單位化思想視角下的除法運算本質與教學建議

劉加霞　孫海燕

摘 要 單位化是問題解決的策略，也是重要數學思想。其核心是“確定‘誰是單位”并通過“操作單位”解決問題。單位化思想貫穿小學數學始終，但對除法學習的價值被忽視。包含除的本質就是單位化，即數出“被除數里有多少個除數”，同樣地等分除也蘊含單位化思想。二者是除法的基本模型，不可顧此失彼。除法意義教學要設計“較復雜的平均分情境”，對比分析等分除與包含除的異同，將包含除運用到分數認識與分數除法中。

關鍵詞 單位化思想 等分除 包含除

一般地，人們在問題解決時，為了規范地、統一地度量某類對象，需要約定統一的量度標準以便于表達、交流與運用。在比較或度量某些事物時，往往設定一個或多個標準量作為度量單元（即單位或單位體系），有意識地用“單位”來量化研究對象，旨在簡化問題解決的思維過程，這種解決問題的思維策略稱之為“單位化思想”。單位化思想就是用統一的“單位（單位體系）”刻畫概念、闡明思維過程，強化對概念的理解與應用，使思維過程變得清晰有序[1]。

單位化思想貫穿小學數學的始終。但在除法學習中未得到足夠重視，尤其當下教材、教學中淡化了“包含除”，不重視包含除也導致分數除以分數的算理較難理解[2]。

一、單位化思想對學習自然數除法的價值分析

除法建立在平均分基礎上，從平均分的過程來看有兩個不同模型，通常稱為“等分除”與“包含除”。包含除中的單位化思想較為明顯，等分除中好像不明顯，但實際上“平均分”過程中的每一步（例如2個一份地分）都是按照“標準”分配，所以，單位化思想在這兩種除法中都具有重要價值。

1.除法意義的兩個模型相互依存

乘法的基本模型是“每份數×分數=積”，進一步抽象為“因數×因數=積”，對應不同的現實模型。作為乘法的逆運算，除法被定義為“已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算”，所以相應的除法有兩種模型：一種是已知總數和每份數，求份數，例如：求15里面有幾個5，這是“包含除”，對應的除法算式是15÷5=3，單位化思想最為明顯。但當下各個教材中忽視了包含除[2]，也忽視了單位化思想在理解除法含義、計算以及算理方面的作用。除法另一種模型是已知總數和份數，求每份數。例如：把15平均分成5份，求每份是多少，這是“等分除”，對應的除法算式也是15÷5=3。這兩種不同的意義是通過一個平均分物的數學模型產生的，它們地位相等而且都與“份”“單位”密切相關，因此，從“單位”的角度認識除法意義有重要價值。

2.除法運算背后的“單位化”思想

（1）“包含除”更能體現單位化思想。乘法來源于加法，“求幾個相同加數的和”用乘法更為便捷，除法是乘法的逆運算，它的本質就是減去若干個相同數。這說明“包含除”對理解除法的意義以及借助單位化思想理解整數除法含義、算法算理等都有舉足輕重作用。皮亞杰認為測量單位的概念包含任意地再分一個連續的整體（被測物體）。這與“包含除”表達的意義不謀而合。這也是為什么基于乘除法之間的關系理解除法含義時，比起“把一個整體平均分成若干個相同的部分”，學生更容易想到除法就是“不停的減去相同的部分”，這樣的理解更接近測量的本質也就是除法的本質，為此能夠深入理解分數的性質、比的性質與除法商不變的性質等都是單位及其個數之間的辯證關系。因此，學習除法的意義時首先應該從“包含除”模型來理解，也更凸顯出單位化思想的作用。

（2）“平均分”時“幾個幾個地分”仍然是單位化思想。“平均分”時“幾個幾個地分”仍然是單位化思想，只不過這時的“單位”需要不斷地調整，沒有“分完”之前的每一次“平均分”都可以說是“包含除”。例如，36塊糖，平均分給3個人，每人分得幾塊？在平均分時如果直接“12個、12個”地分，這就是包含除;如果“1個、1個地”分給3人，繼續分幾次后，發現“分的速度”太慢，調整為“3個、3個”地分，可以說每一次“平均分”都有單位化思想，尤其不斷調整“每次分幾個”的過程，即是確定“合適單位”的過程。平均分的思考過程更復雜，其中的“單位”需要靈活調整，最終找到那個合適的“單位（每份數）”。這個調整“單位”的過程是學生深入理解平均分進而理解除法意義的過程，不可忽視。

遺憾的是，很多時候由于數量太少，學生要么一眼就能看出每份有幾個，要么借助已有的乘法口訣的知識經驗，不需要“平均分”的過程，直接就能確定這個“單位”，可以說沒有“思維的投入”。如何設計活動才能讓學生經歷平均分的過程，體會其中蘊含的“單位化”思想，進而理解除法的意義呢？下面給出一些教學建議。

二、單位化思想助力除法意義學習的教學建議

1.“初步認識”除法時要兼顧除法的“等分除、包含除”模型

不同版本的教材編排常用的情境是“平均分物”。以人教版教材為例，在二年級下冊表內除法單元，安排了3個例題教學“平均分”，作為學習除法的開始，例1建立“平均分”的概念，例2探討“平均分”的方法，讓學生認識“等分”;例3繼續探討“平均分”的方法，讓學生認識“包含”。教材這樣編排，加強了“分”的認識，讓學生充分參與“平均分”的實踐活動，形成平均分的表象，既為學生認識“除法”積累豐富的經驗，又使學生對“除法”產生了親切感。

在張奠宙教授的文章中曾呈現一組關于不同版本教材在編排主問題時，涉及“等分除”的情況遠遠多于“包含除”，張教授指出教材“虧待”了包含除[3]。也就是說教材在編排上雖然讓學生充分經歷平均分的過程，建立“平均分”的概念，但無論在內容編排順序還是內容的數量上仍然存在著厚“等分除”薄“包含除”的現象，這就使得教師教學時重視“等分除”，也忽視“包含除”。然而，忽視“包含除”后患無窮[2]，具體有以下表現。

一是影響學生對除法概念理解的深度。從除法的意義來看，等分和包含是同一個情境中兩類互相依存的除法問題，是除法含義的兩個方面，忽略包含除就忽略了“把除數作為‘測量單位在分被除數”的這層含義，就不能說學生對除法意義實現了真正的理解。

二是限制學生對分數概念的全面理解。五年級學生學習分數意義，與三年級學習“平均分物產生分數”相比，知識的生長點在于感悟“測量產生分數”，也就是要回答一個小于單位“1”的量怎么表示，由此可以引出分數（或小數）。與包含除密切相關的情形是：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多少”。例如人教版教材在“分數的意義和性質”開頭，呈現了幾個人用等距離打了結的繩子測量一個箱子的邊長，提出問題：剩下的繩子不足一節，怎么記？這時如果一節繩子恰好是三個尾部之長，那么尾部長度就可以表示為? ;如果一節繩子包含三個“半截尾部”，那么尾部長度占一節的? [4]。這是從“單位”的角度認識分數的意義的契機，為了全面理解分數概念，需要包含除的模型。

三是無法理解分數除法的算理。分數除法要依據顛倒相乘的規則進行，說明起來相當困難。分數除以整數用等分除模型比較容易理解，但是一個數除以分數使用等分除模型則不大合適，[5]如4÷? ，不能說把4個物體平均分成? 份，但是可以問4里面包含著多少個? ，如果沒有包含除，其算理很難被學生理解。借助“份”導出算理，這是單位化思想在發揮作用。

四是阻礙學生問題解決的思路。由于問題解決中涉及的大部分數量關系都存在兩個平等的因數相乘，如：速度×時間=路程、單價×數量=總價等等，不能平等對待兩種“平均分”也就不能應對問題解決中對數量關系的分析，造成解題失敗。

因此，基于教材的編排，教師要努力調整認知，以期設計不偏不倚的除法情境，真正讓學生在概念建立初期就能平等對待這對“孿生兄弟”。

2.基于學情設計教學活動，突出單位化思想

教學中常常會遇到這樣的情況：當問題情境“把15個橘子平均分成5份，每份是幾個” 呈現后，學生通常不會按照老師的希望通過動手操作，經歷分的過程，去體會平均分，而是利用口訣得到了結果，盡管老師把要分的15個橘子刻意凌亂的擺在黑板上，不想讓學生數出總數，學生仍然會直奔結果。這樣忽略分的過程與方法，學生無法體會平均分的含義，更談不上對除法意義的理解。可以考慮從以下幾個方面做出努力。

（1）通過操作活動促進學生多種感官參與，經歷平均分的過程。如何讓學生主動探索平均分的方法、理解平均分的概念呢？數學課程標準指出：有效的數學學習活動不能單純依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的思維是在活動中發生的，并隨著活動的深入得到發展。針對學生用口訣尋找結果而并不采用平均分的方法這一情況，我們設計分撲克牌的游戲，引發學生動手分的需要，體會分的必要性，從而自覺的經歷分的過程。下面是教學片斷：

教師拿出一摞數好的撲克牌（不向學生說明數量）。

師：誰能把它們平均分給4名同學？

生1接過撲克牌，學生馬上要數有多少張撲克牌。

教師（制止）：如果不知道撲克牌的數量你能想辦法完成這個任務嗎？

生1略作思索后，開始一張一張的“發牌”，發了一輪以后，發現自己手中還有很多撲克牌，于是第二輪他“大膽的”開始每人分兩張，第三輪他更大膽的每人3張，但是到最后發現牌不夠了，于是他不好意思的，把剛剛每人發的3張要了回來，重新按每人兩張發放，結果正好分完。

……

像這樣經過逐步的嘗試與調整，分的活動從不合適到正好分完，經歷了1份——也就是“單位”從最初的假設到明確的過程，“單位”逐漸清晰的過程也是幫助學生從“單位”的角度獲得對除法意義本質的深入理解。

（2）基于對比突出除法兩個模型之間的區別和聯系，全面理解除法意義。在前述“等分”操作活動的基礎上，再呈現“包含”的分物情形。可以再提供一些撲克牌，每人分4張，可以分給幾個人，這時又該如何分呢？有了前面分物的經驗，學生很自然地會對比兩次“平均分”的過程不同，進而感悟兩種操作的區別和聯系。

在對比之后，師生得出兩次分的區別是：當我們心里知道要分給幾個人，就一張一張地或者幾張幾張地分給這幾人，分完才知道每人有幾張;當我們知道一人有幾張，我們就一份一份地把它們分走，分完就知道有幾人了。

第二個平均分的活動是有標準的，知道一份是多少，就是知道“單位”，能分出幾個“單位”，就能分給幾個人。兩次分的聯系是：每份分得同樣多，這里的“每份”就是作為“單位”存在的，學生通過對兩次分物活動的對比反思，對“等分”和“包含”有了直觀而且對等的認識，為學生全面理解除法的意義奠定了基礎。

其實，在學生后續的除法學習中，單位化思想會始終貫穿其中，無論是深化對除法意義的理解，還是理解除法的算理算法，亦或是解決問題我們都能從中發現“單位”的存在和價值。以單位化思想為統領，可以幫助學生打通并加深對除法的認識，甚至還可以將分數、比、倍等核心內容與除法更緊密的聯系在一起。

參考文獻

[1] 閆云梅，劉加霞.經歷計數過程，體驗單位化思想——評趙燕老師“萬以內數的認識”[J].小學教學：數學版，2009（12）：24-26.

[2] 張奠宙，等，小學數學教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：81.

[3] 張奠宙. 教材編寫要注意防止片面的思維定式——評小學數學教材中忽視“包含除”的傾向[J].小學教學：數學版，2015（09）：4-6.

[4] 鞏子坤，李眾展，李碩鑫，等.一個數除以分數學習路徑優化的實證研究：包含除模型[J].小學數學教師，2019（04）：82-87.

[5] 張奠宙.“分數”教材里一個沒有解決的問題——談分數與包含除的關系[J].教學月刊·小學版：數學，2014（Z2）：4-5.

[責任編輯：陳國慶]