論類比推理形式化

那順烏力吉

(內蒙古師范大學 內蒙古 呼和浩特 010022)

正如阿托查·阿利塞達和唐納德吉利斯所言：“類比推理的形式化仍是正在成長的研究領域，關于一個類比究竟意味著什么還沒有一個明確的概念。”[1]因為還未形成一種明確的概念，使得對于類比的形式化呈現了多樣性。這些進路的豐富性體現在，進路領域或者視角的多樣性，也就是從不同領域對類比推理進行形式化或者對類比推理形式化進行探討。

類比推理形式化路徑雖然出現了多種多樣，但并非不可分辨，模糊不清。實際上，目前存在的形式化存在隱喻與非隱喻方式。 隱喻的方式中典型的是斯坦哈特的隱喻邏輯。對隱喻進路因國內黃華新、徐慈華和胡毅敏等學者已經充分討論，在此先不討論。然而，非隱喻方式是并未受到多少關注。實際上，非隱喻方式的形式化也已經開始慢慢興起，而且展現出多種路徑的發展。

1 多種形式化路徑

1.1 類比形式化的可能性——數學中的類比

數學中的類比探討，開始于波利亞上世紀50年代的工作。在其著作《數學與猜想：數學中的歸納和類比》中探討了數學中的類比。他的探討首先辨析類比這一概念的含義。他說明，類比一詞的希臘語詞源Analogia愿意是比例。例如：6：9=10：15。但通過圖形的比較，例如：三角形與棱錐相似(取一條線和一個多邊形，過線所有點與線外一個點連接得到三角形，過多邊形所有的點與多邊形外連接得到棱錐)，四邊形與棱柱相似。這種平面圖形與空間圖形就無法進行比例對應，所以就將比例變成類比。波利亞也強調類比有含糊的地方，對這種含糊我們不應當忽視。

波利亞通過著名的畢達哥拉斯定理說明在數學中一般化、特殊化和類比之間的關系。

圖1.1 畢達哥拉斯定理的特殊化處理圖

如圖1.1 從Ⅰ到Ⅲ是一般化的過程：就是將a2+b2=c2的證明拓展到一般的多邊形。這樣直角三角形斜邊的多邊形面積就等于λa2□，那么我們就能得到λa2=λb2+λc2。從Ⅰ到Ⅱ是從特殊到特殊，也就是一種類比。

波利亞所探討的數學中的類比是廣泛而深入的。他不僅發現在數學中，類比在證明里發揮一定的作用，類比也在許多數學發現中發揮至關重要的作用。他舉了數學史上最著名的例子之一歐拉發現無窮級數的精確值的例子。這一例子中，歐拉用類比作了一個非常大膽的猜想。這一大膽猜想使得他發現了雅克·伯努利與他弟弟約翰·伯努利。是繼牛頓和萊布尼茨之后微積分最重要的兩位奠基者[2]。他發現了好幾個無窮級數之和，試圖解決卻未曾解決的所有自然數倒數之和。

拉普拉斯曾說過：“甚至在數學里發現的主要工具也是歸納和類比”[3]。波利亞想要展示的數學中的類比是多面的，豐富的。如上面所給出的那樣，他不僅指出平面幾何和無窮級數的一些重要發現中類比發揮重要作用，而且也指出，立體幾何中也存在類比的這樣作用。在立體幾何中面、棱E、頂點V之間數目關系就是通過類比進行研究發現的。

這是波利亞所顯示的數學中的類比。關于數學中的類比早在歐拉時期就有所論述，拉普拉斯也有些論斷，但波利亞是較早系統地闡釋類比在數學中的角色和作用的。顯然我們不能夠直接說明，這就是類比形式化的最早嘗試。實際上這樣的展示與形式化離得很遠。但我們可以肯定地說這是類比形式化的第一步，也就是說波利亞的這一步已經說明了類比能夠通過嚴格的方式表達的可能性。這一嚴格的表達的可能性在形式化的語境中恰恰為形式化道路開辟了一條可能的道路。

1.2 認知科學類比形式化

類比推理在認知科學中的研究如火如荼。與此相應，認知科學的類比形式化也逐漸開始有所討論。在認知科學中類比形式化的最顯著的工作來自于羅素(Russell Greiner)。 上世紀80年代他在類比形式化方面做了一些工作，這些工作從他的博士論文開始，也散見于他的一些專著和論文中，例如，“Learning by Understanding Analogies”(Stanford University, Technical Report ST AN-CS-l 071.)與他的擴充專著。他的類比形式化是一種稱之為基于抽象化的類比推演(Abstraction-Based Analogical Inference)。基于抽象化的類比推演是為討論由理解類比來學習的任務而展開。在類比形式化中論述了如何使用已經深入理解的源域中的信息對目標域提出新的假設的過程。[4]羅素指出，日常交流經常使用類比，說話者不會按照理想的如此清楚地說出自己的話，而常常使用大量的類比來表達，此時聽者就會進行解碼過程(Decoding Process)，這一解碼過程，稱之為類比推演(Analogical Inference)。在此過程中使用類比線索(Analogical Hint)：□A像B，從而斷定B存在的事實，A也存在。

圖1.2 Th+ 導圖

羅素指出一種處理類比推理學習問題的系統NLAG，該系統是通過類比線索提出新的猜想的一種程序。上面例子就是通過該程序進行解決的。羅素說明該程序有兩個特征：第一，該程序對任務采取基于模型的進路，該進路普遍采取一般化(Generalisation)的方法，該方法在不同的文獻中也被稱作抽象化(Abstraction)；第二，NLAG并不尋找兩個類比項，而是通過類比線索“A像B”進行處理。羅素認為NLAG實際上在做隱喻推理(Metaphorical Reasoning)，而不是類比推理(Analogical Reasoning)。[4]

給出這種規定后羅素給出類比推演形式定義。該形式定義通過三個步驟來完成：首先，一般地定義學習；其次，將這一學習過程限制在類比中；最后，對于有用進行說明。羅素使用“|～”來表示有用的類比推演過程。這一算子在一個完整的有用類比推演過程中牽涉三個輸入：理論Th、類比線索“A～B”和目標問題。輸出是一個新的命題。形式定義如下：

一個理論只能解決自己理論范圍內包含的合式公式，也就是一個合式公式對于一個理論而言是演繹封閉的。因此，對于理論Th'←Th也就是Th'=ThU{φ(A)}的條件Th是對于φ(A)是演繹封閉，而這一點就是未知的這一概念的形式表達。因為對Th加上新公式φ(A)而擴充的，因此一致的要求就是不能夠語義推演┐φ(A)，否則將是不一致的，也就是矛盾的。因為Th語義推演φ(B)，而且A與B像，因此ThUφ(A) ，也就是擴充后得到的Th'語義推演目標問題，φ(A)是類比。羅素指出“有用的”這一條件是后驗的條件。羅素也指出上述定義只允許一元公式，也就是說，從單個源域類比項到單個目標域類比項的一種類比。基于類比推理中大量非一元類比推理的事實，羅素將上述公式從一元擴展到多元的集合，例如上述B變成集合{bi,B}，目標域中A變成集合{ai,A}，從而理論Th(b1,…,B,…,bn)到Th(a1,…,A,…,an。

在這一形式定義框架中羅素也討論了上面所講的例子，那一例子的形式框架是：

這一形式處理遇到一種困難，其困難就是如何確定一個類比是最好的，最合理的。對于這一點上述定義不能提供任何線索，因此羅素就訴諸于洞見。此外，他將洞見區分為最好的洞見Imost、最差的洞見Ileast以及一致的洞見Icoherent。羅素對兩個極端的情況并無理會，認為合理的有用的類比推演應當是Icoherent。但他承認從后驗角度對其進行判定是較為容易的，然而從先驗的角度對進行判定是一個很大的難題，因為對n個命題存在2n子集的可能性。

羅素給出了這一類比形式化之后，介紹了這一類比形式化的實驗驗證的程度。這與很多對于類比形式化的邏輯進路不同，也是認知科學對類比推理進行形式化的一個重要特征之一。

2 溯因推理的類比形式化

加貝和伍茲的研究表明類比推理形式化能夠以溯因推理的方式實現。他們所嘗試的類比推理形式化是在溯因推理架構的基礎上進行的。因此我們首先需要說明溯因推理架構，然后再說明類比推理形式化。

2.1 溯因推理架構

溯因推理與類比推理的聯系使他們從溯因推理的視角對于類比進行形式化研究。這種類比形式化是基于溯因推理的概念架構中進行的。因此我們要考察這種類比形式化，首先需要討論溯因推理的概念架構。上面所使用的溯因一般意義上是包含三個認知過程的種類：假說產生的過程、從眾多競爭假說中選擇某個假說的過程、鎖定假說的過程。這三個過程的邏輯分別是：假說產生(Hypothesis-generation)的邏輯、假說約定(Hypothesis-engagement)的邏輯、假說流出(Hypothesis-discharge)的邏輯。從第一階段到第三階段，假說已經從產生，經過被選擇，最后達到斷定，這是一種過濾器模型。

2.2 類比推理形式化

在給出溯因推理架構和過濾結構后，類比推理形式化還需要兩部分內容：其中一個顯然是類比形式化本身，關于這一點加貝和伍茲通過元進路(Meta approach)進行的；另一個是還有兩點說明的準備工作。

類比推理形式化——元進路

早在20世紀70年代達登(Lindly Darden)的一篇論文中所提出的架構內將溯因推理者標注成為進行類比者。這里關鍵是達登所提出的假說產生和約定問題的架構。我們依據加貝和伍茲所給出的達登架構梗概來考察一下他的架構。達登的架構受漢森的架構影響的。下面我們按照時間順序，先后考察這兩個架構的梗概，見圖2.1所示。

漢森的架構中并非明確地談到類比，也并沒有將溯因推理者標記成進行類比推理者，而是標記成類型推理者。加貝和伍茲的元進路與這兩種架構都密切相關[5]。因此我們也需要介紹漢森架構的梗概。

漢森的架構：

1)觀察到或相遇一些令人驚奇的現象p1, p2, p3…。

2)但找到假說H類型后，這些現象p1, p2, p3…將不再是令人驚奇的。這些現象是與假說H類似假說所能推出的現象，并且從這些類型得到解釋。

3)因此我們就有足夠的理由將對假說H的類型進行詳細說明，這假說類型的假設可能解釋現象p1, p2, p3…。

圖2.1 達登架構

約翰和伍茲的元進路將這兩個架構綜合，在此基礎上提出一種稱之為類比論證的元論證理論(Mata Argument Theory of Analogical Argument：MATAA)。相比而言，湯姆森將那兩件案例進行類比推理的基礎歸于未命名的“類比基本法則”：推理價值平等相似的事件得到相似地處理。這一法則如同休謨的那個著名論斷，按照當代的計算的科學哲學語境中是相當模糊。我們看出加貝和伍茲的這個一般化的處理比較精確。此外，他們指出這一“一般化”是湯姆森給出的兩個案例更深一層的共性，由此他們認為類比論證實質上是元論證。

加貝和伍茲通過這一例子給出了他們的元論證(Meta Argument)：

論證A具有深層結構，這結構中前提A支撐關系R投射到論證結論中；論證B與論證A共享相同的深層結構；因此，B也具有那種深層結構：論證B的前提也相似地將關系R投射到論證結論中；因此B是A的類比，A和B在好論證或壞論證方面是推理價值平等。

按照元論證中的這些規定，就上面給出的例子而言，就會有如下的對應：加貝和伍茲指出，上面例子中論證A是小提琴手論證，B論證是懷孕論證，而深層結構是上述一般化，R關系是強后承關系。有幾個關鍵點值得提出的是類比中有兩個關鍵步驟：第一，一般化已經得到評估的論證；第二，將一般化的論證具體化到不同的論證上。更為關鍵的是具體化過程中，具體化的屬性是一般化過程中也保存。加貝和伍茲指出，后一步驟在達登架構中是個別化。

加貝和伍茲這樣給出了類比推理的形式化之后，為這一模型，也就是MATAA進行了辯護。他們認為MATAA有兩個優點：一，MATAA將類比推理還原為任務——屬性的一般化和深層結構中有共性的具體化，使得類比推理過程變得簡單，清晰；二，它使得達登和漢森的架構洞見更加清晰，而且通過內容來充實這兩個架構。

結語

從上文看出，類比推理形式化還遠未完成。毋寧說，如今類比推理形式化都處在一種嘗試階段。看到這種嘗試分為隱喻進路和非隱喻進路。非隱喻進路的嘗試，使得我們看到類比推理從非隱喻角度形式化的可能性。這種可能性或許不能足夠大到如許多現代邏輯系統那樣處于完成狀態。而且，類比推理形式化始終無法與經驗相關的心理內容扯斷聯系。這是因為類比推理的經驗依賴性和主體依賴性特征所致。因此，一種合理的類比推理形式化應當盡可能的刻畫類比推理這些性質。這一點只能通過對形式化提出新的要求：即，弱化經典邏輯以及現代邏輯的形式化概念才能完成。這種弱化表現為從經典邏輯以及一些成熟的現代邏輯的語形形式化基礎上語義形式化相對應的方式轉變為直接從語義形式化入手或者涉及到語用方面等方式。因此，似乎很難找出經典邏輯的那種形式化。