講好數學育人故事

作者簡介

陳六一，南京師范大學蘇州實驗學校教科室主任，高級教師，全國科研先進工作者，江蘇省教育科學成果獎一等獎獲得者，蘇州市數學學科帶頭人，蘇州市優秀教育工作者，《教師博覽》簽約作者，多家教育期刊外審專家，發表教育教學文章近200篇，其中20多篇被人大復印報刊資料全文轉載或索引。

摘 要： 數學知識本是教師進行教學的根本，當下卻出現了擁有高學歷的老師、會解題的學生不甚理解數學的現象。為了使學生的生物腦成為智力腦，就需要數學教師不僅講推理，更講道理;不僅講思考，更講思想。這樣通過學科知識的視角講數學故事，才有可能讓數學育人在課堂真正發生。

關鍵詞：深刻理解;數學育人;智力腦;數學素養

王子興教授指出，數學學科知識是小學數學教師進行教學的根本，包含三個層次：（1）覆蓋數學知識體系的數學結構、數學思想與數學方法;（2）現代數學的基礎知識、數學的淵源與實質;（3）應用數學方面的知識。全美教師理事會在其報告《數學教師標準》中說，教師在數學學科知識方面要理解數學概念、過程及其關系，多種方式表述數學，能以不同形式進行數學交流，了解數學本質的變化帶來的教學方式的變化，不同文化、學科對數學發展的影響，以及數學在生活中的作用。概括而言，數學學科知識包括數學內容的知識和關于數學的知識。數學內容的知識是指對數學概念、過程及其關系的理解，數學的知識是指數學從哪里來、發生了怎樣的改變。

反觀當下一線小學數學教師，盡管他們對小學數學教材乃至各種輔導材料中的習題，都能不費力地解決，但筆者通過課堂觀察卻發現，他們對數學學科知識的理解普遍不夠深刻（教師會解題不等于理解數學）;加之目前的校本培訓、業務進修、專題教研，主辦者一般都會圍繞教育理念、教學藝術、課程建設等方面來開展，卻常常忽視對學科知識的指導（大家都認為小學數學知識很簡單）。而恰恰是由于教師對數學學科本身的理解存在欠缺，課堂中的數學學習充斥著形式化的、無意義的生物腦的訓練，使學生能按套路做對題目卻不懂數學。為此，張奠宙教授生前曾不斷警示：“小學數學并不簡單，甚至具有很高的學術含量。小學里有許多內容需要高屋建瓴地從數學本質的揭示進行梳理，僅就一些教育理念進行教學設計是走不遠的。”確實，我們小學數學教師，雖然冠名以“小”，但任務不小，唯有不斷追問“我懂數學嗎？”才有可能講好數學故事，讓數學育人在課堂發生，讓學生習得帶得走的數學素養。

一、不僅講推理，更講道理

“是什么”即推理，“為什么”即道理。小學數學教師往往對“是什么”都有著清晰的認識，但對于數學為什么是這個樣子，由于其和指導學生做對題目關系不大，加之教師自己一般不做這些追問，因此也就不能從本質上理解數學，不能從文化、思維游戲等維度發現數學的魅力，從而傳遞給學生的數學也就變成了“冰冷的名詞”。例如，教學“因數和倍數”時，我們都知道當非0自然數a、b、c存在a×b=c時，a和b叫作c的因數，或者說c是a的倍數，也是b的倍數。并由此解釋什么是質數、合數，即只有1和它本身兩個因數的自然數稱為質數;除了1和它本身外，還有其他因數的自然數稱為合數。然而，為什么要把0排除在外呢？學習因數、倍數、質數、合數是為了什么？記得在一次公開課上，學生提出了這些問題，教師只是解釋不考慮0是規定，它們屬于純數學問題。沒有觸動數學脈絡的理答，注定不會吸引學生愛上數學，投身數學研究。那么怎樣才算對因數、倍數的深刻理解呢？

在教學蘇教版數學教材五年級下冊“因數、倍數”時，筆者先出示一個數：2520。再講述：“古代埃及的數學成就非凡，考古學家發現，在埃及金字塔的一塊墓碑上，竟然刻著2520。你知道2520的意義嗎？”學生做著各種猜想，然后又自我否定。數學好奇心強烈地驅使著學生一定要弄個明白。原來古人覺得數能解釋世界，比如畢達哥拉斯學派曾提出“萬物皆數”的學說，那么數必然有最基本的元素，就像物理世界的粒子，就像建筑物需要的磚塊，可是在尋找最基本元素的過程中，如果只用1做單位來數數，會導致自然數只有1這一個基本元素，如2=1+1，3=2+1=1+1+1，4=3+1=2+1+1=1+1+1+1……數學就顯得無趣了。于是接下來教師引導學生重新數自然數，并將數與形結合，學生在數數中感悟到1、2、3、5……這些自然數在直線上只有左右兩個方向，是一維的;而4、6、8、9、2520……這些自然數不僅有左右方向，還有上下方向，是二維的，因此也叫矩形數。

在古代，0還未視作自然數，所以解決質數問題時，0沒有納入數論的范疇。盡管后來大家約定0為自然數，而數論依然把0排除在外，我們可引導學生了解： 0是一個點，在數軸上既無左右方向，更沒有上下方向，是0維度，這便成了0不是數論研究對象的緣由。進而啟發學生討論為什么規定1既不是質數，也不是合數。其實在哥德巴赫眼里，1是質數，正如前文所述，因為1和2、3、5等自然數一樣，都是一維的;后來人們用因數的個數來解釋質數、合數，這樣非0自然數先被分成兩類，即只有1個因數的數和不止1個因數的數，當研究的角度只關注不止1個因數的自然數時，1就成了單獨的集合。不止1個因數的自然數又可分成兩類，即只有兩個因數的數（質數）和多于兩個因數的數（合數）。

學習進行到此，學生可以智慧地解決課堂開始的問題了。原來2520是1、2、3到10這十個連續自然數的倍數，而且是它們的最小公倍數，所以古代埃及人自豪地記錄了這一發現。

可見，“是什么”讓數學演變成了靜態的觀念，“為什么”則啟示著數學是動態的、不斷發展著的。在推理中叩問道理，也就是追尋靜態背后的發展趨勢，而這正是形成學生人生觀、世界觀的一種可能路徑。

再如教學蘇教版數學教材四年級下冊“三位數乘法”時，不少教師過度關注乘的程序。展開來說，教師強調從低位算起，用哪個數字去乘，就寫在哪一位的下面，然后重復練習求得技能自動化，而漠視乘的“為什么”。

其實，對于任意兩個自然數，乘法運算法則分為三個部分：（1）兩個一位數相乘，（2）任意一個數與一個一位數相乘，（3）任意兩個數相乘。以145×326為例來理解，乘法法則的第一部分：先用145的每一個數字都乘6，6×5=30，在個位上寫0，在十位上進3;6×4=24，在十位上寫4，加上個位上進的3，十位上最終寫7，在百位上進2;6×1=6，在百位上寫6，加上十位上進的2，百位上最終寫8。將同樣的法則用于145×2和145×3，可以分別得到結果290與435。將145×6、145×2和145×3的積放在一起，也就是把870、290、435按如圖1方式疊放。

基于圖1，實現了乘法法則第三部分：任意兩個數相乘。這樣無須去識記所謂的程序，學生可以根據自己的習慣、數感，創造屬于自己的豎式;只是無論從哪里算起，終將變成兩個一位數的乘法;結果寫在其下方理由是算145×2，實際指向145×20，所以記錄的時候要出現移位。一旦學生掌握了圖1的方法，由此可以得到啟示：乘多位數，既可以從低位算起，也可以從高位算起，甚至無論從哪一位算起都行。原來，計算就是遵從某種規則的游戲，于是不同水平層次的學生都有了算的念頭，并在表達算的過程中，實現了馬立平教授期待的“知識包”，即三位數乘法依賴于數的組成、乘法意義和一位數乘法、兩位數乘法，利用了位值制概念，同時又為未來學習乘法分配律提供思維經驗。

教師僅有程序性的“是什么”，其數學理解是碎片式的。而將知識點以聯系的視角分析，形成“知識包”，就能舉一反三，讓數學學習在遷移中發生，讓數學在“為什么”的根基上不斷擴張。

二、不僅講思考，更講思想

越來越多的教師重視數學思考，讓學生在思考中感受智力挑戰帶來的樂趣。但是，只有數學思考，還不能讓學生感受到數學的美、源自數學的深刻。例如，教學蘇教版數學教材五年級下冊“分數的基本性質”時，教師往往會出示一些變式題促進學生思考，求得對“分子、分母同時乘或除同一個數”的真正理解，比如：（1）[416=2（? ? ）=（? ? ）48，]（2）[416=4+416+（? ? ），]（3）[416=4a（? ? ） （a≠0），]（4）[nm=][3nm+（? ? ）。]同時，教師也會引發學生對“商不變的性質”“小數的性質”進行關聯，求得知識間的融會貫通。

但這些還不夠，教師要往前再走一步，要通過“分數的基本性質”，讓學生領悟等價類思想。等價類數學思想，指的是同一類對象具有某種等價性，也就是用一個相等的準則，把彼此相等的對象歸為一類，同一類對象，本質一樣，只是表征形式不一。以此審視分數：一個分數的值有無限種表達形式，例如[12]和[24，36，48，510]……相等。學生以往學習自然數時，1只能等于1，2只能等于2，未曾發生過1、2可以寫成其他形式。分數的等價，擴充了學生的視野，讓學生習得盡管不同的數、不同的形，有著各自的意義，但是通過比較大小，可以看透不同中的相同。這樣，相等的角是一種等價類，以等價類來學習角，學生領悟角的邊，可以是線段，可以是射線，角相等是指角區域的大小相等，自然與邊的長短無關，于是各個學段學習角都是等價的。換句話說，第一學段認為角有一個頂點和兩條邊，第二學段教材對角的解釋是從一個頂點引出的兩條射線，歐氏幾何定義角是兩條直線的位置關系，以及旋轉定義：角是射線旋轉而形成的圖形。這些定義都是等價的，只是限于學生的年齡特點，用了不同的說明方式。這樣，解相等的方程也是一種等價類，于是不同的數量關系式、不同的未知數，在直角坐標系中都有了相同的圖像。

例如，在教學蘇教版數學教材五年級上冊“小數的意義”時，除了思考小數與分數的關系，掌握一位小數是十分之幾、兩位小數是百分之幾……教師還要懂得小數反映著量化的數學思想。整數、小數都以1為度量單位，往大的方向計數，是10倍的方式累計;往小的方向計數，是10倍的方式均分（分數是任意倍數方式的均分）。量化思想啟示著學生：第一，數本身的擴張具有一致性，不論整數還是小數，其計數原理相同。為什么百分之幾是兩位小數，就是因為第一次以10倍的方式均分，數出的幾份記在個位的右邊第一位;再一次需要以10倍的方式均分，數出的幾份記在十分位的右邊第一位，也就是均分100份，數出的份數用兩個數字來記錄，依次記在個位的右邊。第二，小數代表著先進文明，古人用不斷創造新度量單位的方式表示精確程度，如里、引、丈、尺、寸、分、厘、毫、絲等，但這給學生的記憶帶來了麻煩，小數只需要一種單位，就能表示這一切。顯然，小數是大腦冒險的產物，是邏輯的力量;同時，大腦的冒險，讓度量工具得以革新，如納米技術、芯片技術。第三，量化是解釋世界的一種方式，萬物一旦定下了“1”，便能賦予數;有了數，便可以加減乘除。于是，數學公式、數學運算就讓不容易描述的、難以表達的現象可以講道理，讓只能靠想象而無法言明的道理得以可視化。所以教師不僅要教數學思考，更要教數學思想。

當然，正如張奠宙教授所言：“小學數學要做到淺而不錯、分而不碎不是一件容易的事情。”這需要一線教師對數學學科知識有深刻的理解。對數學有深刻的理解，教師就能將數學所涵蓋的各種成分迅速轉換，就能知曉學生以后會學習到哪些知識，在課堂上予以適當鋪墊，就能用更高的觀點統領數學，平衡數學的邏輯與教學的邏輯。

總之，教師對數學有深刻的理解，才能實現上通數學，下達課堂;才能以數學的本真，涵養現代公民應具備的數學素養。

（作者單位：南京師范大學蘇州實驗學校）

參考文獻

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[2]郜舒竹.小學數學教學基礎[M].北京：中國人民大學出版社，2015.

[3]張奠宙，鞏子坤，等.小學數學教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018.

[4]馬立平.小學數學的掌握和教學[M].上海：華東師范大學出版社，2011.