掃描信號激振下振動器-大地耦合動剛度和動阻尼研究

李 剛，徐光明，黃志強，亓 文，郝 磊

（1.西南石油大學機電工程學院，四川成都610500；2.中國石油集團東方地球物理勘探有限責任公司，河北涿州072750）

油氣勘探與開發在很大程度上依賴于勘探技術和裝備，勘探技術和裝備的水平決定了找油找氣的能力和準確度。可控震源具有高效、環保、安全等優點，被譽為油氣勘探領域的工程利器，已應用于石油天然氣的勘探［1-3］。

振動器是可控震源的核心部件，直接決定了可控震源所激發信號的質量。目前廣泛采用的振動器的激振模型是20世紀80年代Sallas提出的加權和模型［4］。近年來，很多學者通過分析和測試指出，由于沒有考慮頻率變化對振動器平板與大地之間相互作用的影響，加權和模型只在較窄的頻寬下適用，隨著激振信號頻率的提高，采用加權和模型計算出的振動出力與實際出力的誤差越來越大［5-7］，已經難以滿足勘探要求。因此，迫切需要建立適用于掃頻激振的振動器-大地耦合模型，而其核心問題是準確描述在掃頻激振下振動器平板與大地之間的相互作用。對此，國內外學者展開了諸多研究。

Wei［8-9］建立了包含電控系統、液壓系統和機械系統的可控震源仿真模型，并將仿真分析結果與現場測試結果作了對比研究，認為振動器平板與大地之間的相互作用因地表環境的不同而不同。Tinkle 等［10］檢測了井下檢波器的數據后指出，不能用簡單的模型描述振動器平板與大地之間的相互作用關系。Dean等［11］采用薄膜式壓力傳感器和井下檢波器對振動器和大地的振動響應作了測試，認為振動器平板與大地之間的相互作用遠比想象的復雜。Noorlandt等［12］分析了振動器平板與大地之間的接觸狀況，認為該接觸狀況對振動器的動態響應影響很大，提出采用多組自由彈簧來描述平板與大地之間的接觸。2018年，Wei等［13］通過現場測試分析了振動器在軟地、沙地和硬地的激振效果，結果表明振動器在不同地表上的激振效果不同。

隨著可控震源研究及應用的深入，研究人員認識到振動器-大地耦合振動對振動器的輸出信號起著至關重要的作用，隨即開始探索振動器-大地的耦合作用。劉洪斌等［14］開展了可控震源的動態分析，指出將大地模型簡化為簡單的加權和彈性阻尼系統有較大的誤差。莊娟等［15］建立了電磁可控震源-大地耦合模型，用土介質的彈性系數和阻尼系數描述振動器平板與大地之間的作用關系，分析了耦合系統的幅頻特性。其研究發現：隨著平板質量的減小，平板振動幅度增大，土介質的受力幅度也增大；在相同的激振條件下，地表不同，則大地的受力不同。徐愛軍等［16］提出采用質量-彈簧-阻尼器受迫振動來描述可控震源平板-大地振動系統，分析表明，平板振動向大地的傳輸非常復雜，振動系統有可能會出現諧振。黃志強等［17］通過有限元仿真，分析了振動器平板-大地的接觸性質與能量傳遞的關系，結果表明，在不同的接觸性質和激振頻率下平板向大地傳遞的能量不同。2018年，馬磊等［18］通過試驗分析了振動器的振動響應與激振頻率的關系，表明振動器的輸入與輸出信號存在明顯的相位差且其隨頻率的提高而增大。

鑒于加權和模型存在計算誤差大等不足，研究人員提出應該建立新的模型來描述振動器平板與大地之間復雜的作用關系，且已經認識到激振頻率和地表屬性會對振動器-大地耦合振動產生影響，但尚未具體分析在不同掃描頻率下平板與大地之間的相互作用。為此，本文基于彈性半空間理論，構建振動器-大地耦合振動模型，研究在不同掃描頻率下振動器-大地耦合動剛度和動阻尼，分析它們的影響參數和影響規律，以進一步掌握平板與大地之間相互作用的機理，為實現振動器的高精度激振提供理論指導。

1 振動器-大地耦合振動模型的構建

1.1 掃描信號

可控震源如圖1所示，振動器的結構如圖2所示。

圖1 可控震源Fig.1 Seismic vibrator

圖2 振動器的結構Fig.2 Structure of vibrator

在振動器的重錘和活塞之間存在相互隔離的上腔和下腔。當振動器激振時，高壓液壓油交替進入上腔和下腔，推動重錘上下運動，同時重錘的反作用力作用在活塞桿端面上，通過與活塞桿固連的平板傳遞給大地，從而產生地震信號。推動重錘運動的液壓力也稱為掃描信號。掃描信號的瞬時幅值和頻率都是時間的函數。掃描信號瞬時幅值Q（t）的表達式為：

式中：A為液壓力的額定幅值；W（t）為余弦窗口函數；fs為掃描起始頻率；fe為掃描終止頻率；t為掃描時間，0 ≤t≤T，T為掃描持續時間；Tc為窗口長度。

當A=250 000 N，fs=5 Hz，fe=105 Hz，Tc=0.5 s，T=10 s時，掃描信號如圖3所示。

圖3 掃描信號Fig.3 Sweep signal

1.2 振動器-大地耦合振動模型

掃描信號的頻率不是固定的，而是隨著時間呈線性變化，這就大大增大了激振的復雜性，也是加權和模型不能準確描述振動器-大地耦合振動的根本原因。為準確描述平板與大地之間的相互作用關系，須突破傳統思維，引入新的、可靠的理論，而廣泛應用于動力基礎研究的彈性半空間理論為解決這一問題提供了思路。

彈性半空間理論廣泛應用于土木工程研究。其基本假設是大地為彈性、均勻、各向同性的半無限空間體，用彈性模量和密度等參數來描述大地的力學性質，分析動力基礎在大地上的振動［19-20］。動力基礎在大地上的振動與平板在大地上振動的基本原理是一致的，這為分析平板與大地之間的相互作用提供了理論依據。

根據彈性半空間理論建立的振動器-大地耦合振動模型如圖4所示，振動器平板與大地之間的作用如圖5所示。其中：mr和mb分別為重錘和平板的質量；wr和wb分別為重錘和平板的位移；Ko和Co分別為液壓剛度和液壓阻尼；Kz和Cz分別為平板與大地之間的動剛度和動阻尼；Q0ei（ωt+φ）為作用在平板上的外力；P0eiωt為平板作用在大地上的力，R0eiωt為P0eiωt的反作用力；ω為平板的角頻率；φ為初相位。

圖4 振動器-大地耦合振動模型Fig.4 Vibrator-ground coupling vibration model

圖5 振動器平板與大地之間的作用示意Fig.5 Schematic of interaction between vibrator plate and ground

由圖5可得平板的動力學方程為：

設平板上任意一點到平板中心的距離為r，則該點的垂直位移wb（r，0）的漢克爾變換wb（p，0）為［21］：

式中：p為第一類貝塞爾函數作無窮級數展開的級數；J0（pr0）為零階第一類貝塞爾函數，其中r0為平板等效半徑，為平板底面積；a和k均為與頻率相關的因變量系數，分別體現了縱波波速和橫波波速在頻率變化時對位移的貢獻，，其中vp和vs分別為縱波波速和橫波波速；G為土壤剪切模量；?(p)為瑞利方程；σp為平板作用在大地表面的壓強，其表達式為：

通過漢克爾變換，實現了垂直位移的積分變換，將其變為可積，并引入了頻率這一關鍵變量。

由漢克爾反演求平板的垂直位移，可得：

將式（3）和式（4）代入式（5），可得：

假設平板與大地耦合良好，平板的位移可以等效為平板中心點的位移，則平板的位移為：

式中：f1和f2均為無量綱頻率a0的函數［22］，表示位移與頻率之間的關系，其中為土壤密度。

對于彈性材料，其剪切模量G與彈性模量E的關系為：，其中μ為泊松比。

f1和f2可分別表示為：

則P0eiωt和R0eiωt可分別表示為：

所以，式（2）可改寫為：

平板與大地之間的動剛度Kz和動阻尼Cz可以表示為：

最后，可得重錘和平板的動力學方程分別為：

2 試驗驗證

2.1 試驗方案

為了驗證所構建的耦合模型的準確性，進行重錘加速度響應測試。通過單頻掃描和線性掃描激振，對比分析在單頻掃描和線性掃描下重錘的加速度響應。試驗所用的儀器主要包括1 臺可控震源、1 套Force-III振動控制系統、1套重錘加速度傳感器和數據采集器等。重錘加速度傳感器如圖6中方框所示。重錘加速度響應測試中的掃描參數如表1所示。

表1 重錘加速度響應測試中的掃描參數Table 1 Sweep parameters for test of acceleration response of heavy hammer

圖6 重錘加速度傳感器Fig.6 Acceleration sensor of heavy hammer

重錘和平板的結構參數和土體參數如表2所示。將參數代入式（15），可以求得重錘加速度。通過對比重錘加速度的計算值和測試值，來驗證仿真模型的準確性。

表2 重錘和平板的結構參數和土體參數Table 2 Structural parameters of heavy hammer and plate and soil parameters

2.2 試驗結果

重錘加速度計算值與測試值的對比如圖7所示。為便于對比，對線性掃描信號激振下的重錘加速度進行頻域分析。

由圖7（a）可知，在單頻掃描信號激振下，重錘加速度的計算值與測試值基本一致，兩者的最大誤差為8.66%，表明構建的耦合模型能較好地描述重錘在單頻信號激振下的響應運動。因在計算時沒有考慮重錘偏心運動的影響和液壓系統的干擾，加速度響應很規律且沒有噪聲和畸變，而測試中在各起始階段加速度均有明顯的畸變，加速度出現了獨立的突變峰值。由圖7（b）可知，在線性信號激振下，重錘加速度的計算值與測試值的變化趨勢是一致的，都呈先增大后減小再逐漸增大。在10 Hz附近，加速度都達到了第1個增大階段的最大值，且測試值的峰值略大于計算值的峰值；在隨后的減小階段，計算值穩定地減小，而測試值出現了不規律的波動，這可能是液壓系統的噪聲和干擾導致的；在第2個增大階段，計算值與測試值增大的趨勢和幅值均吻合較好，僅測試值有小幅波動。以上結果表明耦合模型對在線性信號激振下的振動響應也有較好的適應性和準確度，可以用來描述掃描信號激振下振動器-大地的耦合作用。

圖7 重錘加速度計算值與測試值的對比Fig.7 Comparison between calculated and measured accel‐eration of heavy hammer

3 耦合參數對動剛度和動阻尼的影響

根據式（13）、式（14）和表1，可以算得動剛度和動阻尼隨掃描頻率的變化曲線，如圖8所示。隨著頻率從3 Hz提高到120 Hz，動剛度從2.903×108N/m加速下降到1.812×108N/m，動阻尼也隨著頻率的提高而減小，但減小的幅度相對較小，僅從7.460×105N·s/m減小到7.221×105N·s/m。這表明，平板與地面之間的相互作用隨著頻率的提高而減弱。一方面，平板作用在地面上的力將會減小，另一方面，地面對平板的限制將減弱。當平板與大地之間的相互作用減弱時，振動器產生的下傳信號的強度和信噪比必然會降低，從而影響高頻信號的勘探效果。而從目前的勘探需求來看，高頻成分是進行地震反演所必不可少的，因此必須加強振動器與大地之間的相互作用。因此，掌握影響動剛度和動阻尼的耦合參數具有重要意義。

圖8 動剛度和動阻尼隨掃描頻率的變化曲線Fig.8 Variation curve of dynamic stiffness and dynamic damping with sweep frequency

3.1 耦合參數分析

由圖4可知，耦合參數主要包括掃描頻率、大地彈性模量、土壤密度、平板底面積、液壓油剛度、液壓油阻尼、掃描信號的額定幅值、平板質量和重錘質量。其中：液壓油的剛度和阻尼由液壓油本身決定，其值基本不變，不納入考慮；掃描信號的額定幅值可人為設定，且其對加速度的影響較為單一，即額定幅值越大加速度越大，且在現場作業時一般將它設置為固定值，故也不納入考慮。由式（13）和式（14）可知，影響動剛度和動阻尼的耦合參數有掃描頻率、大地彈性模量、土壤密度和平板底面積。為了便于縱向對比各參數的影響能力，對各參數進行等比例取值，即以表2中的參數值為基數，分別取其0.50，0.75，1.00，1.25，1.50的倍值進行分析。掃描頻率范圍為3～120 Hz。

3.2 大地彈性模量的影響

大地彈性模量對動剛度和動阻尼的影響如圖9所示。由圖9（a）可知：隨著掃描頻率的提高，動剛度逐漸減小；大地彈性模量與動剛度也基本成正線性關系，隨著大地彈性模量等比例減小，動剛度等間隔減小。大地彈性模量每增加0.25 倍，動剛度的增加量約為0.73×108N/m。由圖9（b）可知：隨著掃描頻率的提高，動阻尼逐漸減小；大地彈性模量與動阻尼也成正相關關系，但是隨著大地彈性模量等比例增加，動阻尼的增幅越來越小。從土壤軟硬度來看，較硬（彈性模量較大）的土壤與平板之間的相互作用更強，更有利于力的傳遞。

圖9 大地彈性模量對動剛度和動阻尼的影響Fig.9 Effect of soil elastic modulus on dynamic stiffness and dynamic damping

3.3 土壤密度的影響

土壤密度對動剛度和動阻尼的影響如圖10所示。由圖可知，土壤密度對動剛度的影響與對動阻尼的影響截然不同。在3～10 Hz的低頻階段，5條動剛度隨掃描頻率的變化曲線基本重合，土壤密度對動剛度的影響很小。隨著頻率提高，動剛度減小；土壤密度越大，動剛度越小。

圖10 土壤密度對動剛度和動阻尼的影響Fig.10 Effect of soil density on dynamic stiffness and dy‐namic damping

土壤密度越小，越有利于振動出力。土壤密度與動阻尼的關系同大地彈性模量與動阻尼的關系類似，兩者也成正相關關系，且隨著土壤密度等比例減小，動阻尼減小的幅度增大。動阻尼較大意味著對能量的耗散能力較強，即土壤會消耗較多的下傳能量。

3.4 平板底面積的影響

平板作為可控震源與大地耦合的媒介，其底面積決定了可控震源與大地之間作用的范圍，對動剛度和動阻尼都有很大的影響。平板底面積對動剛度和動阻尼的影響如圖11所示。由圖11（a）可知：隨著頻率提高，動剛度減小，表明平板與大地之間的相互作用會減弱；當頻率小于100 Hz時，平板底面積與動剛度基本成正相關，隨著頻率提高，加大平板底面積對增大動剛度的作用越來越小；當頻率大于100 Hz后，較小的平板底面積所對應的動剛度反而更大一些。這表明不能一味依靠加大平板底面積來加強平板與大地之間的相互作用，當頻率上升到一定值后，其相互作用反而會減弱。由圖11（b）可知：在任一掃描頻率下，平板底面積與動阻尼基本成線性關系；平板底面積越大，動阻尼越大，對系統的能量耗散能力則越強。

圖11 平板底面積對動剛度和動阻尼的影響Fig.11 Effect of plate bottom area on dynamic stiffness and dynamic damping

由上述分析可知：大地彈性模量對動剛度和動阻尼的影響最大，在掃描頻寬內大地彈性模量與動剛度和動阻尼均基本成線性關系；隨著土壤密度和平板底面積等比例增大，其對動剛度的影響隨著掃描頻率的提高呈現漸變的趨勢，土壤密度對動剛度的影響逐漸增大，而平板底面積對動剛度的影響逐漸減小；土壤密度和平板底面積的等比例增大對動阻尼的影響基本一致，其值越大，動阻尼越大，且近似成等比例關系。

4 結論

根據彈性半空間理論，建立了振動器-大地耦合振動模型，提出了平板-大地耦合動剛度和動阻尼的數學描述，通過試驗驗證了耦合模型的準確性，并分析了耦合參數對動剛度和動阻尼的影響規律。得到以下主要結論：

1）動剛度和動阻尼均為關于外擾力頻率的變量，可以描述在掃描頻率變化的情況下結構的振動響應，更加適合于在掃描信號激振下平板與大地之間的相互作用的研究。

2）平板與地面之間的相互作用隨著掃描頻率的提高而減弱，平板作用在地面上的力將減小，地面對平板的限制將減弱。

3）彈性模量較大的土壤與平板之間的相互作用較強，更有利于力的傳遞；土壤密度越小，越有利于振動出力；隨著頻率的提高，加大平板底面積對增大動剛度的作用越來越小。

4）大地彈性模量對動剛度和動阻尼的影響最大；土壤密度越大，動剛度越小，動阻尼越大；隨著頻率的提高，平板底面積對動剛度和動阻尼的影響均逐漸減小。為了獲得期望的激振激發信號，在采用可控震源進行勘探時，應充分考慮掃描頻率、土壤性質和平板底面積對激振信號輸出的影響。