新授課“四問驅動”教學范式的構建與實踐 ①——課堂教學實施“問題解決”的操作策略的探索

王克亮

(江蘇省射陽中學 224300)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在課程目標中強調：“通過高中數學課程的學習，學生能提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱‘四能’).”這表明新的課程標準提倡課堂教學采用“問題解決”的形式. 與之配套的蘇教版高中數學新教材則在扉頁的“致同學”中提到：“怎樣學習數學？第一，要學會發現問題和提出問題；第二，要嘗試分析并解決所提出的問題；第三，要學會回顧反思.”很明顯，這是在向學生介紹“問題解決”式的學習方法.

那么，在高中數學新授課中，該如何實施“問題解決”式的教學方法呢？經過近兩年的探索與實踐，筆者構建了“四問驅動”的教學范式.

1 “四問驅動”教學范式的流程及內涵

筆者構建的新授課“四問驅動”教學范式的流程如圖1所示，其中，“啟問、探問、追問、回問”構成一個問題解決循環.

圖1

筆者認為，一節新授課就是一個“問題解決”的大循環.

啟問：依據目標，提出問題. 這是“問題解決”的發生階段，指發現問題與提出問題的過程. 啟問通常緊跟問題情境之后或置于一個教學活動之前，往往隱含一節課或一個教學環節的學習目標.

探問：拾級而上，解決問題. 這是“問題解決”的發展階段，指分析問題與解決問題的過程. 這一階段通常需要老師的引導與啟發，可設計一系列的子問題或“問題解決”的小循環來引導學生探究.

追問：質疑交流，促進思維. 這是“問題解決”過程中的一個個小高潮，指質疑問難與思維交流的過程，旨在出現老師質疑學生、學生質疑學生、以及學生質疑老師的生動場景.

回問：反思提煉，總結提升. 這是“問題解決”的結束階段，指回顧與反思的過程，意圖從中提煉思想方法，或提出新的問題.

筆者認為，一節新授課就是在不斷地提出問題與解決問題的過程中達成學習目標.

2 “四問驅動”教學范式的實踐與體會

在新授課“四問驅動”教學范式的實踐中，筆者獲得了如下一些啟示.

2.1 啟問：宜發展學生核心素養

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在教學建議中強調：“情境創設和問題設計要有利于發展數學學科素養.”筆者心目中的“啟問”是教學目標問題化的結果，是貫穿整節課或一個教學環節的大問題，它不只是瞄準定義、定理、法則這些冰冷的知識，而應盡量發展數學抽象、數學建模、直觀想象等數學核心素養.

案例1向量的概念及表示

引例1每次上課前，我(指教者，下同)從辦公室出來走140米到了教室；下課后，我將再從教室出發走140米回到辦公室. 那么，我這兩次運動位置變化的效果一樣嗎？

意圖引出“位移”這個矢量.

引例2每次上課前從辦公樓出來時，我先向西勻速行走40秒，每秒鐘行2米；然后向南勻速行走10秒，也是每秒鐘行2米. 那么，這兩個時段內我行走的速度一樣嗎？

意圖引出“速度”這個矢量.

追問像這樣的量，你能再列舉一些嗎？

意圖抽象出上述兩個物理量的共性之處，并找出更多類似的量.

● 用什么樣的數學模型來表示這樣的量？又該如何研究這個數學模型呢？

意圖從數學抽象、數學建模以及研究路線的角度“啟問”，進入“問題解決”大循環. 同時指出，這就是新的一章“向量”將要研究的內容.

案例2平面向量基本定理

回顧向量共線定理的內容是什么？

意圖回顧已學知識：如果有一個實數λ，使b=λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使b=λa．

追問1你是如何理解向量共線定理的？

意圖引導學生回答出以下兩點：

(1)所有的與向量a共線的向量，與實數之間構成了一一對應的關系；

(2)一個非零向量，利用數乘可以表示所有的與它共線的向量.

追問2如果將向量共線定理看成是一維空間中的一個基本定理，那么你想到了什么樣的問題？

意圖引導學生提出如下問題.

● 在二維空間(即平面)中，有沒有類似的基本定理呢？

意圖從直觀想象、數學建模的角度“啟問”，進入“問題解決”大循環，同時引出本節課的課題.

評注上述兩個案例都是從數學核心素養的高度來“啟問”的.筆者認為，新授課的“啟問”，通常指明了本節課研究的大方向，明確了本節課的核心教學目標，它可以只是一個“虛擬的問題”，起“前呼”的作用.在案例2的情境之后，筆者還為學生自己發現問題與提出問題創設了平臺.

2.2 探問：宜展示知識形成過程

新授課離不開有關概念、定理、法則等新知識的學習，為了讓學生弄清楚這些新知識的來龍去脈，教學中應盡量還原它們的形成過程，所以需要設計一些探究性問題.筆者認為，“探問”應圍繞“啟問”而設計，層層遞進，通過這些問題的解決自然生成新的知識.另外，新知識的應用策略也可以用“探問”的形式來引領.

案例3向量的概念及表示(案例1續)

明確研究路線請回顧“集合”的所學內容，并類比其研究模式，試確定“向量”這個全新的數學模型的研究路線.

意圖提煉出數學對象的一般研究模式：數學概念——表示方法——特殊模型——定義運算——知識運用.然后明確本節課主要研究向量的概念、表示和特殊的向量模型.

問題1什么叫向量？你認為該如何給它下個定義呢？

意圖從前面的多個實例中抽象出“既有大小，又有方向”這兩個共同特征.

問題2對于既有大小又有方向的向量，你想到了哪幾種合理的表示方法？

意圖在已學的線段、有向線段等知識的基礎上，從圖形、字母等角度來研討向量的表示方法，并給出向量的長度(模)的概念及表示方法.

問題3自己先畫一些向量，然后試著從長度和方向這兩個角度觀察，我們可以給出哪些特殊的向量模型？

意圖從學生所作的圖形入手，描述其特征，指出它的大小或方向的特殊性，然后進行合理命名，并借鑒已有經驗給出相應的記法，逐步完成下列表格.

名 稱特 征圖形表示大小方向記法零向量長度為00任意0單位向量長度等于1個單位長度1/單位向量e相等向量長度相等且方向相同相等相同a=b相反向量長度相等且方向相反相等相反a=-b平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量/相同或相反a∥b垂直向量方向相互垂直/垂直a⊥b

問題4如何運用上述新知識來解決問題？

意圖例題分析、方法提煉及變式練習(此略).

評注本案例中的問題1～問題3是根據數學對象的一般研究模式而確定的，它們是相對獨立的三個“探問”，而問題4則是新知識的應用策略.實踐表明，本節課中所有的新知識都可以在學生自行探究的基礎上自然生成，無需任何“灌輸”.特別是問題3，給了學生較多的發揮空間，課堂上甚至探究出了本節內容中沒有涉及到的“垂直向量”.

案例4平面向量基本定理(案例2續)

問題1在平面內，若有類似于向量共線定理的基本定理，該如何來探究呢？

問題1.1若有這樣的基本定理，它的結構如何？

意圖類比向量共線定理得到平面內該基本定理的結構：給定平面內的一些非零向量，對于該平面內的任一向量，都可以用這些向量來表示.

問題1.2若只給定平面內的一個非零向量，它能表示該平面內的任一向量嗎？為何？

意圖引導學生體會到平面內的一個非零向量只能表示與它共線的所有向量.

問題1.3若給定平面內的兩個非零向量，它能表示該平面內的任一向量嗎？

引例如圖2，炮彈在發射的某一時刻，速度v可以分解為水平向前的分速度v1和豎直向上的分速度v2.那么，v,v1,v2之間的關系可以怎樣表示？

圖2

意圖根據向量的加法法則，得v=v1+v2.

思考1保留上述兩個非零向量v1,v2，換一個炮彈的發射速度v3(如圖3所示)，它能用v1,v2的式子來表示嗎？

圖3

意圖得到v3=λ1v1+λ2v2的表示形式.

追問1該表達式中的λ1與λ2唯一嗎？為什么？

意圖引導學生用向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理解釋λ1與λ2的唯一性.

思考2若將v1,v2改成平面內其它的兩個非零向量e1,e2，將v3改成平面內的任一向量a，上述結論還成立嗎？

意圖給出多組非零向量e1,e2，引導學生體會到只要它們不共線，結論總成立.

問題1.4研究至此，你能得到什么樣的結論？

意圖提煉出平面向量基本定理，并介紹基底與正交分解的概念.

問題1.5我們是如何探究得到平面向量基本定理的，你從中獲得了哪些感悟？

意圖從邏輯推理(類比遷移、理性分析、邏輯表述)、數學建模、直觀想象等數學核心素養的角度談學習體會.

問題2你是如何理解平面向量基本定理的？

意圖引導學生從以下幾個角度來理解：

(1)平面內一對不共線的向量，就可以表示該平面內的所有向量；

(2)當一組基底確定后，平面內的向量就與實數對(λ1,λ2)之間建立了一一對應的關系；

(3)平面向量基本定理可作為判斷向量是否共面的依據，所以也可以理解成是向量共面定理；

(4)平面向量基本定理可看成是向量共線定理的推廣，從一維空間拓展到了二維空間.

追問2很自然地，此時你又有了什么樣新的猜想？

意圖再將平面向量基本定理推廣到三維空間，猜想出空間向量基本定理.

問題3如何運用平面向量基本定理來解決問題？

意圖例題分析、方法提煉及變式練習(此略).

評注在該案例中，問題1～問題3是“問題解決”大循環中的“探問”；同時，問題1及其子問題又構成了一個“問題解決”的小循環，其中的問題1相當于是“啟問”，問題1.1～1.4是“探問”，問題1.5是“回問”，問題解決過程中有“追問”.

2.3 追問：宜促使學生深度思維

數學教育的核心目標在于培養學生的思維能力，所以課堂上我們應追求學生的深度思維.對此，“追問”應當是一個有效的策略.“追問”可以基于課前預設，更多來自課中臨時生成，由此可引發師生之間、生生之間的對話，促使師生思維的交流與碰撞，在追問中將學生的思維不斷引向深入.

比如，在案例1中，“追問 像這樣的量，你能再列舉一些嗎？”需要學生抽象出“位移”與“速度”的共同特征.

在案例2中，“追問1 你是如何理解向量共線定理的？”需要學生深入領會向量共線定理的內涵，并能用自己的語言表述出來；而“追問2 如果將向量共線定理看成是一維空間中的一個基本定理，那么你想到了什么樣的問題？”則需要學生善于類比，在二維空間中提出類似的新問題.

在案例3中，特別是在問題3的解決過程中，應當有多個臨時生成的“追問”.比如，“如何確定零向量的方向比較合理？”“相反向量類似于哪個熟悉的概念？”“平行向量的定義為何要強調‘非零向量’？”“零向量與其它向量平行嗎？”“平行向量中的‘平行’如何理解？”“共線向量中的‘共線’如何理解？”等.

在案例4中，“追問1 該表達式中的λ1與λ2唯一嗎？為什么？”需要學生能夠運用所學知識探究出λ1與λ2的唯一性；而“追問2 很自然地，此時你又有了什么樣新的猜想？”則需要將一維、二維空間中的結論推廣到三維空間，以培養學生的類比遷移和創新思維能力.

評注“追問”通常貫穿教學的全過程，它的主體可以是老師，也可以是學生.為了培養學生質疑的勇氣與能力，課堂上要創設更多的平臺鼓勵學生發問.比如，老師可經常說這樣的幾句話：“此時，你想提出什么樣的問題？”“對此，你有什么好的想法？”“同學們有什么疑問？”等.筆者認為，“追問”是靈動課堂的核心所在，是教師教學智慧的體現.

2.4 回問：宜引導學生提高認識

我們知道，數學是一門邏輯性、探究性很強的學科，所以在新知識的學習中，回顧反思這一思維活動是必不可少的，它對提高學生的認知水平和數學能力至關重要.“回問”就是利用問題驅動學生進行反思，讓學生在反思中感悟，在反思中提升，在反思中創新.

案例5向量的概念及表示(接案例3)

我們是建立了什么樣的數學模型來表示“位移”“速度”這些量的？本節課我們研究了這個數學模型的哪些內容？

意圖回顧本節課所學的主要內容，即向量的定義與表示、特殊的向量模型.

在本節課的學習中，你獲得了哪些啟示？又有哪些地方值得注意？

意圖讓學生暢所欲言，并聚焦以下幾點：

(1)學會建模：學會從多個實例中抽象出數學模型，如向量的概念；

(2)注重傳承：學會將舊的知識移植到新的知識中，如向量的表示、特殊的向量模型等；

(3)轉變觀念：注意一些舊的經驗可能有了新的涵義，如平行向量、共線向量中的“平行”“共線”的意義已不同于舊的經驗，值得注意.

后續我們將要研究“向量”這個數學模型的哪些內容？

意圖明確后續將要研究向量的運算及應用等，進而引出“向量的加法”這個話題，為下節課做鋪墊，激發學生進一步學習的興趣.

案例6平面向量基本定理(接案例4)

你是如何理解平面向量基本定理的？

意圖把握平面向量基本定理的實質，它是一組本質一致的結論在二維空間中的表現形式.

你認為研究平面向量基本定理有何重要意義？

意圖讓學生體會到，在此基礎上可建立平面向量與實數對的一一對應關系，進而為平面向量的代數化奠定基礎.

在本節課學習的基礎上，你想提出什么樣的新問題？

意圖引出“向量的坐標表示與坐標運算”這個話題，為下節課作鋪墊，激發學生進一步探究的欲望.

評注上述兩個案例分別從知識內涵、研究路徑、學習意義、問題提出等角度進行“回問”，加深了學生的認識.筆者認為，“回問”通常起“后應”的作用，既是對“啟問”的回應，更是對思想和方法的提煉與升華；同時，“回問”還常常起著承上啟下的作用.

實踐表明，基于“啟問、探問、追問、回問”的教學范式，是新授課實施“問題解決”的一個較好操作策略，能充分發揮學生的主體作用，實現課堂教學方式的轉型.該教學范式既與新課標的倡議相吻合，又能提升課堂的層次.