三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉振動特性分析

魏建寶，李松梅，徐雨田

（青島科技大學機電工程學院，山東青島266061）

萬向聯(lián)軸器作為大型旋轉機械傳動系統(tǒng)的重要組成部分，其力學性能對機械設備的穩(wěn)定、安全運行有重要影響。三叉式萬向聯(lián)軸器具有結構簡單、傳輸能力強和承載能力大等優(yōu)點，廣泛應用于汽車工業(yè)和冶金行業(yè)等［1-3］，其結構如圖1所示。萬向聯(lián)軸器的主要運動形式是轉動。在自身結構和外力的影響下，萬向聯(lián)軸器會產生附加運動，從而導致聯(lián)軸器產生一定的振動，這會對機械設備傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)運行造成極大的危害。

圖1 三叉式萬向聯(lián)軸器結構示意Fig.1 Structure diagram of tripod universal coupling

近年來，許多學者對萬向聯(lián)軸器的振動特性進行了大量研究。Farzad 等［4］對萬向聯(lián)軸器的驅動軸進行了多體動力學分析，建立了萬向聯(lián)軸器的扭轉振動方程并分析了振動產生的原因，最后通過實驗進行了對比驗證。Han等［5］通過研究發(fā)現(xiàn)，船舶傳動系統(tǒng)的疲勞失效主要是由萬向聯(lián)軸器的扭轉振動造成的，為避免傳動系統(tǒng)疲勞失效，應將萬向聯(lián)軸器的剛度減小至目標值的70%。Jayananthan 等［6］對動力傳動系統(tǒng)的扭轉振動特性進行了建模分析，通過研究發(fā)現(xiàn)防止由臨界速度下的共振引發(fā)的過早失效十分有必要。Sugawara等［7］考慮汽車傳統(tǒng)系統(tǒng)驅動軸的軸向力，通過實驗分析了驅動軸空轉時的振動特性，發(fā)現(xiàn)驅動軸空轉時的振動特性受到三腳架軸向位置變化幅度和諧波周期的影響。盧曦等［8］從球籠式等速萬向節(jié)的內部結構出發(fā)，對其振動的產生原因進行了分析，并推導出球籠式等速萬向節(jié)傳動軸的彎曲、扭轉振動方程以及對應的臨界轉速。常德功等［9-10］設計了一種汽車用新型等速萬向聯(lián)軸器，通過運動學分析驗證了其準等角速特性，并對所設計的萬向聯(lián)軸器的驅動軸進行了預應力作用下的諧響應分析，得到了驅動軸的危險頻率及動態(tài)特性，有效避免了共振現(xiàn)象的出現(xiàn)。徐翔等［11］通過更改參數(shù)的方式得到：三叉式萬向聯(lián)軸器的固有頻率隨其輸入軸與輸出軸之間夾角的增大而逐漸減小，當夾角小于20°時，可忽略夾角的影響，直接進行扭振特性分析。王鴻恩等［12］采用漸近法分析了三維空間多節(jié)萬向傳動軸的結構參數(shù)以及扭振的主、從動件的旋轉非等速性等因素對動力放大系數(shù)的影響，提出可通過對傳動件剛度、轉動慣量、軸間夾角及十字軸轉角相位差等進行優(yōu)化設計的方法來減小動力放大系數(shù)和降低旋轉的非等速性。袁躍蘭等［13］建立了某車輛動力傳動系統(tǒng)的多自由度質量-彈性-阻尼動力學模型，著重分析了萬向聯(lián)軸器的剛度和阻尼對車輛動力傳動系統(tǒng)的固有頻率、固有振型和強迫振動響應等模態(tài)參數(shù)的影響。李松梅等［14］針對三叉式萬向聯(lián)軸器在實際應用中所產生的振動影響，設計了一種橡膠減振型三叉式萬向聯(lián)軸器，并通過理論分析和實驗研究的方式獲得了提高其使用壽命的措施。綜上所述，目前缺乏對雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器扭轉振動特性的研究?？紤]到在實際應用中三叉式萬向聯(lián)軸器常與球籠式萬向聯(lián)軸器串聯(lián)使用，且其扭轉振動會對機械傳動系統(tǒng)產生影響，以三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器為研究對象，對其扭轉振動特性進行分析，旨在為其設計、制造和應用提供理論依據(jù)。

1 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉振動模型的建立

三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的物理模型如圖2所示（其中三叉式萬向聯(lián)軸器為橡膠減振型三叉式萬向聯(lián)軸器）。圖中：R為三叉桿的旋轉半徑；β為輸入軸與中間軸的夾角；l為中間軸的長度；θ1、θ2及θ3和θ4分別為輸入軸、中間軸和輸出軸的扭轉角度。忽略新型三叉式萬向聯(lián)軸器和球籠式萬向聯(lián)軸器自身的轉動慣量，且不考慮連接處附加轉動慣量和速度的變化，采用集中參數(shù)法建立三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉振動簡化模型，如圖3所示。其中：中間軸為細長軸（扭轉剛度為kL，扭轉阻尼為cL），其扭轉變形量較大，分析計算時將中間軸分解為轉動慣量相等的2個圓盤，對應的轉動慣量分別為J2和J3；輸入軸的轉動慣量為J1，輸出軸的轉動慣量為J4。

圖2 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的物理模型Fig.2 Physical model of tripod-ball cage double univer‐sal coupling

圖3 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉振動簡化模型Fig.3 Simplified torsional vibration model of tripodball cage double universal coupling

基于圖3所示的扭轉振動簡化模型，采用第一類拉格朗日方程［15］建立三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的動力學方程：

式中：M為廣義質量矩陣，M=diag(J1J2J3J4)；q為廣義坐標，q=[θ1θ2θ3θ4]T；Cq為雅克比矩陣；λ為拉格朗日乘子；Qe為阻尼矩陣；Qf為外力矩陣。

由圖2 可知，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸、中間軸與輸出軸的扭轉角度的關系為：

則三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器各軸扭轉角度的約束矩陣C為：

求解式（3）關于廣義坐標q的偏導數(shù)，可得Cq：

根據(jù)圖3所示的扭轉振動簡化模型，可得阻尼矩陣Qe為：

求解式（2）關于時間的二階導數(shù)，可得Cqq''=Qc，則有：

將Cqq''=Qc代入式（1），可得：

當外力為0 N 時，阻尼為0 N/（m/s）時，式（7）為三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的自由扭轉振動方程。令β=0°，則θ1=θ2，θ3=θ4，由此可得角加速度也相等。此時該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的自由扭轉振動方程可以簡化為：

2 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率求解

基于式（8），由公式法［16］求解得到三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率fn：

三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器各軸的轉動慣量分別為J1=J4=4×10-3kg?m2，J2=J3=9×10-3kg?m2；雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的剪切模量G=8×1010Pa；中間軸的直徑d=0.04 m，長度l=0.40 m；三叉桿的旋轉半徑R=0.03 m。則可得中間軸的扭轉剛度kL為：

將各數(shù)值代入式（9），可得三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率為2 769.4 rad/s，即440.99 Hz。

若三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與中間軸的夾角β≠0°，保持輸入軸與輸出軸的軸線平行，則基于式（7）得到該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的振動方程，為：

式（11）為非線性振動方程，利用公式法求解較為復雜且誤差較大，因此采用Runge-Kutta 算法對式（11）進行數(shù)值求解。設三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸的初始角速度為1 rad/s，分析時間為1 s，步長為10-6s；取輸入軸與中間軸的夾角β=0°，10°，20°和30°。利用MATLAB 軟件對三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的振動特性進行仿真分析。

圖4所示為輸入軸與中間軸的夾角不同時三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的頻域響應。由圖4 可知，當輸入軸與中間軸的夾角β=0°時，該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率為440.99 Hz，與理論計算結果一致，驗證了仿真分析的正確性。此外，從圖4中還可以看出，隨著輸入軸與中間軸的夾角的增大，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率略有降低。

圖4 輸入軸與中間軸的夾角不同時三叉式?球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的頻域響應Fig.4 Frequency domain response of tripod-ball cage double universal coupling with different included angles be‐tween input shaft and intermediate shaft

3 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉振動響應分析

在考慮外力且忽略阻尼的情況下，在三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的輸入軸上加載轉矩T，輸出軸上施加負載F，則有：

將Qf代入式（7），得到三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉振動方程，為：

設施加在三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸上的轉矩T=sin 8πtN?mm，不考慮該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的效率損失，利用Runge-Kutta算法對式（13）進行數(shù)值求解，得到該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差隨時間的變化情況。

3.1 不同夾角下的扭轉振動響應分析

在實際應用中，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與中間軸的夾角會發(fā)生改變。為研究該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸的轉角和角速度與輸入軸與中間軸的夾角的關系，設輸入軸和輸出軸的初始角速度均為1 rad/s，保持輸入軸與輸出軸的軸線平行，取輸入軸與中間軸的夾角β=0°，10°，20°和30°，負載F=sin 8πtN?mm，分析時間為1 s。通過仿真分析得到不同夾角下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差隨時間的變化情況，如圖5所示。

圖5 不同夾角下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差Fig.5 Rotation angle difference and angular velocity difference between input shaft and output shaft of tripod-ball cage double uni‐versal coupling under different included angles

由圖5 可知，對于三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器，當輸入軸與中間軸的夾角β=0°時，隨著時間的增加，其輸入軸與輸出軸之間的轉角差逐漸增大，呈波浪形，角速度差平穩(wěn)增大。當輸入軸與中間軸的夾角β=10°時，輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差的整體變化趨勢與β=0°時相似，但波動幅度增大。當輸入軸與中間軸的夾角β=20°時，隨著時間的增加，輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差整體趨于穩(wěn)定，轉角差的最大值約為0.8×10-3rad，角速度差的最大值約為1.3 rad/s。當輸入軸與中間軸的夾角β=30°時，輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差的變化趨勢與β=20°時相似，其中轉角差的最大值約為3×10-3rad，角速度差的最大值約為4.1 rad/s，隨著時間的增加，角速度差略有減小。

由圖5還可以看出，對于三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器，隨著輸入軸與中間軸的夾角β的不斷增大，同一時刻下輸入軸與輸出軸之間的轉角差增大。從整體上看，在t=0 s附近，隨著輸入軸與中間軸的夾角β的增大，輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差的初始值增大；當輸入軸與中間軸的夾角β較小時，輸入軸與輸出軸之間的轉角差整體呈波浪形變化，變化趨勢不穩(wěn)定；當輸入軸與中間軸的夾角β增大到20°后，輸入軸與輸出軸之間的轉角差的整體變化趨勢由波浪形趨于平滑，即變化逐漸趨于穩(wěn)定；隨著輸入軸與中間軸的夾角β的增大，輸入軸與輸出軸之間的角速度差增大，且在t=0 s附近的角速度差隨夾角β的增大而快速增大，逐漸接近t=1 s時的角速度差。

綜上，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與中間軸的夾角的改變導致其輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差發(fā)生改變，從而造成聯(lián)軸器產生不穩(wěn)定的扭轉振動。

3.2 不同外激勵下的扭轉振動響應分析

為研究三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸的轉角和角速度與外激勵的關系，分別取施加在輸入軸上的轉矩T=30sin 8πt，60sin 8πt和90sin 8πtN?mm，輸出軸外激勵為相應的負值，取輸入軸與中間軸的夾角β=10°，輸入軸和輸出軸的初始角速度均為1 rad/s，其他條件不變，得到輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差隨時間的變化情況，如圖6所示。

圖6 不同外激勵下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差Fig.6 Rotation angle difference and angular velocity difference between input shaft and output shaft of tripod-ball cage double uni‐versal coupling under different external incentives

由圖6（a）、（b）可以看出，對于三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器，當外激勵T=30sin 8πtN?mm時，輸入軸與輸出軸之間的轉角差整體呈周期性變化，變化周期約為0.25 s，正、反向轉角差的最大值隨時間的增加而增大，正向轉角差的最大值約為8×10-4rad，反向轉角差的最大值約為-8×10-4rad；輸入軸與輸出軸之間的角速度差在0 rad/s上下波動，且隨著時間的增加，角速度差呈小波浪形增大，正向角速度差的最大值約為0.60 rad/s，反向角速度差的最大值為-0.55 rad/s。由圖6（c）、（d）可以看出，當外激勵T=60sin 8πtN?mm時，輸入軸與輸出軸之間的轉角差的變化趨勢以及變化周期與T=30sin 8πtN?mm時相似，正向轉角差的最大值約為1.8×10-3rad，反向轉角差的最大值約為-1.8×10-3rad；輸入軸與輸出軸之間的角速度差的變化趨勢也與T=30sin 8πtN?mm時相似，但波動程度有所增大。由圖6（e）、（f）可以看出，當外激勵T=90sin 8πtN?mm 時，輸入軸與輸出軸之間的轉角差的變化趨勢以及變化周期同樣與T=30sin 8πtN?mm時相似，正向轉角差的最大值約為2.0×10-3rad，反向轉角差的最大值約為-2.0×10-3rad；輸入軸與輸出軸之間的角速度差的變化趨勢同樣與T=30sin 8πtN?mm時相似，且正、反向角速度差的最大值與T=30sin 8πtN?mm時相近，但角速度差的波動程度略有增大。

綜上，外激勵的存在和改變導致三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差發(fā)生改變，從而造成聯(lián)軸器產生不穩(wěn)定的扭轉振動。

為了更清楚地觀察三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差隨時間的變化情況，給出0.2 s內轉角差的變化情況，如圖7所示。

由圖5 至圖7 可以看出，隨著外激勵的不斷增大，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差的變化趨勢幾乎不變，但其幅值的整體波動程度越來越大。在單個變化周期內，輸入軸與輸出軸之間的轉角差的波動程度幾乎不變；正向轉角差的最大值由6.0×10-4rad增大到1.75×10-3rad，反向轉角差的最大值由-7.5×10-4rad減小到-1.9×10-3rad。

圖7 0.2 s 內不同外激勵下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差Fig.7 Rotation angle difference between input shaft and out‐put shaft of tripod-ball cage double universal coupling under different external incentives within 0.2 s

4 結論

1）利用Runge-Kutta 算法對三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的振動方程進行了求解，并通過MATLAB軟件進行了數(shù)值仿真分析，得到該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率均為440.99 Hz，即理論計算結果與數(shù)值仿真分析結果一致，驗證了仿真分析的正確性。

2）在整個三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器中，其輸入軸與中間軸的夾角的改變會影響其輸入軸與輸出軸之間的轉速差和角速度差，進而導致聯(lián)軸器產生扭轉振動，夾角越大，聯(lián)軸器產生的扭轉振動越劇烈。外激勵的存在和改變也會使聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉角差和角速度差產生不穩(wěn)定的變化，隨著外激勵的增大，聯(lián)軸器的扭轉振動愈加劇烈。研究結果為三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的設計、制造和應用提供了理論依據(jù)和技術支持。