零泊松比蜂窩結構一維變形行為

艾 森，郭瑜超，聶小華，常 亮

（中國飛機強度研究所計算結構技術與仿真中心，西安 710065）

可變形飛行器通過自適應地改變自身氣動布局，以適應復雜多變的飛行任務和飛行環境，因而成為未來先進飛行器發展的主要研究方向之一[1]。該類飛行器若要實現機翼變后掠、前/后緣變彎度等典型變體功能，機翼蒙皮就必須承受足夠大的氣動載荷和變形量，所以不能簡單地使用常規材料或現有的材料來實現[2?6]。

為協調可變形機翼蒙皮的變形與承載能力，選用質量輕，抗彎剛度、抗壓剛度強的材料或結構成為實現機翼可控變形的有效途徑。在這類材料或結構中，蜂窩結構作為典型代表，日益受到世界范圍內的廣泛關注。蜂窩結構作為可變形柔性蒙皮的支撐體，不僅具有良好的“面內”力學性能，而且可為蒙皮提供足夠的“面外”剛度去承載氣動載荷，并以較小的驅動力提供較低的“面內”軸向剛度和較高的應變能力。

蜂窩結構的力學性能直接取決于其拓撲構型和蜂窩原材料，不同的拓撲構型會直接導致蜂窩結構具有不同的泊松比效應。零泊松比效應可以限制垂直方向的收縮（或脹形），從而阻止水平方向有效剛度的顯著增加[7]。具有零泊松比特性的蜂窩在沿翼展加載時垂直方向不收縮，滿足了變形機翼應用的要求。而正泊松比和負泊松比的蜂窩在承受面外空氣動力載荷時分別表現出馬鞍形曲面和雙曲率效應[8?9]，限制了它們在變形飛機上的應用。

零泊松比蜂窩結構具有質量輕、力學性能好等優點，被應用在變形機翼蒙皮上。Gibson 和Ash?by[10]在考慮蜂窩壁的彎曲變形后，研究了等壁厚蜂窩結構的力學性能，但其理論結果與實驗結果存在較大的誤差。Gong 等[11]提出了一種新的零泊松比蜂窩結構，通過抑制非變形方向上的泊松效應，實現了沿兩個正交方向的變形，避免了變形方向上有效剛度的增加。Huang 等[12]提出了一種將六邊形結構與連接薄板組裝在一起的面內變形零泊松比蜂窩結構的設計方法。Liu 等[13?14]建立了幾種不同的零泊松比胞狀結構彈性常數的理論模型，并采用有限元法進行驗證。Chen[15]從數值和實驗兩方面研究了零泊松比蜂窩結構的抗彎剛度。

綜合現有文獻可見，目前研究主要集中在蜂窩結構的等效彈性模量上，而等效彈性模量的研究都基于線彈性小變形假設。如果要將蜂窩結構應用于變形機翼上時，必須考慮機翼變形過程中非線性對蜂窩結構力學性能的影響。為實現蜂窩結構的工程應用，本文針對一種零泊松比蜂窩結構開展力學特性的分析研究。首先建立了零泊松比蜂窩結構等效拉伸模量的理論模型，然后通過數值方法和試驗方法對理論模型及數值結果進行相互驗證。為考慮蜂窩結構在機翼中的大變形特性，采用數值方法，分別研究了鋁蜂窩和鋼蜂窩結構在非線性條件下的力學特性，獲得的相關結果可為變形機翼蒙皮的選材和結構設計提供重要支撐。

1 線彈性條件下蜂窩力學特性分析

1.1 理論模型

圖1 為一種零泊松比蜂窩結構的幾何模型。圖1 中，蜂窩單元幾何形狀為水平對稱、豎直對稱圖形，幾何形狀由單胞斜壁長度l、單胞斜壁與水平線的夾角θ、垂直壁長度h、斜壁及垂直壁的厚度t及整個蜂窩板的高度b來表示。采用量綱為一的處理方式，定義兩個量綱為一的參數α、β，α、β分別為垂直壁長度、壁厚與斜壁長度之比，這樣可以獲得h=2αl、t=βl。

圖1 零泊松比蜂窩結構的幾何模型Fig.1 Geometric model of the honeycomb structure with zero Poisson’s ratio

關于零泊松比蜂窩構型的等效彈性模量的推導，目前已有較多文獻對其進行了詳細的描述，如文獻[16?17]。本文在此基礎上，利用能量法推導零泊松比蜂窩的等效彈性模量。

為計算沿a方向的面內拉伸模量，以蜂窩結構的單胞為研究對象，其計算模型如圖2（a）所示。在所提出的單胞結構中，顯然無法實現沿b方向的大變形，因此本文只考慮沿a方向的面內拉伸。由于蜂窩單胞在垂直和水平方向都具有對稱性，可將模型簡化為四分之一模型。簡化后，模型左端設置固定邊界，右端設置集中力F和力矩M，如圖2（b）所示。

圖2 零泊松比蜂窩面內拉伸模量的計算模型Fig.2 Calculation model of the in?plane tensile modu?lus of the honeycomb structure with zero Pois?son’s ratio

由于豎直蜂窩壁沿a方向的長度遠小于斜壁的長度，因此可近似認為變形過程中的位移均由斜壁產生，而忽略豎直蜂窩壁的拉伸變形。同樣的假設在文獻[18]的研究中也提及。基于此假設，在后文的推導中將只考慮斜壁的彎曲和拉伸變形。

由于拉伸過程中，蜂窩結構承受垂直方向的力為0，根據平衡方程，可以得出力矩M為

懸臂梁在彎矩M(x)和軸向荷載FN(x)作用下的應變能U可以表示為

式中：I為斜壁截面慣性矩，A為斜壁橫截面面積，E為材料的楊氏模量。

一般假定逆時針方向的彎矩為正。此時，彎矩為

軸向力為

式中Es為蜂窩基體材料的楊氏模量。

根據卡式第二定理[19]，彈性系統在承受靜載荷時，位移δi可以通過應變能U對所施加的力Fi的偏導數來計算。

因此，力的作用點在水平方向產生的位移為

根據均質化理論，蜂窩結構的等效拉伸模量可由等效應力σ1和等效應變ε1推導出

聯立式（7～10），可得沿a方向的量綱為一等效拉伸模量為

1.2 數值分析

為驗證理論結果，利用商用有限元軟件對蜂窩結構進行了數值分析。分析過程中，蜂窩結構選用的材料為鋁合金，彈性模量為76 GPa，泊松比為0.33。為研究幾何參數的變化對蜂窩結構等效拉伸模量的影響，取蜂窩胞元l=10 mm，b=5 mm，θ從0°～45°變化，增量為5 °，變量α分別取2、2.5、3，變量β分別取0.1、0.15、0.2。

采用二維梁單元計算平面內彈性模量。端面A固支約束，端面B沿x方向施加10 kN 的均布載荷，如圖3 所示。

圖3 零泊松比蜂窩結構有限元模型Fig.3 Finite element model of the honeycomb struc?ture with zero Poisson’s ratio

圖4 為不同胞壁厚度下，零泊松比蜂窩結構的量綱為一等效彈性模量E1/Es隨θ變化圖。由圖4獲知，E1/Es隨著斜壁傾斜角的增大而減小，當E1/Es在θ=0°處達到極大值，此時斜壁處在水平方向，發生純拉伸。在其他參數保持不變時，E1/Es隨著參數β的增加而增加。

圖4 不同胞壁厚度蜂窩結構對單胞等效彈性模量的影響Fig.4 Influence of honeycomb structure with different cell wall thickness on unit cell equivalent elastic modulus

圖5 為不同垂直壁長度下，零泊松比蜂窩結構的量綱為一等效彈性模量E1/Es隨θ變化圖。與圖4 相似，E1/Es在θ=0°處達到極值，E1/Es隨著斜壁傾斜角θ的增加而減小。此外，E1/Es隨參數α的增加而減小，這是由于隨著α的增加，蜂窩結構的等效面積也相應地增加，使得其等效應力降低。

比較圖4 和圖5，當參數α從2 變為3 時，E1/Es在一個數量級上波動，而當β從0.1 變為0.2 時，E1/Es則在1～2 個數量級上波動，因此，可認為參數β對E1/Es影響比參數α更大，可為各種參數的平面彈性模量設計提供良好的參考模型。

圖5 不同垂直壁長度蜂窩結構對單胞等效彈性模量的影響Fig.5 Influence of honeycomb structure with different vertical wall length on unit cell equivalent elas?tic modulus

在Rubert 等[20]的分析模型中，蜂窩結構僅發生純彎曲，導致其橫向剛度在θ=0°處接近無窮大，這與實際情況不符。本文在考慮胞壁軸向變形后，零泊松比胞體結構在θ=0°時的面內拉伸模量不再是無窮。另外，從圖4 和圖5 可見，零泊松比蜂窩結構量綱為一后的等效彈性模量理論結果與數值計算結果具有高度的一致性，平均相對誤差在4%左右，其原因主要是在等效彈性模量的計算忽略了垂直壁的變形。

1.3 試驗驗證

以l=10、α=2、β=0.1 和θ=45°的蜂窩結構為研究對象，對蜂窩進行面內拉伸試驗，測量其等效拉伸模量，并與理論結果、數值計算結果進行對比。常規鈑金成型或沖壓成型加工的鋁合金無法一步成型蜂窩結構，需要借助不同的模具，并利用金屬膠將斜壁與垂直壁粘接，此加工過程過于復雜，加工成本大，且無法保證結構精度。因此蜂窩以成本較低的“未來8002”光敏樹脂為原材料（彈性模量為2 800 MPa），經3DSL 光固化激光3D 打印機打印而成，不僅能保證加工精度，同時能降低加工成本，節省加工時間。

原材料及蜂窩板的拉伸性能經10 kN 量程In?stron 5566 萬能試驗機測量3～5 次獲得。拉伸速度為1 mm/s，分別記錄試驗過程中相應的力和位移，用于計算零泊松比蜂窩結構的等效拉伸模量。零泊松比蜂窩板的拉伸參照標準ASTM D638?08。

圖6 為蜂窩結構拉伸試驗結果和應力?應變曲線，同時給出了彈性段理論計算結果。由拉伸試驗結果可見，隨著載荷的不斷增加，蜂窩結構的V 形斜壁逐漸拉直，最后在直壁與斜壁連接處被拉斷。由于直壁與斜壁連接處存在應力集中現象，所以從該處斷裂。由彈性段應力?應變值可得，蜂窩結構的等效彈性模量為2.35 MPa，而理論結果約為1.96 MPa，相差約0.4 MPa。誤差來源可能有兩點：（1）使用3DSL 光固化成型工藝制造的樣品具有分層沉積特點以及額外的內部孔隙，不滿足蜂窩板均勻化和各向同性的假設[21]。（2）在理論模型中，并未考慮垂直胞壁的變形，而拉伸試驗中，考慮了垂直胞壁的變形。

圖6 蜂窩結構拉伸試驗結果和應力-應變曲線Fig.6 Tensile test results and stress?strain curves of hon?eycomb structure

2 非線性條件下蜂窩力學特性分析

基于線性理論獲得的蜂窩結構力學特性一般與試驗結果具有較高的吻合度，但若考慮蜂窩結構的幾何或材料等非線性效應，則又表現出不同的力學特性。文獻[22]建立了蜂窩結構的幾何非線性模型，獲得了變形量與拉伸載荷的影響關系。但該文獻只考慮了幾何非線性效應，對材料非線性效應未做考慮。為此，本文針對上述研究的零泊松比蜂窩結構開展考慮材料非線性效應的力學特性分析。

以l=10、α=2，β=0.1 和θ=45°的蜂窩結構為研究對象，分別以某鋁合金和某鋼為材料（鋁和鋼的真實應力?應變曲線如圖7 所示），將材料的真實屈服應力定義為真實塑性應變的函數，其中鋁合金的楊氏模量為76 000 MPa，泊松比為0.33，初始屈服應力為311 MPa；鋼的楊氏模量為200 000 MPa，泊松比為0.3，初始屈服應力為418 MPa。材料采用理想彈塑性模型，遵循von Mises 準則。

圖7 某型鋁合金和鋼材的真實應力-應變曲線Fig.7 True stress?strain curves of a certain type of alu?minum alloy and steel

為模擬蜂窩結構一維往復拉伸變形過程，有限元模型選用3×6 個蜂窩胞元的全尺寸模型，如圖8所示。經收斂性分析確定數值模擬中單元的最小尺寸為0.5 mm。A表面固支，采用耦合的形式，在B表面上施加位移，隨后卸掉B表面上的位移，其余表面則設置為自由邊界。

圖8 非線性條件下蜂窩結構力學特性計算模型Fig.8 Calculating model of mechanical characteristics of honeycomb structure under nonlinear condi?tions

圖9 為鋁合金基體材料的蜂窩結構（簡稱為鋁蜂窩結構）在產生5%變形時，不同參數蜂窩的殘余應變。如圖9 所示，當θ＜15°時，無論參數α、β如何變化，鋁蜂窩始終保留約4.5%的殘余應變。當θ＞15°時，殘余應變隨著θ的增加逐漸減少，這是由于當蜂窩結構沿著x方向拉伸時，隨著載荷的增大，結構的有效夾角會不斷減小。由圖4 和圖5 可知，蜂窩結構的等效橫向彈性模量隨著夾角的減小而增大。因此，在橫向變形的過程中，蜂窩結構的橫向彈性模量隨著變形的增大而增大，即幾何強化效應。此外，蜂窩壁厚的減少，即參數β的減少，也能夠導致殘余應變的減少（圖9（a）），而參數α對殘余應變沒有影響（圖9（b））。實際上，蜂窩在拉伸過程中，垂直方向上的蜂窩壁的變形可以忽略不計，其主要變形來自蜂窩斜壁的變形。以l=10、α=2、β=0.1 和θ=45°的鋁蜂窩結構為研究對象，分別對蜂窩結構施加1～15 mm 的一維往復變形，得出圖10 所示的應力?應變曲線圖，圖10（b）為圖10（a）中紅線框處的局部放大圖。如圖10 所示，隨著蜂窩變形程度地增加，蜂窩結構殘余應變也相應地增加。如圖10（b）所示，鋁合金蜂窩結構產生2%的變形時，應力應變曲線出現非彈性段。

圖9 鋁蜂窩結構在產生5%變形時，不同參數蜂窩結構的殘余應變Fig.9 Residual strain of the honeycomb structure with different parameters when the aluminum honey?comb structure is deformed by 5%

進一步研究材料非線性對蜂窩結構一維變形行為的影響，選取另一種飛機中常用的材料，鋼材為蜂窩結構的基體材料（簡稱為鋼蜂窩結構），保留蜂窩結構的其他參數，即l=10、α=2、β=0.1 和θ=45°。同樣對鋼蜂窩結構施加1～15 mm 的一維往復變形，得出圖11 所示的應力應變曲線，圖11（b）為圖11（a）中紅線框處的局部放大圖。與鋁蜂窩結構相似，鋼蜂窩結構的殘余應變隨著變形程度的增加而增加。不同的是，鋼蜂窩結構的非彈性變形出現在1%變形左右，如圖11（b）所示。

根據圖10 及圖11，可得出鋁和鋼蜂窩結構施加應變與殘余應變的關系，如圖12 所示。當鋁蜂窩結構變形小于2%，卸載后，蜂窩結構基本上能夠恢復為原形。而鋁蜂窩結構變形大于2%，鋁蜂窩結構由于產生非彈性變形，卸載不能恢復原形，其殘余應變與施加應變可看成線性關系。鋼蜂窩結構變形大于1%就會出現非彈性變形，其殘余應變與施加應變同樣可看成線性關系。

圖10 不同變形條件下，鋁蜂窩結構應力-應變曲線Fig.10 Stress?strain curves of aluminum honeycomb structure under different deformation conditions

圖11 不同變形條件下，鋼蜂窩結構的應力-應變曲線Fig.11 Stress?strain curves of steel honeycomb struc?ture under different deformation conditions

圖12 蜂窩結構應變與殘余應變的關系Fig.12 Relationship between the strain of the honey?comb structure and the residual strain

此外，鋼蜂窩結構的殘余應變要大于鋁蜂窩結構。實際上蜂窩結構應用于一維柔性蒙皮上，須綜合考慮其線性段和非線性段的力學行為。因此，可以通過調節蜂窩結構的幾何參數，實現蜂窩結構的驅動力調節。此外，在選擇基體材料時，在滿足其“面外”剛度以承載氣動載荷的前提下，不僅應該選用楊氏模量小的材料，減少其驅動力，還應該選用彈性段大的材料。

3 結 論

本文在考慮胞壁軸向變形及彎曲變形后，采用能量法推導了零泊松比蜂窩結構等效彈性模量的理論模型，并通過數值分析和試驗進行了驗證。然后分析了幾何參數及材料屬性對蜂窩結構在一維變形中的非線性行為的影響，得出如下結論：

（1）零泊松比蜂窩結構的等效彈性模量隨著斜壁傾斜角θ的增加而減小，隨著參數β的增加而增加，隨參數α的增加而減小。

（2）零泊松比蜂窩結構應用于一維變形時，其殘余應變隨著θ的增加逐漸減少，隨著參數β的減少而減少，而參數α對殘余應變沒有影響。

（3）除了幾何參數的影響外，材料屬性對零泊松比蜂窩結構一維變形的非線性行為的影響也較大，在具體選材時，須做綜合考慮。