單位化思想視角下的除法運算本質與教學建議

劉加霞　孫海燕

摘 要 單位化是問題解決的策略，也是重要數(shù)學思想。其核心是“確定‘誰是單位”并通過“操作單位”解決問題。單位化思想貫穿小學數(shù)學始終，但對除法學習的價值被忽視。包含除的本質就是單位化，即數(shù)出“被除數(shù)里有多少個除數(shù)”，同樣地等分除也蘊含單位化思想。二者是除法的基本模型，不可顧此失彼。除法意義教學要設計“較復雜的平均分情境”，對比分析等分除與包含除的異同，將包含除運用到分數(shù)認識與分數(shù)除法中。

關鍵詞 單位化思想 等分除 包含除

一般地，人們在問題解決時，為了規(guī)范地、統(tǒng)一地度量某類對象，需要約定統(tǒng)一的量度標準以便于表達、交流與運用。在比較或度量某些事物時，往往設定一個或多個標準量作為度量單元（即單位或單位體系），有意識地用“單位”來量化研究對象，旨在簡化問題解決的思維過程，這種解決問題的思維策略稱之為“單位化思想”。單位化思想就是用統(tǒng)一的“單位（單位體系）”刻畫概念、闡明思維過程，強化對概念的理解與應用，使思維過程變得清晰有序[1]。

單位化思想貫穿小學數(shù)學的始終。但在除法學習中未得到足夠重視，尤其當下教材、教學中淡化了“包含除”，不重視包含除也導致分數(shù)除以分數(shù)的算理較難理解[2]。

一、單位化思想對學習自然數(shù)除法的價值分析

除法建立在平均分基礎上，從平均分的過程來看有兩個不同模型，通常稱為“等分除”與“包含除”。包含除中的單位化思想較為明顯，等分除中好像不明顯，但實際上“平均分”過程中的每一步（例如2個一份地分）都是按照“標準”分配，所以，單位化思想在這兩種除法中都具有重要價值。

1.除法意義的兩個模型相互依存

乘法的基本模型是“每份數(shù)×分數(shù)=積”，進一步抽象為“因數(shù)×因數(shù)=積”，對應不同的現(xiàn)實模型。作為乘法的逆運算，除法被定義為“已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算”，所以相應的除法有兩種模型：一種是已知總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)，例如：求15里面有幾個5，這是“包含除”，對應的除法算式是15÷5=3，單位化思想最為明顯。但當下各個教材中忽視了包含除[2]，也忽視了單位化思想在理解除法含義、計算以及算理方面的作用。除法另一種模型是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)。例如：把15平均分成5份，求每份是多少，這是“等分除”，對應的除法算式也是15÷5=3。這兩種不同的意義是通過一個平均分物的數(shù)學模型產生的，它們地位相等而且都與“份”“單位”密切相關，因此，從“單位”的角度認識除法意義有重要價值。

2.除法運算背后的“單位化”思想

（1）“包含除”更能體現(xiàn)單位化思想。乘法來源于加法，“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法更為便捷，除法是乘法的逆運算，它的本質就是減去若干個相同數(shù)。這說明“包含除”對理解除法的意義以及借助單位化思想理解整數(shù)除法含義、算法算理等都有舉足輕重作用。皮亞杰認為測量單位的概念包含任意地再分一個連續(xù)的整體（被測物體）。這與“包含除”表達的意義不謀而合。這也是為什么基于乘除法之間的關系理解除法含義時，比起“把一個整體平均分成若干個相同的部分”，學生更容易想到除法就是“不停的減去相同的部分”，這樣的理解更接近測量的本質也就是除法的本質，為此能夠深入理解分數(shù)的性質、比的性質與除法商不變的性質等都是單位及其個數(shù)之間的辯證關系。因此，學習除法的意義時首先應該從“包含除”模型來理解，也更凸顯出單位化思想的作用。

（2）“平均分”時“幾個幾個地分”仍然是單位化思想。“平均分”時“幾個幾個地分”仍然是單位化思想，只不過這時的“單位”需要不斷地調整，沒有“分完”之前的每一次“平均分”都可以說是“包含除”。例如，36塊糖，平均分給3個人，每人分得幾塊？在平均分時如果直接“12個、12個”地分，這就是包含除;如果“1個、1個地”分給3人，繼續(xù)分幾次后，發(fā)現(xiàn)“分的速度”太慢，調整為“3個、3個”地分，可以說每一次“平均分”都有單位化思想，尤其不斷調整“每次分幾個”的過程，即是確定“合適單位”的過程。平均分的思考過程更復雜，其中的“單位”需要靈活調整，最終找到那個合適的“單位（每份數(shù)）”。這個調整“單位”的過程是學生深入理解平均分進而理解除法意義的過程，不可忽視。

遺憾的是，很多時候由于數(shù)量太少，學生要么一眼就能看出每份有幾個，要么借助已有的乘法口訣的知識經(jīng)驗，不需要“平均分”的過程，直接就能確定這個“單位”，可以說沒有“思維的投入”。如何設計活動才能讓學生經(jīng)歷平均分的過程，體會其中蘊含的“單位化”思想，進而理解除法的意義呢？下面給出一些教學建議。

二、單位化思想助力除法意義學習的教學建議

1.“初步認識”除法時要兼顧除法的“等分除、包含除”模型

不同版本的教材編排常用的情境是“平均分物”。以人教版教材為例，在二年級下冊表內除法單元，安排了3個例題教學“平均分”，作為學習除法的開始，例1建立“平均分”的概念，例2探討“平均分”的方法，讓學生認識“等分”;例3繼續(xù)探討“平均分”的方法，讓學生認識“包含”。教材這樣編排，加強了“分”的認識，讓學生充分參與“平均分”的實踐活動，形成平均分的表象，既為學生認識“除法”積累豐富的經(jīng)驗，又使學生對“除法”產生了親切感。

在張奠宙教授的文章中曾呈現(xiàn)一組關于不同版本教材在編排主問題時，涉及“等分除”的情況遠遠多于“包含除”，張教授指出教材“虧待”了包含除[3]。也就是說教材在編排上雖然讓學生充分經(jīng)歷平均分的過程，建立“平均分”的概念，但無論在內容編排順序還是內容的數(shù)量上仍然存在著厚“等分除”薄“包含除”的現(xiàn)象，這就使得教師教學時重視“等分除”，也忽視“包含除”。然而，忽視“包含除”后患無窮[2]，具體有以下表現(xiàn)。

一是影響學生對除法概念理解的深度。從除法的意義來看，等分和包含是同一個情境中兩類互相依存的除法問題，是除法含義的兩個方面，忽略包含除就忽略了“把除數(shù)作為‘測量單位在分被除數(shù)”的這層含義，就不能說學生對除法意義實現(xiàn)了真正的理解。

二是限制學生對分數(shù)概念的全面理解。五年級學生學習分數(shù)意義，與三年級學習“平均分物產生分數(shù)”相比，知識的生長點在于感悟“測量產生分數(shù)”，也就是要回答一個小于單位“1”的量怎么表示，由此可以引出分數(shù)（或小數(shù)）。與包含除密切相關的情形是：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多少”。例如人教版教材在“分數(shù)的意義和性質”開頭，呈現(xiàn)了幾個人用等距離打了結的繩子測量一個箱子的邊長，提出問題：剩下的繩子不足一節(jié)，怎么記？這時如果一節(jié)繩子恰好是三個尾部之長，那么尾部長度就可以表示為? ;如果一節(jié)繩子包含三個“半截尾部”，那么尾部長度占一節(jié)的? [4]。這是從“單位”的角度認識分數(shù)的意義的契機，為了全面理解分數(shù)概念，需要包含除的模型。

三是無法理解分數(shù)除法的算理。分數(shù)除法要依據(jù)顛倒相乘的規(guī)則進行，說明起來相當困難。分數(shù)除以整數(shù)用等分除模型比較容易理解，但是一個數(shù)除以分數(shù)使用等分除模型則不大合適，[5]如4÷? ，不能說把4個物體平均分成? 份，但是可以問4里面包含著多少個? ，如果沒有包含除，其算理很難被學生理解。借助“份”導出算理，這是單位化思想在發(fā)揮作用。

四是阻礙學生問題解決的思路。由于問題解決中涉及的大部分數(shù)量關系都存在兩個平等的因數(shù)相乘，如：速度×時間=路程、單價×數(shù)量=總價等等，不能平等對待兩種“平均分”也就不能應對問題解決中對數(shù)量關系的分析，造成解題失敗。

因此，基于教材的編排，教師要努力調整認知，以期設計不偏不倚的除法情境，真正讓學生在概念建立初期就能平等對待這對“孿生兄弟”。

2.基于學情設計教學活動，突出單位化思想

教學中常常會遇到這樣的情況：當問題情境“把15個橘子平均分成5份，每份是幾個” 呈現(xiàn)后，學生通常不會按照老師的希望通過動手操作，經(jīng)歷分的過程，去體會平均分，而是利用口訣得到了結果，盡管老師把要分的15個橘子刻意凌亂的擺在黑板上，不想讓學生數(shù)出總數(shù)，學生仍然會直奔結果。這樣忽略分的過程與方法，學生無法體會平均分的含義，更談不上對除法意義的理解。可以考慮從以下幾個方面做出努力。

（1）通過操作活動促進學生多種感官參與，經(jīng)歷平均分的過程。如何讓學生主動探索平均分的方法、理解平均分的概念呢？數(shù)學課程標準指出：有效的數(shù)學學習活動不能單純依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。學生的思維是在活動中發(fā)生的，并隨著活動的深入得到發(fā)展。針對學生用口訣尋找結果而并不采用平均分的方法這一情況，我們設計分撲克牌的游戲，引發(fā)學生動手分的需要，體會分的必要性，從而自覺的經(jīng)歷分的過程。下面是教學片斷：

教師拿出一摞數(shù)好的撲克牌（不向學生說明數(shù)量）。

師：誰能把它們平均分給4名同學？

生1接過撲克牌，學生馬上要數(shù)有多少張撲克牌。

教師（制止）：如果不知道撲克牌的數(shù)量你能想辦法完成這個任務嗎？

生1略作思索后，開始一張一張的“發(fā)牌”，發(fā)了一輪以后，發(fā)現(xiàn)自己手中還有很多撲克牌，于是第二輪他“大膽的”開始每人分兩張，第三輪他更大膽的每人3張，但是到最后發(fā)現(xiàn)牌不夠了，于是他不好意思的，把剛剛每人發(fā)的3張要了回來，重新按每人兩張發(fā)放，結果正好分完。

……

像這樣經(jīng)過逐步的嘗試與調整，分的活動從不合適到正好分完，經(jīng)歷了1份——也就是“單位”從最初的假設到明確的過程，“單位”逐漸清晰的過程也是幫助學生從“單位”的角度獲得對除法意義本質的深入理解。

（2）基于對比突出除法兩個模型之間的區(qū)別和聯(lián)系，全面理解除法意義。在前述“等分”操作活動的基礎上，再呈現(xiàn)“包含”的分物情形。可以再提供一些撲克牌，每人分4張，可以分給幾個人，這時又該如何分呢？有了前面分物的經(jīng)驗，學生很自然地會對比兩次“平均分”的過程不同，進而感悟兩種操作的區(qū)別和聯(lián)系。

在對比之后，師生得出兩次分的區(qū)別是：當我們心里知道要分給幾個人，就一張一張地或者幾張幾張地分給這幾人，分完才知道每人有幾張;當我們知道一人有幾張，我們就一份一份地把它們分走，分完就知道有幾人了。

第二個平均分的活動是有標準的，知道一份是多少，就是知道“單位”，能分出幾個“單位”，就能分給幾個人。兩次分的聯(lián)系是：每份分得同樣多，這里的“每份”就是作為“單位”存在的，學生通過對兩次分物活動的對比反思，對“等分”和“包含”有了直觀而且對等的認識，為學生全面理解除法的意義奠定了基礎。

其實，在學生后續(xù)的除法學習中，單位化思想會始終貫穿其中，無論是深化對除法意義的理解，還是理解除法的算理算法，亦或是解決問題我們都能從中發(fā)現(xiàn)“單位”的存在和價值。以單位化思想為統(tǒng)領，可以幫助學生打通并加深對除法的認識，甚至還可以將分數(shù)、比、倍等核心內容與除法更緊密的聯(lián)系在一起。

參考文獻

[1] 閆云梅，劉加霞.經(jīng)歷計數(shù)過程，體驗單位化思想——評趙燕老師“萬以內數(shù)的認識”[J].小學教學：數(shù)學版，2009（12）：24-26.

[2] 張奠宙，等，小學數(shù)學教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：81.

[3] 張奠宙. 教材編寫要注意防止片面的思維定式——評小學數(shù)學教材中忽視“包含除”的傾向[J].小學教學：數(shù)學版，2015（09）：4-6.

[4] 鞏子坤，李眾展，李碩鑫，等.一個數(shù)除以分數(shù)學習路徑優(yōu)化的實證研究：包含除模型[J].小學數(shù)學教師，2019（04）：82-87.

[5] 張奠宙.“分數(shù)”教材里一個沒有解決的問題——談分數(shù)與包含除的關系[J].教學月刊·小學版：數(shù)學，2014（Z2）：4-5.

[責任編輯：陳國慶]