數學思想方法在解析幾何教學中的應用

摘 要：高中數學教學中會涉及較多教學內容，并且內容難度相對較大，即便學生具有良好的數學基礎，也會在數學學習期間面臨一定難度.而后進生在數學學習中會面臨更大困難，若教師不能通過正確方法對學生進行學習引導，很容易使學生對數學科目產生畏懼心理.解析幾何在高中數學中屬于難點知識，為了使學生更高效、輕松的學習解析幾何相關知識，本文著重探究數學思想方法在解析幾何教學中的應用，為高中數學教師提供相關教學策略，使教師更有效的引導學生掌握正確學習方法，不斷攻克數學學習難點，提升學習質量及效率.

關鍵詞：數學思想方法;解析幾何;教學;應用

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）24-0029-02

收稿日期：2021-05-25

作者簡介：趙壽鋒（1979.6-），男，河北省滄縣人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

將數學思想方法應用于解析幾何教學當中，能夠在各種思想與解析幾何相關知識點相互結合過程中提升教學直觀性，使學生在解題過程中不斷鍛煉自身的邏輯思維能力，同時在相關數學思想方法應用下不斷簡化和優化解題過程，以減少學生對解析幾何相關知識的畏懼心理，幫助學生更輕松、簡單的學習數學知識，逐步提升高中數學學習效率，掌握正確的學習方法.為此，有必要對數學思想方法在解析幾何教學中的應用深入探究，以此為教育同仁們提供一些教學參考.

一、數形結合思想應用于解析幾何教學，提升教學直觀性

解析幾何在高中數學教學當中屬于難點內容，不僅要求學生掌握基礎性的知識內容，還需要學生能夠靈活的應用有關知識內容.為了達到相關教學目標，高中數學教師可在針對解析幾何教學期間，利用數形結合的數學思想建立高效課堂.數形結合思想可以將無形的數學問題變的有形，使學習者更加直觀的了解數學問題本質和相關解題思路，同時把抽象、復雜的數學問題轉化成具體、簡單的問題，便于學生解答.

例1 方程lgx=sinx有（ ）個實根.A.4個 ?B.3個 ?C.2個 ?D.1個

在對此題進行解析期間，無法單通過題目分析得到答案，此時可借助數形結合思想來剖析題目.具體就是將y=lgx的圖象和y=sinx圖象共同畫到一個坐標系當中，如圖1，此時可清晰的從圖中得到此方程有3個實根.

例2 圓的方程是x2+y2=1，直線l過點P（-3，

-1），直線和圓有公共點，那么直線l傾斜角相應取值范圍為（ ）.

A.0，π6 ?B.0，π6 C.0，π3 D.0，π3

通過分析題意，可明確直線l存在斜率，因此可對直線l作出假設：y+1=k（x+3）.如果經過P作兩條與圓O相切的直線PA和PP0，A和P0分別為切點，如圖2.基圖2于P點的坐標，可知kPA=0，那么從Rt△OAP當中可解出∠OPA=30°.根據對稱性，可得∠OPP0=30°，那么∠APP0=60°.綜合分析，直線l傾斜角相應取值范圍為0，π3.

這種將數形結合思想滲透到解析幾何教學內容當中的教學方法，可調動學生高昂的數學學習興趣，并直觀感知數學知識，深化理解有關內容，厘清自身學習思路，關注問題思考，靈活應用有關知識內容，不斷提升課堂學習質量與效率.

二、劃歸思想應用于解析幾何教學，提高教學有效性

化歸思想也叫轉化與歸結思想，也是重要的數學思想方法，其本質是使問題從陌生轉化到熟悉、從復雜轉化到簡單、從抽象轉化到具體.在所遇到的數學問題無法通過現有方式加以解答期間，可適當進行轉化，使答題難度有所下降，進而更容易、有效的解決有關問題.比如在《圓的方程》教學中，高中數學教師就可合理應用化歸思想.

例3 圓的方程為：（x-2）2+（y-2）2=2，點P分布在圓上，設坐標為（x，y）.求x+y和yx取值范圍.

要解答此題，就要求學生了解題目中代數式x+y以及yx的內在意義.若x+y=t，則可將x+y涉及到的取值范圍進行轉化，具體是在圓和直線兩者存在交點的時候，y軸上直線所保持截距相應取值范圍;若y-0x-0=k，則此時可將yx取值范圍進行轉化，即圓與直線存在交點的時候，直線斜率涉及到的相關取值范圍.在化歸思想應用下，之前復雜的問題變得簡單.

從已知條件可以看出圓心坐標是（2，2），半徑為2，若x+y=t，則可得x+y-t=0.因為P點分布于圓上，圓與所有直線均存在交點，直線與圓心間距小于等于圓半徑，此時可利用點到直線之間的距離公式計算，得到2+2-t12+12≤2，然后求得2≤t≤6.以同樣方法可求得2-3≤k≤2+3.

將化歸思想應用到解析幾何當中，可使數學問題更快、更好的獲得解決，同時還有利于學生深刻理解并掌握有關數學知識，使數學教學質量和效率顯著提升.

三、分類討論思想應用于解析幾何教學，鍛煉學生邏輯思維

分類討論思想在數學思想中也是屬于重要組成部分，目前在高中數學教學期間應用相對普遍.在對數學問題進行探討時，可基于有關標準實現分類，之后按照類別實現深入探討，進而得出結論.分類討論思想其本質是分解整體問題，之后再逐個擊破，以順利的實現問題解答.簡單地說，分類討論思想提倡先將問題化整為零，之后在單獨分析與突破，最終實現集零為整，以此把不能準確把握的問題劃分成可以直觀入手的若干小問題，最終對問題進行清晰明了的解決，獲得最后答案.將分類討論思想應用到解析幾何教學當中，可使學生從整體層面看待問題，培養學生嚴謹的思維習慣.比如，在直線方程教學期間，教師可將分類討論思想滲透到例題教學中，以培養學生對問題的整體思考，并通過分類討論思想順利解答題目.

例4 平面直角坐標系中，A、B、C、D四點構成矩形，AB落在x軸正半軸，且AB=2，AD落在y軸正半軸，同時A點坐標與原點重合，BC=1.現折疊矩形，使A點落在線段DC上，若折痕所在直線的斜率為k，求折痕所在直線的方程.

在對這一問題進行解答期間，要先分析已知條件，對折痕所在直線涉的斜率進行解析，此時可分為兩種情況進行討論，分別是k=0和k≠0.

首先分析k=0情況下，A點D點保持重合，那么折痕所在直線相關方程為y=12.在k≠0情況下，矩形折疊后，A點落在CD線段上，設為M，其坐標為（a，1），此時以折痕所在直線為中心，A、M兩點保持對稱，可得kAM·k=-1，再次求解得到a=-k，此時M點坐標為（-k，1）.設N為AM線段中點，那么其坐標可表示為（-k2，12），求解可得折痕所在直線的方程是y=kx+k22+12.綜上，在k=0的情況下，y=12;在k≠0的情況下，y=kx+k22+12.

此題目中實現直線方程求解期間，要對位置關系、斜率存在以及截距相等情況下斜率等不等于0進行分類討論.若沒有應用分類討論思想，學生在解題中容易忽略k=0情況，進而影響到正確結果.解析幾何教學中，教師通過為學生傳授分類討論思想，能夠幫助學生建立正確的解題思路，強化解題能力，提升教學質量與效率.

將數學思想方法滲透于解析幾何教學當中，能夠使學生更加有效、深刻的理解與學習數學基礎知識，提升知識應用效果，掌握正確學習方法，不斷提高個人綜合素質和數學學習能力.因此，高中數學教師要正確認識各種數學思想方法，并積極通過有效策略將數學思想方法有針對性、有目的的應用到解析幾何教學中，以全面提升教學效率及教學質量，使學生更加輕松、簡單的學習數學知識. ?參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]