滾動時域估計在連續攪拌釜式反應器中的應用研究

王志飛 曾 靜

(沈陽化工大學信息工程學院 遼寧 沈陽 110142)

0 引 言

隨著經濟的發展，大型復雜的化工過程在現代工業發展中日益增加，狀態估計在化工領域也得到廣泛的應用。近年來，隨著對模型預測控制(MPC)的研究日益深入，基于滾動優化原理的滾動時域估計(MHE)也得到了廣泛研究[1-4]，MHE優勢在于能夠處理顯式非線性系統和決策變量的約束。

MHE的基本思想是將估計問題轉化為固定時域長度的優化問題，避免優化計算量隨時間的增加而增加[5]。在MHE中，狀態估計是通過在線求解一個最小誤差平方和的優化問題來確定的。為了得到一個有限維度的問題，MHE的估計窗口一般選擇為有限的。在采樣時刻，當有新的測量值可用時，丟棄估計窗口中最舊的測量值，再次求解有限維的優化問題，得到狀態新的估計[6]。MHE需要可靠的到達代價函數近似，雖然開發了不同的方法近似到達代價函數，包括文獻[7]中的擴展卡爾曼濾波、文獻[8]的無跡卡爾曼濾波和文獻[9-10]中的粒子濾波，但通常確定帶約束非線性系統的到達代價函數是一項困難的任務。

本文采用了擴展卡爾曼濾波近似到達代價函數的方法，針對連續攪拌釜式反應器及分離過程，在建立模型的基礎上，設計該化工過程的滾動時域估計仿真實驗，仿真結果表明該方法能夠有效地處理化工過程中非線性系統的狀態估計問題。

1 理論基礎

1.1 系統描述

假設非線性系統的狀態空間表達式如下：

(1)

式中：x∈Rn表示狀態向量，且t=0時刻的狀態為x0；w∈Rn是狀態擾動向量；y∈Rn為輸出測量值；v∈Rq表示測量噪聲向量。為了簡化討論但又不失一般性，不考慮系統的輸入。

假設系統狀態x滿足約束x∈X，其中集合X是凸集合。狀態擾動w∈W，測量噪聲v∈V是有界的，且：

已知θ和θv為正整數，假設非線性函數f在X×W中滿足局部Lipschitz條件，h在X中滿足局部Lipschitz條件。本文進一步假設系統式(1)的輸出y在同步時間瞬時采樣{tk≥0}，如tk=t0+kΔ,初始時間t0=0,Δ為固定時間間隔，k為正整數。

1.2 擴展卡爾曼濾波

擴展卡爾曼濾波(EKF)的基本思想是利用泰勒展開，將非線性方程直接線性化。線性化后的系統模型和系統實際模型存在一定的差別，非線性越強差別越大，但是EKF的優勢不容小覷[11]。

上述系統的對應模型為：

x(k)=f(x(k-1),w(k-1))

z(k)=h(x(k),v(k))

(2)

線性化：

(3)

預測步驟：

(4)

P(k|k-1)=F(k-1)P(k-1|k-1)FT(k-1)+

L(k-1)Q(k-1)LT(k-1)

(5)

增益：

K(k)=P(k|k-1)HT(k)×[HT(k)P(k|k-1)

H(k)+M(k)R(k)MT(k)]-1

(6)

更新步驟：

(7)

P(k|k)=[I-K(k)H(k)]×P(k|k-1)

(8)

1.3 滾動時域估計

對于上述系統式(2)的經典MHE(Moving horizon estimation)的標準表達式設計如下：

(9)

通常假設過程噪聲w和測量擾動v取分段的常數值，采樣時間為Δ，這樣可以使上述問題成為有限維度問題，便于計算處理。對于一個過程而言，只要采樣時間足夠小，分段常數擾動和噪聲能夠適當地捕捉時變擾動和噪聲對該過程的影響。

為了保證上述式(9)的最優解，只需要其中的代價函數最小。代價函數V(tk-N)在總結未包括在估計范圍內的過去信息中起著重要的作用。到達代價函數的準確性不僅影響性能，而且還會影響MHE的穩定性，所以確定一個約束非線性系統的到達代價函數是一項艱難的任務。本文中的到達代價函數采用擴展卡爾曼濾波近似代替，形式為：

(10)

2 化工過程模型描述

滾動時域估計應用于連續攪拌反應器及分離過程，該過程模型包括兩個相連的連續攪拌反應器(CSTR)和一個閃蒸槽分離器，如圖1所示。

圖1 循環流反應器分離工藝

詳細的反應過程類似于文獻[12]。第一個反應器的進料流中包含純凈反應物A，流速為F10，溫度為T10。期望發生的反應是A轉化為B，同時該過程也包含副反應B轉化為C。從CSTR1端口流入CSTR2中的物料流的流速為F1，溫度為T1，此外純凈的反應物A以流速F20和溫度T20送入CSTR2，CSTR2中發生的反應與CSTR1相同。CSTR2的一部分出料物經過閃蒸槽分離器循環流入CSTR1，其流速為Fr溫度為T3。每一個反應器裝備有夾套，用于向反應器提供/輸出熱量。基于質量和能量守恒建立的標準模型，可以通過9個常微分方程來描述該反應過程的動力學：

xBrΔHvap2+xCrΔHvap3)

假設分離器中發生的反應量可以忽略不計，并且每個組分的相對揮發性在工作溫度范圍內保持不變。與閃蒸罐中液體成分相關的頂流成分建模代數方程描述如下：

(11)

過程涉及到的變量含義、參數的值詳細介紹如表1和表2。注意，反應(1)和反應(2)分別指A→B和B→C的化學反應。

表1 反應器的過程變量

表2 反應器過程參數

續表2

3 仿真設計與結果

3.1 仿真設計

本節設計了擴展卡爾曼濾波和MHE的仿真實驗，通過對比來說明狀態估計性能的優劣。在仿真設計上，采樣時間Δ=0.002 h，系統狀態的界限約束在0

x0=[0.193 9, 0.740 4, 528.348 2 K, 0.216 2,

0.719 0, 520.064 9 K, 0.071 6, 0.737 3,

522.376 5 K]T

初始估計值為：

522 K, 0.072, 0.705, 519 K]T

當N=20和N=30時，MHE和擴展卡爾曼濾波的軌跡分別如圖2、圖3所示。然后本文分別計算了EKF和MHE在各采樣時刻與實際狀態的誤差，結果如圖4所示。

圖2 N=20時各狀態變量軌跡圖

圖3 N=30時各狀態變量軌跡圖

圖4 N=30時各狀態誤差軌跡圖

3.2 結果分析

由圖可見，在區間0～0.05 h，MHE的軌跡波動幅度較大，考慮到在狀態估計的初期MHE的估計窗口數據的不完整，造成估計的誤差較大，故可以忽略該段時間內對估計性能的影響，理想的MHE估計性能主要參考區間為0.05～0.2 h。

從圖2和圖3中可以看出擴展卡爾曼濾波和MHE都能夠很好地追蹤系統的實際狀態。對比圖2、圖3中MHE的各狀態軌跡表現的更加平滑，波動較小。說明了隨著滾動窗口N的增大，MHE的估計效果也會更好，但是滾動窗口的增加，計算量同樣也會增加，仿真時長也會相應延長。

然后，為了比較擴展卡爾曼濾波和滾動時域估計的效果，算出了EKF和MHE與實際系統狀態的誤差平均值，如表3所示。

表3 狀態估計誤差平均值

計算方法如下：

4 結 語

滾動時域估計作為一種有效的狀態估計方法對復雜工業過程的控制與優化產生了巨大的影響。本文將擴展卡爾曼濾波和滾動時域估計方法引入到連續攪拌釜式反應器的狀態估計問題中，將非線性系統的估計問題轉化為滾動時域的最優值問題，合理地處理非線性系統的估計問題。仿真結果表明了針對有約束非線性連續攪拌釜式反應器及分離過程，擴展卡爾曼濾波及滾動時域估計方法都能有效估計出系統真實狀態。通過對狀態估計誤差平均值的進一步比較，說明滾動時域估計效果要優于擴展卡爾曼濾波，且隨著滾動窗口的增大，MHE的估計效果也會更好。