格林函數(shù)以及在常微分方程中的應(yīng)用

錢光耀，閆若琨，汪澤西，鄭神州

(北京交通大學(xué) 理學(xué)院，北京 100044)

數(shù)學(xué)物理方程問題通常是表示一種特定的“場”和產(chǎn)生這種場的“源”之間的關(guān)系，當(dāng)源被分解成很多點(diǎn)源疊加時(shí)，若設(shè)法知道點(diǎn)源產(chǎn)生的場，利用疊加原理，就可以求出同樣邊界條件下任意源的場，這種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法就是所謂的格林函數(shù)法.故格林函數(shù)在求解常微分方程邊值問題和偏微分方程邊值問題、初邊值問題有著特殊的重要性，其在特定區(qū)域上的電磁場理論、凝聚態(tài)物理學(xué)、地震工程學(xué)、工程材料力學(xué)和各種實(shí)際物理問題都有重要的應(yīng)用[1-3]. 以眾所周知的靜電場為例：在一個(gè)區(qū)域Ω中某點(diǎn)上放置一個(gè)單位正電荷在保持區(qū)域邊界為零電勢情況下，在區(qū)域內(nèi)部產(chǎn)生的電勢就是格林函數(shù)[4]，換句話：格林函數(shù)是Δu=δ(ξ),ξ∈Ω滿足u|Ω=0的解u=G(x|ξ),x∈Ω；拉普拉斯算子的格林函數(shù)的實(shí)際表達(dá)式在一般區(qū)域上是很難得到的，但對于特殊的規(guī)則區(qū)域，是可以具體用初等表達(dá)式表示；一旦有了格林函數(shù)，基于線性問題的疊加，就可以得出原定解問題的解的表示[4,5](連續(xù)問題用積分卷積表示，離散問題用級數(shù)卷積表示).線性微分方程最重要的性質(zhì)就是疊加原理，故一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)可以分解為簡單系統(tǒng)疊加.格林函數(shù)法的理論意義在于將具有非齊次項(xiàng)和任意邊界的定解問題歸結(jié)為一個(gè)特定的邊值問題，其表達(dá)式僅依賴于微分算子、區(qū)域形狀和邊界形式[5,6].考慮到常微分方程解函數(shù)是定義在一維區(qū)間上，不需要考慮區(qū)域的復(fù)雜性，以及文獻(xiàn)中各種常微分方程問題格林函數(shù)計(jì)算和應(yīng)用的系統(tǒng)性不全[4-7].本文僅以常用的一階、二階和高階常微分方程初、邊值為例，綜述常微分方程的格林函數(shù)的計(jì)算法，以及考慮其在線性常微分方程邊值問題和初值問題求形式解中的應(yīng)用.

1 一階常微分方程初值問題和格林函數(shù)

1.1 解的格林函數(shù)表示

考慮一階線性常微分方程

L(y)=y′+p(x)y=f(x),x>a

(1)

在初始條件:y(a)=0下的解.其格林函數(shù)G(x|ξ)為下述滿足單位點(diǎn)源方程初始條件的解L(G(x|ξ))=δ(x-ξ),G(a|ξ)=0.下面用格林函數(shù)來表示方程(1)的y(x).首先對方程L(G(x|ξ))=δ(x-ξ)左右兩邊同乘f(ξ),得

G′(x|ξ)f(ξ)+p(x)G(x|ξ)f(ξ)=δ(x-ξ)f(ξ)

再對等號(hào)兩邊積分

即

與L(y)=y′+p(x)y=f(x)的對應(yīng)項(xiàng)比較,得到

(2)

1.2 格林函數(shù)表達(dá)式

由p(x)G(x|ξ)<∞, 讓ε趨于0，可得

G(ξ+|ξ)-G(ξ-|ξ)=1

(3)

利用式(3)，我們可得c=1, 所以

引入Heaviside方程，解表為

(4)

2 二階常微分方程邊值問題和格林函數(shù)

2.1 初值問題解的表示

考慮二階非齊次微分方程:

L(y)=y″+p(x)y′+q(x)y=f(x),a

(5)

同時(shí)滿足邊界條件:

2.2 格林函數(shù)的計(jì)算

利用格林函數(shù)定義，則有

G″(x|ξ)+p(x)G′(x|ξ)+q(x)G(x|ξ)=δ(x-ξ)

(6)

由于x≠ξ滿足的齊次線性方程的疊加原理，設(shè)其解形式為

可以斷定G(x|ξ)在x=ξ連續(xù)的：若G(x|ξ)在x=ξ跳躍，則G′(x|ξ)與δ(x-ξ)有相同的奇性, 那么G″(x|ξ)具有比δ(x-ξ)更高奇異性，則式(6)無法成立.所以格林函數(shù)G(x|ξ)在x=ξ處一定連續(xù)，即：G(x|ξ)|x→ξ-=G(x|ξ)|x→ξ+，從而

c1y1(ξ)+c2y2(ξ)=d1y1(ξ)+d2y2(ξ)

(7)

對式(6)在ξ的鄰域(ξ-ε,ξ+ε)積分,并令ε趨于0，得

(8)

d1y′1(ξ)+d2y′2(ξ)-c1y′1(ξ)-c2y′2(ξ)=1

(9)

最終，根據(jù)邊界條件和式(7)、(9)可以解出c1、c2、d1、d2.

3 二階微分方程初值問題和格林函數(shù)

由于疊加原理，考慮二階線性常微分方程

L(y)=y″+p(x)y′+q(x)y=f(x),a

(10)

在初值條件下：y(a)=γ1,y′(a)=γ2有形式解y=u+v,其中

u″+p(x)u′+q(x)u=f(x),u(a)=0,u′(a)=0，

v″+p(x)v′+q(x)v=0,v(a)=γ1,v′(a)=γ2.

4 Sturm-Liouville問題和格林函數(shù)

考慮Sturm-Liouville方程(散度型方程)

L(y)=(p(x)y′)′+q(x)y=f(x)

(11)

(12)

c1(ξ)y1(ξ)-c2(ξ)y2(ξ)=0,

(13)

因?yàn)樗阕覮和積分可以交換順序，那么Sturm-Liouville問題的解為

(14)

5 不混合邊值問題和格林函數(shù)

依據(jù)疊加原理，考慮二階線性常微分方程:

L(y)=y″+p(x)y′+q(x)y=f(x),a

在不混合邊界條件下α1y(a)+α2y′(a)=γ1,β1y(b)+β2y′(b)=γ2的形式解：y=u+v,其中

u″+p(x)u′+q(x)u=f(x),
α1u(a)+α2u′(a)=0,
β1u(b)+β2u′(b)=0,
v″+p(x)v′+q(x)v=0,
α1v(a)+α2v′(a)=γ1,
β1v(b)+β2v(b)=γ2

(15)

(16)

6 混合邊值問題和格林函數(shù)

考慮二階線性常微分方程:

L(y)=y″+p(x)y′+q(x)y=f(x),a

在如下混合邊界條件:

B1[y]=α11y(a)+α12y′(a)+β11y(b)+

β12y′(b)=γ1

B2[y]=α21y(a)+α22y′(a)+β21y(b)+

β22y′(b)=γ2

的形式解y=u+v, 其中

u″+p(x)u′+q(x)u=f(x),B1[u]=0,B2[u]=0

v″+p(x)v′+q(x)v=0,B1[v]=γ1,B2[v]=γ2

這里也只考慮齊次問題v有唯一解情況；令y1,y2是齊次方程不為零的基本解且滿足邊界條件B1[y1]=0,B2[y2]=0.齊次方程在齊次邊界下只有零解,故可得B1[y2]與B2[y1]不為零.v的解有下列形式v=c1y1+c2y2.對于u的格林函數(shù)滿足

G″(x|ξ)+p(x)G′(x|ξ)+q(x)G(x|ξ)=δ(x-ξ)

B1[G]=0,B2[G]=0

考慮Green函數(shù)的連續(xù)性和跳躍性條件

G(ξ-|ξ)=G(ξ+|ξ),G′(ξ+|ξ)-G′(ξ-|ξ)=-1

由于G(x|ξ)=H(x-ξ)uξ(x)是上述待解方程在G(0)=0,G′(0)=1的解，故格林函數(shù)有形式解：G(x|ξ)=H(x-ξ)yξ(x)+c1y1(x)+c2y2(x).這個(gè)形式解的連續(xù)性和跳躍性條件自動(dòng)滿足, 應(yīng)用邊界條件:

B1[G]=B1[H(x-ξ)yξ]+c2B1[y2]=0,

B2[G]=B2[H(x-ξ)yξ]+c1B2[y1]=0

求解出c1,c2代入上式可得

G(x|ξ)=H(x-ξ)yξ(x)-

(17)

(18)

7 高階常微分方程邊值問題和格林函數(shù)

考慮一般的n階線性微分方程:

L(y)=y(n)+pn-1(x)y(n-1)+…+p1(x)y′+

p0y=f(x),a

(19)

下面用格林函數(shù)來構(gòu)造這個(gè)解y.令{y1,y2…,yn}是一組線性無關(guān)的解集，那么v就有如下形式v=c1y1+…+cnyn，其中常數(shù)是由如下方程所確定:

(20)

為了解出u,考慮格林函數(shù)滿足的方程L(G(x|ξ))=δ(x-ξ),Bj(G)=0.若G(n-2)(x|ξ)在x=ξ跳躍，則G(n-1)(x|ξ)與δ(x-ξ)有相同的奇異性, G(n)(x|ξ)具有比δ(x-ξ)更高奇異性, 這是無法成立的.故G(n-2)(x|ξ)在x=ξ處連續(xù),同理G(x|ξ),G′(x|ξ),…,G(n-2)(x|ξ)也在x=ξ處連續(xù).則有

用分部積分

G(n-1)(ξ+|ξ)-G(n-1)(ξ-|ξ)

其中

于是

所以yξ(x)是滿足下列條件的齊次解的線性組合:yξ(ξ)=0,y′ξ(ξ)=0,…,y(n-2)ξ(ξ)=0,y(n-1)ξ(ξ)=1.在x<ξ時(shí)，完全齊次方程的解為零解, 故特解yc≡0.在x>ξ時(shí), 設(shè)解yc(x)滿足上述的yξ的條件,其中yc=λ1y1+λ2y2+…+λnyn,代入上述n個(gè)約束條件，由朗斯基行列式恒不為零，可得yc有唯一解，整合后可得一個(gè)特解:yc(x)=H(x-ξ)yξ(x).那么格林函數(shù)有形式:

G(x|ξ)=H(x-ξ)yξ(x)+d1y1(x)+…+dnyn(x)

其中常數(shù)是由如下方程所確定

(21)