計算工作量從O(n3)降到了O(n2)。從解的圖形可以看到，和初值比，解的峰更高，腰更細(xì)。

上面方程組取8 個基，隨機(jī)投入35000 個初始點(diǎn)，每個點(diǎn)迭代20 次，要計算4.48×107個積分，計算量比較大。此種算法可以采用并行計算，來提高解題的效率。