超彈性N 形桿純彎曲力矩理論建模和試驗驗證

楊 慧，王金瑞，馮 健，劉榮強

（1.安徽大學電氣工程與自動化學院，合肥 230601；2.哈爾濱工業大學機電學院機器人技術與系統國家實驗室，哈爾濱 150080）

由于航天器的運載存儲能有限，對大型空間可 展開結構的使用越來越多[1]，如太陽帆[2]、反射器天線等。超彈性桿因其性能優異而成為可展結構的重要組成部分，它能通過釋放在彎曲纏繞過程中儲存的應變能實現自展開[3?4]。在宇航空間中，超彈性桿能否順利展開關乎空間任務的成敗。目前在研究中的超彈性桿有帶簧、豆莢桿、人形桿等，為了研究超彈性桿的力學性能，國內外學者已經通過解析法、試驗驗證和仿真法等對其進行了多方面研究。Kwok 等[5]在考慮黏彈性的基礎上推導了帶簧彎曲后力矩松弛的解析表達式。Pellegrino 等[6]研究了螺旋纏繞的帶簧的穩定性；Footdale 等[7]以帶簧為臂架設計了一種自展開薄膜機構；Yasuyuki等[8]推導了帶簧繞輪轂時的纏繞力矩和應變能的理論模型，并用實驗驗證了理論的準確性；Leclerc等[9]提出了一種人形桿的制備方法，并對人形桿在卷曲和展開時的應力集中和失效行為進行了研究；Stabile 等[10]采用仿真法對C 形桿的壓扁纏繞進行分析，通過參數分析得到了強度較好的C 形桿參數；葉紅玲等[11]對折疊纏繞時的帶簧進行了幾何參數優化。

白江波等[12?13]采用真空袋成形和復合工藝制備了豆莢桿，并采用有限元分析方法和真空試驗探究了豆莢桿在空間環境中的熱行為；Chu 等[14]提出一種豆莢桿為骨架的可展開機構，并對其動力學行為和尺寸參數的魯棒自適應性進行了研究；Chen等[15]對豆莢桿的拉扁、壓扁過程進行了實驗和仿真分析比較；Li 等[16]基于試驗和仿真分析，對豆莢桿復合材料的纏繞過程進行分析；中國科學院的范文杰等[17]提出了一種新型X 形截面彈性桿，在同樣的收攏高度下，它具有更高的截面慣性矩。Yang等[18]以展開狀態的彎曲剛度和扭轉剛度對N 形桿的幾何參數進行了優化，但對其纏繞過程中的力矩還未從理論上進行分析。本文對其纏繞過程進行理論分析和試驗驗證。N 形桿如圖1 所示，N 形桿是由3 個橫截面具有一定曲率的薄壁殼體粘貼在一起組成的。基于協變量向量法建立了單片帶簧的應變能和彎矩的理論模型，然后建立了扁平段和偏離對稱軸一定距離的帶簧的彎矩模型，最后通過擬合曲率的方法建立了N 形桿彎矩的理論模型。研制了4 根相同的N 形桿樣件，搭建了試驗平臺，分別測試了4 根N 形桿在纏繞時的拉力，求出力矩，通過試驗來驗證N 形桿理論模型的準確性。

圖1 N 形桿截面Fig.1 Cross section of N?shaped boom

1 單片帶簧力矩建模

1.1 幾何關系

帶簧如圖2(a)所示，曲率半徑為R，厚度為t，圓心角為θ。建立慣性笛卡爾坐標（i1，i2，i3），正交坐標系(x，y，z)和對應的標準正交基向量(Hx，Hy，Hz)。x沿 平 行 于i1的 縱 向，y軸 沿 弧 線 方 向，z軸 沿 厚 度方向指向圓心。(Hx，Hy，Hz)與（i1，i2，i3）的關系如下

圖2 初始和纏繞狀態Fig.2 Initial and winding states

殼層中任意一點在初始狀態下的位置向量X表示為

對其x、y、z方向求導，可得協變基向量Gx、Gy、Gz為

帶簧在純彎曲纏繞狀態下的小位移為（u，v，w），在Kirchhoff?Love 假設下，變形狀態下的位置向量x可表示為

式中x0為帶簧中面的位置向量，即

假設u是關于x的函數；v、w是關于y的函數；帶簧的厚度t遠遠小于半徑R和長度L，且殼體表面上的應力是均勻分布的。

對x求導，對應的協變基矢量gx、gy、gz為

式中k=1/a。

對稱彎曲變形時只有x、y、z方向的軸向應變，由前面的假設可以知道應變項中的t/R的二階或者更高階可以忽略不計，則x、y軸的應變εxx和εyy可表示為

1.2 平衡方程

式中：b1=1/2Rθ1；sxx、syy分別表示x、y方向應力；δexx、δeyy、δw、δv、δu為虛應變；Tedge、Nedge、Medge分別表示在y=b時，y方向，z方向每單位長度的外力和x方 向 每 單 位 長 度 的 外 力 矩；Tend、Mend分 別 為x方向外力和y方向外力矩。

圖3 殼體單位受力圖Fig.3 Diagram of shell unit force

純彎曲條件下力和力矩的定義如下

將式（11）和式（12）代入殼體平衡方程式（10），可得

1.3 應變能和力矩

1.4 扁平段彎矩模型

扁平段如圖4 所示，由前述分析可知，扁平段的應變能可表示為

圖4 扁平段Fig.4 Flat segment

式中：πxl為扁平段由凸變平的應變能，πyl為纏繞產生的應變能。

扁平段的初始曲率為0，在纏繞時它只經歷了曲率為k的纏繞過程，即

2 離對稱軸距離為S 的帶簧彎矩建模

2.1 幾何關系和撓度

帶簧如圖5（a）所示，與第1.1 節圖2（a）相同，建立相同的慣性笛卡爾坐標（i1，i2，i3）、正交坐標系(x，y，z)和對應的標準正交基向量(Hx，Hy，Hz)。N形桿橫截面如圖5(b)所示，其外側帶簧離對稱軸的距離為s，在纏繞后其中面的位置向量x表示為

圖5 N 形桿截面和帶簧初始狀態Fig.5 Initial state of tape spring and cross section of N?shaped boom

由于邊界條件相同，建立的平衡方程與式（11）相同，經計算可得撓度w為

2.2 應變能和力矩

由1.3 節分析可知，帶簧的應變能可表示為

經計算，可得應變能和彎矩為

采用協變基向量法對偏離對稱軸距離為0 和S的帶簧的理論推導中，發現兩者的彎矩和應變能的理論模型相同，但在撓度上有差別，相差的大小為S。下面將推導N 形桿的彎矩解析解。

3 N 形桿理論建模

3.1 幾何分析轉化

N 形桿初始狀態如圖6(a)所示。在初始狀態下，左右反對稱分布，對稱中心左右兩部分都是由一端圓心角為θ1、半徑為R的帶簧，一段粘合的線段l，以及一段圓心角為θ2、半徑為R的帶簧組成，每一片的厚度均為t。

N 形桿纏繞后的曲率如圖6(b)所示，中心曲率為k=1/a0，內 邊 曲 率kin=1/(a-3t/2)，外 邊 曲率為kout=1/(a+3t/2)。以N 形桿曲率半徑a0處為分界線，將其分為內外兩組。

圖6 N 形桿纏繞過程和完全纏繞的狀態Fig.6 Winding process and state of complete winding of N?shaped boom

內組為桿1 和桿2 對稱分布，其中心曲率為kA=1/(a0-t/2)，內邊曲率為k1=1/(a0-3t/2)，外邊曲率為k2=1/a0。外組中桿3 和桿4 對稱分布，其中心曲率為kB=1/(a0+t/2)，內邊曲率為k3=1/a0，外邊曲率為k4=1/(a0+3t/2)。

3.2 應變能的計算

式中，πin1和πout2是由一段圓心角為θ1、半徑為R的帶簧（b2=1/2Rθ2，b1=1/2Rθ1）加一段長為l的扁平段的應變能組成，但它倆初始曲率方向不同，即

3.3 彎矩的求解

基于最小勢能原理，可以推導出彎矩為

將式（42）代入式（43），得

3.4 理論曲線

N 形桿材料參數如表1 所示，其外側圓弧角θ1=1.45 rad，內側圓弧角θ2=0.45 rad，直線段長度l=11 mm，厚度t=0.14 mm，初始曲率半徑為R=20 mm。將參數代入式（33），得到力矩?曲率曲線如圖7 所示。在開始時，力矩隨曲率迅速上升到峰值0.242 5 N·m，之后又迅速下降，趨于穩定。

表1 N 形桿材料參數Table 1 Material parameters of N?shaped boom

圖7 N 形桿理論曲線Fig.7 Theoretical curve of N?shaped boom

峰值力矩能夠表征N 形桿在展開狀態下抵抗外力的能力，代表著整個機構的剛度大小，為此，搭建試驗平臺對其進行測量。

4 N 形桿纏繞試驗

為了進行N 形桿纏繞試驗，研制了4 根相同的N 形桿樣件如圖8(a)所示，搭建試驗平臺對纏繞過程中的力矩進行測試，試驗平臺如圖8(b)所示。將N 形桿一端固定于輪轂，利用推拉力計帶動連接在輪轂上的臂桿旋轉，進而帶動N 形桿實現纏繞。推拉力計的型號為（HP?10），量程為10 N，靈敏度為0.001 N，其另一端連接數據采集系統，可輸出測試過程中的拉力。

圖8 N 形桿和彎曲試驗裝置Fig.8 N?shaped booms and experimental device

推拉力計測量的拉力乘以力臂長度，可以得到N 形桿纏繞時的力矩M，即

式中:M和F分別為力矩和拉力，L為力臂長度。

四根N 形桿樣件分別用N1、N2、N3 和N4 表示，對每根N 形桿分別進行了5 次測試，得到試驗的峰值力矩、峰值力如表2 所示。

為了驗證理論模型的準確性，用偏差和偏差標準差來表示理論值和試驗值誤差的大小，即

式中：Mie、Mr分別為試驗值、理論值，i為第i個測試數據，n為測試總數，δˉ為偏差均值。

將表2 中測得的峰值力矩代入式（47）中對應的試驗值Mie，得到N 形桿纏繞過程中，試驗值與理論值的偏差值不大于8.83%，偏差平均值為2.813%，偏差標準差為4.97%，驗證了理論模型的準確性。但其中仍存在誤差，誤差來源主要有以下幾方面：N 形桿與輪轂之間、N 形桿與導向桿之間存在摩擦；推拉力計與力臂之間存在小幅度滑動；在纏繞過程中，推拉力計的方向與力臂的方向不是完全垂直的；試驗件N 形桿的尺寸存在偏差。

表2 4 根N 形桿的峰值力和峰值力矩Table 2 Peak forces and peak torques of four N?shaped booms

5 結 論

為防止N 形桿在纏繞時的失穩，通過理論建模得到了N 形桿在纏繞時的峰值力矩。通過試驗驗證并分析參數，得到了以下結論：

（1）基于協變量向量法建立了單帶簧的應變能理論模型，采用最小勢能原理推導了彎矩的表達式，然后采用相同方法對扁平段和偏離對稱軸一定距離的帶簧建立彎矩模型，最后擬合曲率建立了N形桿彎矩的理論模型。

（2）搭建試驗平臺，研制了4 根N 形桿樣件，分別對每個N 形桿彎曲時的纏繞力矩進行5 次測量，并將其與理論值對比，得到偏差值不大于8.83%、偏差平均值為2.813%、偏差標準差為4.97%。