用連分數定義莫爾條紋“準周期”

葉政君，祝怡然，黃澤江，夏成杰

(華東師范大學 物理與電子科學學院，上海 200241)

莫爾條紋是兩組周期相近的條紋疊加形成的“周期”結構[1]．如圖1(a)所示，兩組黑白條紋平行、重疊放置，可觀察到具有更長周期的莫爾條紋．這一放大周期的特性使莫爾條紋現象具有廣泛的應用，如對角度、位移、材料應變的精密測量，放大晶格缺陷實現納米探傷，紙幣防偽等[2-5]．同時，近年在凝聚態物理領域發現了與莫爾條紋現象直接相關的石墨烯“魔角”特性——通過材料的層間晶格差異或者轉角形成莫爾超晶格結構，引入額外的大周期勢場，產生新型能帶調制，在某些情況下與高溫超導現象類似[6, 7]．

莫爾條紋周期長度的計算是理解并應用這一現象的基礎．在大多數相關文獻中，常用遮光原理求解莫爾條紋的周期[8]．我們指出，這一方法雖然在大多數情況下都能給出正確的結論，但會與某些特殊條件下的觀察結果不符：例如，當兩組條紋的各自的周期長度之比，接近一對相差2的互質正整數之比的情況，如5/7等；并且，其推導過程先驗地暗含了“莫爾條紋的周期性是嚴格的”這一假設，而實際上更應該被視為一項近似，在邏輯和數學上需要更為嚴謹的討論．針對這些問題，本文通過對兩組條紋的周期之比進行連分數展開，嚴格推導了它們所形成的莫爾條紋的周期的表達式，為莫爾條紋的周期性給出了嚴謹的數學定義和新的理解．據我們所知，這是第一次建立起莫爾條紋現象與連分數這一基礎數學形式之間的聯系．

1 莫爾條紋周期計算方法的謬誤

圖1中的莫爾條紋由周期分別為TA和TB的兩組平行條紋A、B疊加而成，不失一般性，設TA>TB，且它們的第0根線條重合．由于兩組條紋周期不同，重合線條右側的線條逐漸錯開，遮光(黑色)區域的面積逐漸增加；繼續向右，條紋A的第n根線條距離條紋B的第n+1根線條的間距，開始比兩組條紋各自第n根線條的間距更近，即遮光面積又逐漸減少；直至條紋A的第nA根線條與條紋B的第nB=nA+1根線條幾乎重合．這就形成了一套“亮-暗-亮”交錯的圖案，其中兩組條紋的線條幾乎重合之處為莫爾條紋中的亮紋，兩組條紋的線條最不重合之處為暗紋．通常，人們基于上述遮光原理推導莫爾條紋的周期長度

TM=nATA=nBTB

(1)

其中

nB=nA+1

(2)

這表示兩組條紋各自經過nA和nA+1個周期后再次重合．聯立式(1)、(2)可解得

(3)

對于絕大多數的周期TA、TB組合，式(3)都可給出正確的結果，但也存在例外．例如，我們在圖1(c)中展示利用Adobe Illustrator(Ai)軟件繪制的兩組周期之比為TB/TA=0.714的重疊平行條紋，直接觀察圖1(c)可知，這組莫爾條紋的周期約為TM=5TA，而根據式(3)計算所得的周期是TM=2.4965TA；約為計算結果的1/2．可見，對于某些TA和TB的組合，基于式(3)計算所得的莫爾條紋周期與實際觀察結果不符．

這一錯誤本質上是由于上述推導過程中存在一系列不嚴謹的近似和假設，一些明顯的數學漏洞被忽視了．首先，從數學角度而言，當且僅當α=TB/TA為有理數時，式(1)存在整數解nA=A，nB=B，其中正整數A、B是表示成既約分數(即最簡分數)的α=A/B的分子和分母．所以，對于任意兩個周期TA，TB，關于nA，nB的方程式(1)不一定存在正整數解；甚至，由于有理數在實數軸上測度為0，嚴格來說，兩組條紋周期之比α為有理數的概率為0．更進一步，即便在某些式(1)存在整數解的特殊情況下，直接由式(1)計算出的莫爾條紋周期也可能不正確．譬如，當TB/TA=0.901=901/1000時，式(1)的正整數解所對應的莫爾條紋周期為901TA=1000TB，顯然不符合觀察結果(圖1(b))．所以，式(1)只能是近似成立．但是，這一近似的程度，以及做此近似的合理性均未得到充分說明．第二，式(2)也隱含著人為的假設：兩組條紋剛好“錯開”一條時，對應于莫爾條紋的一個周期．這一假設一方面限制了能使式(1)成立的α必須具有A/(A+1)的形式，同時其本身的合理性與必要性也尚待討論．

2 莫爾條紋“準周期”的定義

上述分析表明，周期分別為TA和TB的兩組條紋各自經過nA和nB個周期后通常只能是近似重合．所以，莫爾條紋并非是嚴格的周期結構，將其周期稱為“準周期”更為合理．

由莫爾條紋遮光原理的圖像可知，計算莫爾條紋的周期長度，本質上是在尋找一組不太大的正整數nA和nB，使

|nATA-nBTB|=TA|nA-αnB|

(4)

足夠小．其中，|nATA-nBTB|為兩組條紋各自經過nA和nB個周期后的間距．在本節，我們為“不太大”和“足夠小”這兩個近似建立嚴格的數學定義．其他計算莫爾條紋周期的方法本質上都未加說明地采取了同樣的近似[9]．所以，如何在數學上明確這一近似的含義，并找到一組符合實際觀察結果的nA和nB，是一個普遍存在的問題．

圖1 兩組周期分別為TA和TB的平行條紋形成的莫爾條紋

2.1 有理數逼近

由式(4)可知，計算莫爾條紋的周期本質上是在尋找α=TB/TA的有理數逼近，即用一個有理數nA/nB來近似α，從而使|nA-αnB|足夠接近于零．這種對數字精度的取舍存在于所有實際問題中．最為通用的逼近方法是“四舍五入”，例如將圖1(b)中的0.901=901/1000近似為0.9=9/10后便可得到符合觀察結果的莫爾條紋周期TM=9TA．但是，對于莫爾條紋，“四舍五入”有時并非最佳的有理逼近方式．例如，若TA=1，TB=0.931，小數α=TB/TA=0.931四舍五入近似為0.9=9/10，得到nA=9，nB=10．代入式(4)可知兩組條紋各經過nA和nB個周期后的距離相差|nATA-nBTB|=0.31．對比之下，如果用nA/nB=13/14≈0.929來近似α，則得到|nATA-nBTB|≈0.034，近似的精度提高了一個量級．數學上，通過對實數α=TB/TA進行連分數展開，可以系統性地給出所有關于α的有理數逼近；對于莫爾條紋，將恰好給出所有使式(4)近似為零的nA和nB．

2.2 連分數展開

任何一個正實數α都可以被表示成如下(簡單)連分數展開的形式

(5)

可簡寫為[a0,a1,…,an,…]，其中展開系數an為正整數．一個有理數的連分數展開為有限階，無理數的連分數展開為無窮階．連分數展開是收斂的，其形式是唯一的，(對于一個有理數存在兩種等價的表示形式：[a0,a1,…,an]與[a0,a1,…,an-1,1])，它是對于實數的一種“純粹”的表示方式——其各階展開系數與進制無關．本文主要利用連分數展開的以下性質，相應的證明可參見引文[10, 11]．

首先，將連分數[a0,a1,…,an,…]在第k階截斷，得到[a0,a1,…,ak]，等于分數pk/qk，被稱為連分數的第k階漸進分數，其中正整數pk和qk滿足遞推關系

(6)

可以證明，由式(6)定義的漸近分數pk/qk為既約分數；并且，隨著階數k增大，各階漸近分數與α之差的絕對值嚴格遞減且收斂于0．

第二，首先定義：對正實數α以及既約分數p/q，如果所有不大于q的正整數q′以及任意p′，都滿足

|p′-αq′|≥|p-αq|

(7)

那么p/q是實數α的第二類最佳逼近．可以證明如下定理：α的連分數的各階漸進分數pk/qk都是其第二類最佳逼近；并且，α的所有第二類最佳逼近都是其連分數展開的漸進分數．例如，2.1節中的13/14是0.931的第二階漸進分數，可以驗證，它是0.931的一個第二類最佳逼近．

由上述定義和定理并對比式(4)、(7)可知，對于莫爾條紋，α=TB/TA的連分數展開的第k階漸進分數pk/qk將正好給出使式(4)取其極小值的解：nA=pk，nB=qk；此處“極小值”的含義是指：第qk根B條紋與第pk根A條紋的間距小于第qk根B條紋之前任意第q′(0

式(4)、(7)在形式上的巧合，以及連分數的漸進分數與第二類最佳逼近的充要性，使得連分數展開自然而然地成為定義及計算莫爾條紋周期的最合適的數學方法．此外，我們指出，利用看似更為直接的第一類最佳逼近，無法給出符合實際觀察結果的莫爾條紋周期．(第一類最佳逼近指的是：如果對于一個既約分數p/q，對任意q′≤q以及p′都有|p′/q′-α|≥|p/q-α|，則p/q是α的最佳逼近．可以證明，α的連分數的各階漸進分數都是α的第一類最佳逼近；但并非所有α的第一類最佳逼近都是其漸進分數．)

2.3 各階準周期

上述討論表明，α=TB/TA的連分數的各階漸進分數都可以對應一個莫爾條紋周期，且階數k越小，莫爾條紋周期(pkTA或qkTB)越短，但|pk-αqk|越大，即近似程度越低．各階準周期的表達式如下．為簡化起見，我們令TA=1，且只討論1/2

α的第1階漸進分數為p1/q1=1/1，從而得到nA=nB=1，即TM≈TA≈TB，是一個平凡的、無意義的解．α的第2階漸進分數為p2/q2=a2/(a2+1)，從而得到nA=a2，nB=a2+1，以及莫爾條紋的周期TM=a2TA，或等價的TM=(a2+1)TB．a2的數值為?α/(1-α)」，其中?x」表示x向下取整．如代入小數α/(1-α)=TB/(TA-TB)的值以近似計算a2，可得TM=?TB/(TA-TB)」TA．此式與式(3)幾乎一致，最多相差一個TA．如果考慮更高階的漸進分數，比如對于第3階漸進分數有：α≈(a2a3+1)/(a2a3+a3+1)，得到莫爾條紋第3階準周期TM=(a2a3+1)TA．以此類推，可以定義莫爾條紋的第k階準周期TM=pkTA(或等價的TM=qkTB)．

在各階準周期中，第2階準周期最為特殊：只有在第2階漸進分數α≈a2/(a2+1)的形式下，A條紋剛好比B條紋少經過一個周期而第一次達到近似重合的狀態；并且，A條紋與其最近的B條紋的距離先單調增加后單調減小，這樣的單次“亮-暗-亮”的變化最容易被人眼分辨．對于更高階的準周期，其長度通常遠大于2階準周期長度，且每個周期內部還存在多次“亮-暗”的轉變，對應于多個僅有微小區別的低階準周期圖案．所以人眼往往不易辨別出高階準周期的存在，而通常能觀察到的莫爾條紋的周期就對應于連分數的2階漸進分數，也就是式(3)所給出的最為通用的表達式．但是我們還是指出，存在一些較為特殊的α，觀察到的莫爾條紋周期確實對應于更高階的漸進分數．

2.4 非周期程度

我們定義莫爾條紋各階非周期程度fk(α)=|pk-αqk|(k≥2)，它表示A、B兩組條紋經過一個第k階莫爾條紋準周期后的間距與TA之比，反映了它們近似重合的程度．由連分數漸進分數的性質可知：低階準周期非周期程度大，但周期短，所以易觀察；高階準周期的非周期程度小，即近似的精度高，但周期太長，不易觀察．可見，實際觀察到的莫爾條紋周期，在非周期程度(即精度)與準周期長度之間達到某種平衡．基于以上考慮，我們給出莫爾條紋周期的嚴格定義

TM=pkTA,k=min{k′},s.t.fk′(α)≤E

(8)

表示：k為滿足fk(α)≤E的最小值，其中pk由式(6)的遞推關系給出，而E是可觀察到莫爾條紋周期的經驗閾值．考慮到人類通常能夠較為準確地分辨出一段給定長度的1/10，我們認為E比較合理的取值應在0.1左右．

f2(α)和f3(α)的圖像如圖2所示 ．對于某一階fk(α)，其函數的圖像形式為無數個直角三角形，每個直角三角形又剛好覆蓋了高一階的fk+1(α)的圖像中一組面積依次改變的直角三角形．全體fk(α)函數表現出一種分形的自相似特征．由圖2可知，當兩組條紋的周期非常接近時(如α≥0.9)，f2(α)<0.1始終成立，所以莫爾條紋周期為第2階準周期，基本上與式(3)等價．對于某些較小的α，經過一個2階準周期后A條紋和B條紋重合程度不高，即f2(α)較大，而只有經過更高階的準周期后，才滿足fk(α)≤E，從而對應于人眼觀察到的莫爾條紋．

圖2 (a)2階非周期程度f2(α);(b)3階非周期程度f3(α)．虛線表示α=φ≈0.618以及α=φ2≈0.724

對于圖1中所列舉的各條紋周期之比，可驗證，取E=0.1時，由式(8)定義的莫爾條紋周期與實際觀察結果均相符：如圖1(a)，α=0.9，f2(0.9)=0，表示兩條紋嚴格重合，所以有TM=p2TA=9TA；圖1(b)，α=0.901，f2(0.901)=0.01E而f3(0.714)=0.002E，f3(0.715)=0.14>E，而f4(0.715)=0.005

3 由連分數展開得到的推論

這一節，我們基于上述結果討論幾類特殊的條紋周期之比α及其莫爾條紋的周期性質．為驗證理論推論，我們首先利用菲林打印機在透明塑料薄片上打印出由Ai軟件繪制出的不同周期的條紋，隨后將各組周期長度不同的條紋平行、重疊放置于一塊平板LED燈前，用單反相機拍攝它們所構成的莫爾條紋(如圖3、4)．

圖3 具有嚴格周期性的莫爾條紋(實驗照片)．周期比TB/TA分別為(a)2/3，(b)3/4，(c)3/5和(d)4/7，莫爾條紋的周期分別為：TM=2TA，3TA，3TA，4TA．其中(a，b)為二階周期性莫爾條紋，(c，d)為三階周期性莫爾條紋

圖4 黃金比例莫爾條紋(實驗照片)．TB/TA分別為(a) φ1=φ≈0.618，(b) φ2≈0.724，(c) φ3≈0.783，(d) φ4≈0.822

3.1 周期性二階莫爾條紋

由上述莫爾條紋周期的連分數計算方法可知，若α=TB/TA的連分數為[0,1,a2]，即所有n>2的系數an均為0，那么其二階漸進分數就等于α，此時由式(3)計算所得的周期是嚴格的，所形成的莫爾條紋的周期性也是嚴格的．滿足這一條件的α具有a2/(a2+1)的形式(見圖2(a))，即第1節中提到的使式(1)存在正整數解、且滿足nB=nA+1的情況．此類周期性二階莫爾條紋如圖3(a)、(b)所示．可以看到，即便當α較小(如2/3)時也可以觀察到明顯的莫爾條紋，并且每個莫爾條紋周期都表現為簡單的“亮-暗-亮”圖樣．當α在這些特殊比值附近時，顯然也可以觀察到較為明顯的莫爾條紋現象．所以，通常認為只有當兩組條紋的周期長度非常接近時才能觀察到莫爾條紋現象的想法并不嚴謹．

3.2 周期性高階莫爾條紋

若α=TB/TA的連分數為[0,1,a2,2]，此時其二階漸進分數為a2/(a2+1)，當a2較小時f2(α)較大，所以不應直接由式(3)計算莫爾條紋的周期；而其三階漸進分數(2a2+1)/(2a2+3)就等于α(見圖2(b))，所以此類莫爾條紋也具有嚴格的周期性，其周期為(2a2+1)TA，屬于三階準周期(如圖3(c))．類似的，若α=[0,1,a2,3]，即(3a2+1)/(3a2+4)(如4/7，7/10等)，莫爾條紋也存在嚴格的周期性(如圖3(d))．在上述情況下，每個莫爾條紋周期表現為較為復雜的 “亮-暗-亮-暗-亮”圖樣．顯然，當兩組條紋的周期之比在上述這些特殊α值附近時，也可觀察到這類更為復雜的高階莫爾條紋準周期圖案；而根據遮光原理的計算中要求式(2)成立，所以無法預言這一類周期性高階莫爾條紋的存在．

以此類推，理論上，當α等于[0,1,a2,a3]甚至[0,1,a2,a3,2]等一系列類似數值時，莫爾條紋都具有高階的嚴格周期性．當然事實上，當a2、a3數值較大時， 2階準周期往往已經滿足f2(α)

3.3 黃金比例莫爾條紋

與上述具有嚴格周期性的莫爾條紋相反，如果一個實數α的連分數展開具有無窮階，且各階系數都很小，說明任意一階的漸進分數對α的逼近程度都較差，任意一階的非周期程度都較高．其中最典型的是連分數[0,1,1,…]

(9)

如果式(9)中的第二階系數略大于1，即連分數:

(10)

其中n為正整數，可以得到其他一系列與黃金比例密切相關的無理數．當n不太大時，這些數字同樣較難用有理數逼近，各階非周期程度都較高(見圖2中的虛線)，可以想見它們對應的莫爾條紋的周期性也較差，我們稱其為黃金比例莫爾條紋．如圖4所示，各φn(n≤3)對應的條紋的周期性都不易分辨，只有當n繼續增大，φn距有理數n/(n+1)的差距逐漸減小，條紋才開始顯現出較為明顯的周期性．正是因為連分數展開正確地揭示了莫爾條紋“準周期性”的本質，才能準確地預言這一系列特殊的無理數．

4 總結與展望

本文探討了莫爾條紋的“準周期”結構與基于連分數展開的有理數逼近之間的深刻聯系．研究發現，對于兩組周期不等的平行條紋，它們疊加所形成的莫爾條紋具有各階準周期，并恰好對應于兩者周期之比的連分數的各階漸近分數；其中，滿足非周期程度低于經驗閾值、即條紋重合精度足夠高的最低階漸進分數，是人眼所觀察到的莫爾條紋．以上對莫爾條紋周期的嚴格定義，可避免過去通用的周期計算表達式在某些特殊情況下的錯誤結果．此外，基于連分數的有理逼近性質，可以建立起莫爾條紋非周期程度與實數基本特性之間的映射，從而可以系統性地分析出兩類特殊的莫爾條紋：具有嚴格周期性的莫爾條紋，與各階非周期程度都較大的黃金比例莫爾條紋．最后，我們指出，本文連分數展開的分析方法對所有周期性時空結構疊加的問題(如拍現象、歷法置潤等)都具有普適意義．

本文主要討論了符合人眼觀察結果的較為低階的莫爾條紋，而連分數的各階漸進分數可以系統性地預言周期疊加的全部性質，從而能幫助探索更高階的準周期結構在凝聚態物理、信號處理等方面的潛在應用．本文只討論了兩組一維平行條紋的莫爾條紋現象．兩組二維周期性網格能夠疊加產生更為復雜的莫爾條紋，它們所形成的圖樣也具有類似的近似周期性，所以連分數展開的分析方法也可以推廣到更高維度的莫爾條紋中．并且，本文給出了一組非周期程度最大的黃金比例莫爾條紋，黃金比例直接對應于五重旋轉對稱性的特征，(72°=360°/5，cos(72°)=φ/2)，而五重旋轉對稱性又是典型的準晶結構特征．這些巧合暗示著實數的連分數表示、莫爾條紋、晶體或準晶結構、超晶格，這些看似無關的數學、物理概念背后存在著非常深刻的聯系，并且可能借由最新的轉角電子學(Twistronics)的相關研究揭示出來[13, 14]．