論類比推理形式化

那順烏力吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

正如阿托查·阿利塞達(dá)和唐納德吉利斯所言：“類比推理的形式化仍是正在成長(zhǎng)的研究領(lǐng)域，關(guān)于一個(gè)類比究竟意味著什么還沒(méi)有一個(gè)明確的概念。”[1]因?yàn)檫€未形成一種明確的概念，使得對(duì)于類比的形式化呈現(xiàn)了多樣性。這些進(jìn)路的豐富性體現(xiàn)在，進(jìn)路領(lǐng)域或者視角的多樣性，也就是從不同領(lǐng)域?qū)︻惐韧评磉M(jìn)行形式化或者對(duì)類比推理形式化進(jìn)行探討。

類比推理形式化路徑雖然出現(xiàn)了多種多樣，但并非不可分辨，模糊不清。實(shí)際上，目前存在的形式化存在隱喻與非隱喻方式。 隱喻的方式中典型的是斯坦哈特的隱喻邏輯。對(duì)隱喻進(jìn)路因國(guó)內(nèi)黃華新、徐慈華和胡毅敏等學(xué)者已經(jīng)充分討論，在此先不討論。然而，非隱喻方式是并未受到多少關(guān)注。實(shí)際上，非隱喻方式的形式化也已經(jīng)開(kāi)始慢慢興起，而且展現(xiàn)出多種路徑的發(fā)展。

1 多種形式化路徑

1.1 類比形式化的可能性——數(shù)學(xué)中的類比

數(shù)學(xué)中的類比探討，開(kāi)始于波利亞上世紀(jì)50年代的工作。在其著作《數(shù)學(xué)與猜想：數(shù)學(xué)中的歸納和類比》中探討了數(shù)學(xué)中的類比。他的探討首先辨析類比這一概念的含義。他說(shuō)明，類比一詞的希臘語(yǔ)詞源Analogia愿意是比例。例如：6：9=10：15。但通過(guò)圖形的比較，例如：三角形與棱錐相似(取一條線和一個(gè)多邊形，過(guò)線所有點(diǎn)與線外一個(gè)點(diǎn)連接得到三角形，過(guò)多邊形所有的點(diǎn)與多邊形外連接得到棱錐)，四邊形與棱柱相似。這種平面圖形與空間圖形就無(wú)法進(jìn)行比例對(duì)應(yīng)，所以就將比例變成類比。波利亞也強(qiáng)調(diào)類比有含糊的地方，對(duì)這種含糊我們不應(yīng)當(dāng)忽視。

波利亞通過(guò)著名的畢達(dá)哥拉斯定理說(shuō)明在數(shù)學(xué)中一般化、特殊化和類比之間的關(guān)系。

圖1.1 畢達(dá)哥拉斯定理的特殊化處理圖

如圖1.1 從Ⅰ到Ⅲ是一般化的過(guò)程：就是將a2+b2=c2的證明拓展到一般的多邊形。這樣直角三角形斜邊的多邊形面積就等于λa2□，那么我們就能得到λa2=λb2+λc2。從Ⅰ到Ⅱ是從特殊到特殊，也就是一種類比。

波利亞所探討的數(shù)學(xué)中的類比是廣泛而深入的。他不僅發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中，類比在證明里發(fā)揮一定的作用，類比也在許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中發(fā)揮至關(guān)重要的作用。他舉了數(shù)學(xué)史上最著名的例子之一歐拉發(fā)現(xiàn)無(wú)窮級(jí)數(shù)的精確值的例子。這一例子中，歐拉用類比作了一個(gè)非常大膽的猜想。這一大膽猜想使得他發(fā)現(xiàn)了雅克·伯努利與他弟弟約翰·伯努利。是繼牛頓和萊布尼茨之后微積分最重要的兩位奠基者[2]。他發(fā)現(xiàn)了好幾個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)之和，試圖解決卻未曾解決的所有自然數(shù)倒數(shù)之和。

拉普拉斯曾說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)的主要工具也是歸納和類比”[3]。波利亞想要展示的數(shù)學(xué)中的類比是多面的，豐富的。如上面所給出的那樣，他不僅指出平面幾何和無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些重要發(fā)現(xiàn)中類比發(fā)揮重要作用，而且也指出，立體幾何中也存在類比的這樣作用。在立體幾何中面、棱E、頂點(diǎn)V之間數(shù)目關(guān)系就是通過(guò)類比進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)的。

這是波利亞所顯示的數(shù)學(xué)中的類比。關(guān)于數(shù)學(xué)中的類比早在歐拉時(shí)期就有所論述，拉普拉斯也有些論斷，但波利亞是較早系統(tǒng)地闡釋類比在數(shù)學(xué)中的角色和作用的。顯然我們不能夠直接說(shuō)明，這就是類比形式化的最早嘗試。實(shí)際上這樣的展示與形式化離得很遠(yuǎn)。但我們可以肯定地說(shuō)這是類比形式化的第一步，也就是說(shuō)波利亞的這一步已經(jīng)說(shuō)明了類比能夠通過(guò)嚴(yán)格的方式表達(dá)的可能性。這一嚴(yán)格的表達(dá)的可能性在形式化的語(yǔ)境中恰恰為形式化道路開(kāi)辟了一條可能的道路。

1.2 認(rèn)知科學(xué)類比形式化

類比推理在認(rèn)知科學(xué)中的研究如火如荼。與此相應(yīng)，認(rèn)知科學(xué)的類比形式化也逐漸開(kāi)始有所討論。在認(rèn)知科學(xué)中類比形式化的最顯著的工作來(lái)自于羅素(Russell Greiner)。 上世紀(jì)80年代他在類比形式化方面做了一些工作，這些工作從他的博士論文開(kāi)始，也散見(jiàn)于他的一些專著和論文中，例如，“Learning by Understanding Analogies”(Stanford University, Technical Report ST AN-CS-l 071.)與他的擴(kuò)充專著。他的類比形式化是一種稱之為基于抽象化的類比推演(Abstraction-Based Analogical Inference)。基于抽象化的類比推演是為討論由理解類比來(lái)學(xué)習(xí)的任務(wù)而展開(kāi)。在類比形式化中論述了如何使用已經(jīng)深入理解的源域中的信息對(duì)目標(biāo)域提出新的假設(shè)的過(guò)程。[4]羅素指出，日常交流經(jīng)常使用類比，說(shuō)話者不會(huì)按照理想的如此清楚地說(shuō)出自己的話，而常常使用大量的類比來(lái)表達(dá)，此時(shí)聽(tīng)者就會(huì)進(jìn)行解碼過(guò)程(Decoding Process)，這一解碼過(guò)程，稱之為類比推演(Analogical Inference)。在此過(guò)程中使用類比線索(Analogical Hint)：□A像B，從而斷定B存在的事實(shí)，A也存在。

圖1.2 Th+ 導(dǎo)圖

羅素指出一種處理類比推理學(xué)習(xí)問(wèn)題的系統(tǒng)NLAG，該系統(tǒng)是通過(guò)類比線索提出新的猜想的一種程序。上面例子就是通過(guò)該程序進(jìn)行解決的。羅素說(shuō)明該程序有兩個(gè)特征：第一，該程序?qū)θ蝿?wù)采取基于模型的進(jìn)路，該進(jìn)路普遍采取一般化(Generalisation)的方法，該方法在不同的文獻(xiàn)中也被稱作抽象化(Abstraction)；第二，NLAG并不尋找兩個(gè)類比項(xiàng)，而是通過(guò)類比線索“A像B”進(jìn)行處理。羅素認(rèn)為NLAG實(shí)際上在做隱喻推理(Metaphorical Reasoning)，而不是類比推理(Analogical Reasoning)。[4]

給出這種規(guī)定后羅素給出類比推演形式定義。該形式定義通過(guò)三個(gè)步驟來(lái)完成：首先，一般地定義學(xué)習(xí)；其次，將這一學(xué)習(xí)過(guò)程限制在類比中；最后，對(duì)于有用進(jìn)行說(shuō)明。羅素使用“|～”來(lái)表示有用的類比推演過(guò)程。這一算子在一個(gè)完整的有用類比推演過(guò)程中牽涉三個(gè)輸入：理論Th、類比線索“A～B”和目標(biāo)問(wèn)題。輸出是一個(gè)新的命題。形式定義如下：

一個(gè)理論只能解決自己理論范圍內(nèi)包含的合式公式，也就是一個(gè)合式公式對(duì)于一個(gè)理論而言是演繹封閉的。因此，對(duì)于理論Th'←Th也就是Th'=ThU{φ(A)}的條件Th是對(duì)于φ(A)是演繹封閉，而這一點(diǎn)就是未知的這一概念的形式表達(dá)。因?yàn)閷?duì)Th加上新公式φ(A)而擴(kuò)充的，因此一致的要求就是不能夠語(yǔ)義推演┐φ(A)，否則將是不一致的，也就是矛盾的。因?yàn)門h語(yǔ)義推演φ(B)，而且A與B像，因此ThUφ(A) ，也就是擴(kuò)充后得到的Th'語(yǔ)義推演目標(biāo)問(wèn)題，φ(A)是類比。羅素指出“有用的”這一條件是后驗(yàn)的條件。羅素也指出上述定義只允許一元公式，也就是說(shuō)，從單個(gè)源域類比項(xiàng)到單個(gè)目標(biāo)域類比項(xiàng)的一種類比。基于類比推理中大量非一元類比推理的事實(shí)，羅素將上述公式從一元擴(kuò)展到多元的集合，例如上述B變成集合{bi,B}，目標(biāo)域中A變成集合{ai,A}，從而理論Th(b1,…,B,…,bn)到Th(a1,…,A,…,an。

在這一形式定義框架中羅素也討論了上面所講的例子，那一例子的形式框架是：

這一形式處理遇到一種困難，其困難就是如何確定一個(gè)類比是最好的，最合理的。對(duì)于這一點(diǎn)上述定義不能提供任何線索，因此羅素就訴諸于洞見(jiàn)。此外，他將洞見(jiàn)區(qū)分為最好的洞見(jiàn)Imost、最差的洞見(jiàn)Ileast以及一致的洞見(jiàn)Icoherent。羅素對(duì)兩個(gè)極端的情況并無(wú)理會(huì)，認(rèn)為合理的有用的類比推演應(yīng)當(dāng)是Icoherent。但他承認(rèn)從后驗(yàn)角度對(duì)其進(jìn)行判定是較為容易的，然而從先驗(yàn)的角度對(duì)進(jìn)行判定是一個(gè)很大的難題，因?yàn)閷?duì)n個(gè)命題存在2n子集的可能性。

羅素給出了這一類比形式化之后，介紹了這一類比形式化的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的程度。這與很多對(duì)于類比形式化的邏輯進(jìn)路不同，也是認(rèn)知科學(xué)對(duì)類比推理進(jìn)行形式化的一個(gè)重要特征之一。

2 溯因推理的類比形式化

加貝和伍茲的研究表明類比推理形式化能夠以溯因推理的方式實(shí)現(xiàn)。他們所嘗試的類比推理形式化是在溯因推理架構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。因此我們首先需要說(shuō)明溯因推理架構(gòu)，然后再說(shuō)明類比推理形式化。

2.1 溯因推理架構(gòu)

溯因推理與類比推理的聯(lián)系使他們從溯因推理的視角對(duì)于類比進(jìn)行形式化研究。這種類比形式化是基于溯因推理的概念架構(gòu)中進(jìn)行的。因此我們要考察這種類比形式化，首先需要討論溯因推理的概念架構(gòu)。上面所使用的溯因一般意義上是包含三個(gè)認(rèn)知過(guò)程的種類：假說(shuō)產(chǎn)生的過(guò)程、從眾多競(jìng)爭(zhēng)假說(shuō)中選擇某個(gè)假說(shuō)的過(guò)程、鎖定假說(shuō)的過(guò)程。這三個(gè)過(guò)程的邏輯分別是：假說(shuō)產(chǎn)生(Hypothesis-generation)的邏輯、假說(shuō)約定(Hypothesis-engagement)的邏輯、假說(shuō)流出(Hypothesis-discharge)的邏輯。從第一階段到第三階段，假說(shuō)已經(jīng)從產(chǎn)生，經(jīng)過(guò)被選擇，最后達(dá)到斷定，這是一種過(guò)濾器模型。

2.2 類比推理形式化

在給出溯因推理架構(gòu)和過(guò)濾結(jié)構(gòu)后，類比推理形式化還需要兩部分內(nèi)容：其中一個(gè)顯然是類比形式化本身，關(guān)于這一點(diǎn)加貝和伍茲通過(guò)元進(jìn)路(Meta approach)進(jìn)行的；另一個(gè)是還有兩點(diǎn)說(shuō)明的準(zhǔn)備工作。

類比推理形式化——元進(jìn)路

早在20世紀(jì)70年代達(dá)登(Lindly Darden)的一篇論文中所提出的架構(gòu)內(nèi)將溯因推理者標(biāo)注成為進(jìn)行類比者。這里關(guān)鍵是達(dá)登所提出的假說(shuō)產(chǎn)生和約定問(wèn)題的架構(gòu)。我們依據(jù)加貝和伍茲所給出的達(dá)登架構(gòu)梗概來(lái)考察一下他的架構(gòu)。達(dá)登的架構(gòu)受漢森的架構(gòu)影響的。下面我們按照時(shí)間順序，先后考察這兩個(gè)架構(gòu)的梗概，見(jiàn)圖2.1所示。

漢森的架構(gòu)中并非明確地談到類比，也并沒(méi)有將溯因推理者標(biāo)記成進(jìn)行類比推理者，而是標(biāo)記成類型推理者。加貝和伍茲的元進(jìn)路與這兩種架構(gòu)都密切相關(guān)[5]。因此我們也需要介紹漢森架構(gòu)的梗概。

漢森的架構(gòu)：

1)觀察到或相遇一些令人驚奇的現(xiàn)象p1, p2, p3…。

2)但找到假說(shuō)H類型后，這些現(xiàn)象p1, p2, p3…將不再是令人驚奇的。這些現(xiàn)象是與假說(shuō)H類似假說(shuō)所能推出的現(xiàn)象，并且從這些類型得到解釋。

3)因此我們就有足夠的理由將對(duì)假說(shuō)H的類型進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，這假說(shuō)類型的假設(shè)可能解釋現(xiàn)象p1, p2, p3…。

圖2.1 達(dá)登架構(gòu)

約翰和伍茲的元進(jìn)路將這兩個(gè)架構(gòu)綜合，在此基礎(chǔ)上提出一種稱之為類比論證的元論證理論(Mata Argument Theory of Analogical Argument：MATAA)。相比而言，湯姆森將那兩件案例進(jìn)行類比推理的基礎(chǔ)歸于未命名的“類比基本法則”：推理價(jià)值平等相似的事件得到相似地處理。這一法則如同休謨的那個(gè)著名論斷，按照當(dāng)代的計(jì)算的科學(xué)哲學(xué)語(yǔ)境中是相當(dāng)模糊。我們看出加貝和伍茲的這個(gè)一般化的處理比較精確。此外，他們指出這一“一般化”是湯姆森給出的兩個(gè)案例更深一層的共性，由此他們認(rèn)為類比論證實(shí)質(zhì)上是元論證。

加貝和伍茲通過(guò)這一例子給出了他們的元論證(Meta Argument)：

論證A具有深層結(jié)構(gòu)，這結(jié)構(gòu)中前提A支撐關(guān)系R投射到論證結(jié)論中；論證B與論證A共享相同的深層結(jié)構(gòu)；因此，B也具有那種深層結(jié)構(gòu)：論證B的前提也相似地將關(guān)系R投射到論證結(jié)論中；因此B是A的類比，A和B在好論證或壞論證方面是推理價(jià)值平等。

按照元論證中的這些規(guī)定，就上面給出的例子而言，就會(huì)有如下的對(duì)應(yīng)：加貝和伍茲指出，上面例子中論證A是小提琴手論證，B論證是懷孕論證，而深層結(jié)構(gòu)是上述一般化，R關(guān)系是強(qiáng)后承關(guān)系。有幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)值得提出的是類比中有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：第一，一般化已經(jīng)得到評(píng)估的論證；第二，將一般化的論證具體化到不同的論證上。更為關(guān)鍵的是具體化過(guò)程中，具體化的屬性是一般化過(guò)程中也保存。加貝和伍茲指出，后一步驟在達(dá)登架構(gòu)中是個(gè)別化。

加貝和伍茲這樣給出了類比推理的形式化之后，為這一模型，也就是MATAA進(jìn)行了辯護(hù)。他們認(rèn)為MATAA有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一，MATAA將類比推理還原為任務(wù)——屬性的一般化和深層結(jié)構(gòu)中有共性的具體化，使得類比推理過(guò)程變得簡(jiǎn)單，清晰；二，它使得達(dá)登和漢森的架構(gòu)洞見(jiàn)更加清晰，而且通過(guò)內(nèi)容來(lái)充實(shí)這兩個(gè)架構(gòu)。

結(jié)語(yǔ)

從上文看出，類比推理形式化還遠(yuǎn)未完成。毋寧說(shuō)，如今類比推理形式化都處在一種嘗試階段。看到這種嘗試分為隱喻進(jìn)路和非隱喻進(jìn)路。非隱喻進(jìn)路的嘗試，使得我們看到類比推理從非隱喻角度形式化的可能性。這種可能性或許不能足夠大到如許多現(xiàn)代邏輯系統(tǒng)那樣處于完成狀態(tài)。而且，類比推理形式化始終無(wú)法與經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的心理內(nèi)容扯斷聯(lián)系。這是因?yàn)轭惐韧评淼慕?jīng)驗(yàn)依賴性和主體依賴性特征所致。因此，一種合理的類比推理形式化應(yīng)當(dāng)盡可能的刻畫(huà)類比推理這些性質(zhì)。這一點(diǎn)只能通過(guò)對(duì)形式化提出新的要求：即，弱化經(jīng)典邏輯以及現(xiàn)代邏輯的形式化概念才能完成。這種弱化表現(xiàn)為從經(jīng)典邏輯以及一些成熟的現(xiàn)代邏輯的語(yǔ)形形式化基礎(chǔ)上語(yǔ)義形式化相對(duì)應(yīng)的方式轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訌恼Z(yǔ)義形式化入手或者涉及到語(yǔ)用方面等方式。因此，似乎很難找出經(jīng)典邏輯的那種形式化。