數學問題解答

2606設凸四邊形ABCD的邊長和對角線長分別為BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n，四邊形的面積為Δ，則

(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當且僅當四邊形為正方形時等號成立.

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

證明如圖，設P,Q分別為線段BD,AC的中點，直線BD和AC所成角為θ，

則mn(1-sinθ)+2PQ2≥0.

等號當且僅當sinθ=1且P與Q重合即四邊形ABCD為正方形時成立.

由托勒密定理ac+bd≥mn知(等號當且僅當四邊形ABCD為圓內接四邊形時成立)

①式?2ac+2bd+4PQ2≥4Δ.②

又由結論：任意四邊形四條邊長的平方和等于兩條對角線長的平方和再加上對角線中點連線長平方和的4倍，知

②式?a2+b2+c2+d2+2ac+2bd-m2-n2

≥4Δ.

故(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當且僅當四邊形為正方形時等號成立.

2607設數列{an}的通項公式為

(河南質量工程職業學院 李永利 467001)

證明由{an}的通項公式可知該數列即為

0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,…,0,0,0,1,1,1,….

這是一個周期T=6的周期數列，且

a1=a2=a3=0，a4=a5=a6=1.

設[x]表示不超過x的最大整數，則由周期數列的前n項和公式

上式取極限得

(1)

再設n=6k+rn，其中k，rn均為非負整數，

且rn=0,1,2,3,4,5.則

于是

(2)

(3)

由(1)，(2)，(3)三式可得

2608已知a,b,c∈R，且a,b,c中至多一個為0，則有

(云南省大理州漾濞縣第一中學 秦慶雄 范花妹 672500)

證明因為(a+b)2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a+b)2(a2+b2)+(a+b)2c2-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a2+b2)2+(a+b)2c2-2c(a+b)(a2+b2)

=(a2+b2)2-2c(a+b)(a2+b2)+(a+b)2c2

=[(a2+b2)-(a+b)c]2≥0，

所以

(a+b)2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(a2+b2)，

同理可證

將以上三式兩邊分別相加，可得

(浙江臺州市洪家中學 鄔天泉 318015)

證明設A(acosθ,bsinθ)，B(acosφ,

bsinφ)(θ-φ≠kπ,k∈Z)，則

聯立(1)(2)得

設Q(acosγ,bsinγ)，同理可得

=(X1,Y1)，

同理，得

=(X2,Y2).

=(X1Y2-X2Y1)2，

2610設任意△ABC的三邊長及對應的三中線分別為a、b、c、ma、mb、mc，則有

當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.

(安徽省太和縣第二小學 任迪慧 張小林 236630)

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)整理得

(4)

一方面在△ABC中 ，易證

(5)

另一方面

(6)

由(4)、(5)和(6)可證得

2021年7月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2611設△ABC的外接圓半徑，內切圓半徑，三邊長分別為R,r,a,b,c,三個內角∠BAC,∠ABC,∠ACB對應的旁切圓圓心分別為D,E,F，證明：

(安徽省岳西縣湯池中學 蘇岳祥 楊續亮 246620)

2612如圖1，△ABC的內切圓⊙I與AB邊相切于點D，⊙O，⊙O1和⊙O2分別為△ABC，△ACD和△CDB的旁切圓，設⊙O，⊙O1，⊙O2的半徑分別為r，r1，r2，⊙O與AC相切于點E，則

圖1

(四川省成都華西中學 張云華 610051)

(江蘇省徐州市第一中學 張培強 221140)

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)