如何在數學建模中融入數值分析思想

呂曉霞

（商丘學院，河南 商丘 476000）

引言

數學學科除了是一門科學以外，它更是一門生活藝術。在我們的日常生活，經常可以看到數學的影子，買菜花了多少錢、繪制一個圖形等，都需要用到數學知識。也就是說，在數學教育中，不僅要教會學生數學知識，更要讓學生會用數學知識和數學技術，在遇到一些現實問題時，可以依靠自己的數學能力解決問題，具備數學思維和數學能力。數值分析思想就是數學中一個非常重要的數學思想內容，尤其是在數學建模過程中，數值分析思想可以發揮出極其重要的作用，但我們需要明確的是，數學建模的基礎離不開數學知識、數學技術和數學思想，但在應用時卻可以應用到很多領域。如何在數學建模中有效的融入數值分析思想，是當前需要思考的一個迫切內容。

一、數學建模概述

說到數學建模，好像它很高大上，但其實在近些年我國教育教學的不斷改進和改革過程中，從初中教育階段，就已經逐步開始滲透數學建模的內容。數學建模是針對或者參照某一個現實對象，為了某種特定的目的，根據有關信息和規律，采用形式化的語言，概括或者近似地表達出來的一種數學結構。它能夠反映出該現象的形態、數量規律，是一種基于數學思想的表達式、圖形、圖表或者算法。通過數學建模，可以讓學生從生產、生活中發現特定的數量關系和空間形式，運用數學語言表達研究內容和研究對象。

通常情況下，數學建模有以下幾個流程：

二、數學建模中融入數值分析思想的意義

（一）提高學生學習興趣，挖掘學生潛能

在數學建模過程中，很多時候都需要學生自己動手動腦親自操作、分析和建立數學模型，在這個過程中，數值分析思想的應用可以說是非常普遍的，為了建立準確科學有效的數學模型，需要耐心仔細地對各個有用的數值進行整理、歸納和分析，這都需要學生自己進行，這就容易激發出學生戰勝數學難題的不懼挑戰的心理，大多數學生會越挫越勇，進而有利于學生對數學學習興趣的提高，使得學生潛在的才能被喚醒。

（二）增強學生數學分析能力和實踐能力

數值分析作為數學學科中非常常見的一個內容，它在數學建模中的運用更是非常普遍，如數據假設、插值法等。通過數值分析，可以讓學生在數字語言中了解研究對象和研究內容，通過進行數學建模，可以更清晰容易的解決較為復雜的數學難題，這個過程，就是培養學生數學分析能力和用數學思想解決實際問題能力的過程。同時，在學生參與過程中，為了更容易地解決問題，也可以激發出學生的創造性，這不僅在數學學習中是一種非常重要的能力，在學生未來發展中，創造創新能力也是不可缺少的。而這通過在數學建模過程中各個環節的參與過程可以進行培養。

三、數學建模中融入數值分析思想的策略

（一）明確數學建模的目標

不論是教師還是學生，對于數學建模的內涵一定要有清晰的認識和理解，數學建模和數學實驗、數學活動是不相同的，相比之下，數學建模的層次顯然要更深入一些。在數學建模過程中，會應用到很多數學知識和數學思想，其中數值分析思想可以說是最為常見和基本的一個思想，在將其運用到數學建模過程中時，一定要明確兩者的內涵和關系，對數學建模的目標做出明確，根據實際的數學建模需要，選擇合適的數值分析方法，使得數學建模更加順暢，解決問題更加快速。需要說明的是，有的時候，數學建模是必須要具備數值分析思想的，因為這可以讓復雜繁瑣的數學問題變得更加簡單，在解決問題時步驟更加簡便，而不僅僅是為了解答出問題，而是讓解題的過程更加優化。

（二）精心設計教學案例

在長期的數學學習過程中，其實可以運用數學建模的內容是很多的，因此，教師在把數值分析思想融入其中時，就更要精心設計教學內容和教學案例。而在此需要重點說明的是，并不是只有在數學學科中才能運用數學建模，在其他一些理科的學科中，為了更為容易地解決問題，也可以采用數學建模。所以，在進行數學建模過程中，要根據實際的問題，選擇合適的數值分析方法，這樣才能真正達到運用數值分析思想進行數學建模，從而更快地解決難題的目的。也才能讓學生通過建模過程，學習到數值分析的方法，建立數值分析思想，掌握數學建模方法，鍛煉其分析問題、解決問題的能力。

（三）加強師生之間的互動

數學建模過程中，一定不是單純的教師操作，或者是學生的單純操作，在建模過程中，一定要注重師生之間的互動和合作。在講述一些經典的數學建模案例時，教師要把建模的背景、問題的產生、關鍵的因素、要用到的數學工具，尤其是數值分析思想的運用向學生講解清楚，然后讓學生分組討論，在數學建模過程中，需要運用什么樣的數學知識、數學思想，怎樣建模可以讓問題更加簡單，怎樣可以簡化其中的數值分析步驟。這樣不僅可以保持學生在學習過程中的積極性，也可以讓學生通過親自參與把知識轉化為自己的理解，從而在理解和記憶起相關知識上都可以更加快速和容易，并且印象深刻。

（四）采用有效的教學方法

在任何教學過程中，有效的教學方法發揮著至關重要的作用。在數學建模過程中，要想有效自然的融入數值分析的思想，需要采用更加有效的教學方法。這樣不僅可以讓學生覺得課程的難度不是那么高，也會達到更為理想的教學效果。比如在數學建模過程中，可以多從學生的生活實際中提煉問題，引導學生運用數學知識、數學建模解決自己生活中常見的一些問題，慢慢培養學生對數學建模和數值分析的興趣，從而會提升學生在數學建模過程中采用數值進行分析的積極性。需要說明的是，無論是數學建模還是進行數值分析，都需要教師去充分的引導學生，讓學生自己去發現、思考和解決問題，切忌不能把課堂變成教師的獨角戲，要不斷豐富教學方法，以提升學生學習積極性和良好的教學效果。

四、數學建模中融入數值分析思想的具體案例

（一）解決實際生活問題的應用案例

在對經濟動態進行分析時，一般情況下是根據一些計劃的周期期末的指標值來判斷某個經濟計劃執行得怎樣。因此，在實際問題上可以建立連續的模型，也可以建立離散的模型，但在真實的研究中，時時刻刻的對其數據進行統計是不太現實的，通常都是在某些特定時刻獲得統計數據。比如人口普查統計體現的是一個時段的人口增長量，通過對這個時段人口數量變化規律建立的離散模型來預測未來人口數量變化情況。最常用的方法就是建立差分方程。

以非負整數k 表示時間，記xk 為變量x 在時刻k 的取值，則稱Δxk=xk+1-xk 為xk 的一階差分，稱Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk 為xk的二階差分。類似可以求出xk 的n 階差分Δnxk。通過k，xk 以及的xk 的差分給出的方程就成為差分方程。比如在研究節食和運動模型時，發現人們采取節食與運動方式可以消耗體內存儲的脂肪，使得人體體重下降，從而達到減肥的目的。也就是說，通過制定減肥計劃，如果以周為時間單位是比較方便的，因此，可以采用差分方程的模型進行討論。可以記第k 個周末體重為w（k）,第k 周吸收熱量為c(k),熱量轉換系數為α，代謝消耗系數為β，在不考慮運動情況下體重變化的模型為w（k+1）=w（k）+αc(k+1)-βw（k），k=0,1,2……，增加運動時只需要將β 改為β1+β，β1 由運動的形式和時間來決定。另外，在研究經濟變化形勢、人口增長等問題時，都可以通過建立差分模型來進行分析。

（二）誤差分析問題

在數學建模過程中一般會包含很多變量，很多量通過觀察就可以得到，所以也就帶來了誤差，一般我們把這種誤差稱為觀察誤差。而在很多時候，誤差是不可避免存在的。為此，在數學建模過程中，要進行誤差分析，以避免誤差擴大問題的出現。在進行誤差分析時，首先要分清問題是否病態和算法是不是穩定，在計算時要盡量避免誤差帶來的危害。需要說明的是，在數學建模過程中，利用數值分析思想時，為了防止有效數字的損失，務必要遵循以下幾個原則：

第一，要避免用絕對值小的數作為除數；第二，要避免數值接近相等的兩個近似值相減，因為這樣容易導致有效數字的損失；第三，一定要注意運算的順序，防止“大數”吃“小數”，比如多個數相加減，應該按照絕對值由小到大的次序進行運算；第四，一定要簡化步驟，減少算術運算的次數，由于運算次數變少，就可以較高程度的保證計算結果的準確性。

結語

伴隨著科技和教學水平的不斷發展和提高，數值分析思想的理論和方法運用范圍越來越廣泛，它不僅局限于解決一些數學問題，而是有了更廣闊的使用前景，現在數學建模已經成為教育教學乃至科學工作者和工程技術人員用來解決各種科研問題的一個必備的知識和工具，而把數值分析思想融入到數學建模過程中，不僅是一種研究發展趨勢，更是用數學思想來解決實際問題的一個重要體現，并且也是非常重要的一個將復雜問題簡便化的方法。為此，在數學建模中融入數值分析思想時，要進一步明確數學建模的目標、精心設計教學案例、加強師生之間的互動、采用有效的教學方法，帶領學生參與數學建模過程的同時，進一步讓學生理解和感受數值分析思想的價值，也大大提高學生學習的積極性和學習效果。