整合素材 深化模型

【摘要】本文以《相遇問題》的教學設計與評析為例，論述在具體教學中借助多樣素材幫助學生理解“相遇問題”，通過問題引入，回顧經驗;借助圖形，理解模型;多樣變式，豐富模型等活動，借助圖形操作、直觀對比和反思遷移策略，引導學生感悟解決問題中“兩積之和”的結構，提升解決問題的能力。

【關鍵詞】《相遇問題》 整合素材 深化模型

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）25-0062-04

《相遇問題》是人教版數學四年級上冊第四單元《速度時間路程》的課后補充內容。雖然人教版教材中沒有相關的教學內容，但五年級上冊教材出現了借助《相遇問題》的模型來列方程解決問題的習題。因此，在教學四年級上冊教材《速度時間路程》一課之后補充相應的“相遇問題”內容，有利于學生建立相遇問題的模型，深入理解速度、時間、路程之間的關系，為學生后續的學習打下基礎。

一、教材分析

針對人教版教材相關習題的分析，筆者認為《相遇問題》的教學可以關注如下四個方面。

（一）關注素材的整合

人教版教材中有大量的好題，雖然這些習題分散在不同單元、不同年級，但它們有著相同的結構，即兩積之和的結構。教師在設計教學中需要運用整合教材的方法，把這些習題按照一定的邏輯進行組合，促進學生解決問題能力的提升。而《相遇問題》屬于兩積之和的模型，教材中有著大量類似的習題，教師通過收集、整合、改編這些素材，有利于加強學生對知識點的理解。

（二）注重圖形的表征

浙江省2019年中小學質量監測相關數據顯示，四年級學生在利用畫圖來解決問題的相關能力較為薄弱，即很多學生并不知道如何利用畫圖表征和分析問題。因此，教師在數學課堂中給予學生更多的借助畫圖分析和表征問題的機會，會對他們提升問題解決能力有所幫助。

（三）深化模型的理解

四年級學生對“相遇問題”相關知識并不陌生，但他們并不明白為什么可以這樣計算、其中有什么聯系等。因此，教師要引導學生感悟模型的發生和發展過程，讓學生能夠把新舊模型、正向逆向模型等進行聯系與擴展，從而深入理解《相遇問題》模型問題。

（四）溝通習題的聯系

數學知識之間有著千絲萬縷的聯系，解決數學問題的模型更是如此。如果把相遇問題的模型與生活中其他速度類問題進行巧妙溝通，那么對學生理解該模型、提升解決問題的能力將會有較大的幫助。

二、教學目標

基于以上思考，確定教學目標如下。

1.經歷解決具體生活問題的過程，借助實物和圖形的直觀演示和表征，逐步構建相遇問題的數學模型。

2.經歷從問題情境和已有數量關系出發解決新問題的過程，不斷深入感悟和豐滿模型，有效培養學生利用畫圖分析解決問題的能力，以及培養學生解決問題的遷移能力。

3.經歷不斷觀察、對比、交流與歸納等學習活動，讓學生感受生活問題的數學化，培養學生的數學應用意識和模型思想。

三、教學過程

（一）問題引入，回顧經驗

1.口答習題，回顧關系

師：同學們，這里有幾個問題，你們能解決嗎？（學生逐一回答）

課件出示：

[（1）小明每分鐘步行80米，5分鐘行多少米？

（2）一輛汽車每小時開40千米，6小時共開多少千米？

（3）火箭速度15千米/時

師：剛才我們解決了這幾個問題，那么，解題的過程中你們又是怎么想的呢？

生1：比如第一題，先找到小明每分鐘行的路程，再乘時間，就可以算出路程。

生2：就是利用“速度×時間=路程”來解決。

師：是的，我們都是利用了“速度×時間=路程”這個關系來解決問題。

2.溝通數形，回顧線段圖

師：我們再來看，第一題可以用這個圖來表示嗎？

課件變化（隱去第三題的相關信息）：

（1）小明每分鐘步行80米，5分鐘行多少米？

生1：可以的。這里的一小段表示小明每分鐘行80米，有這樣的5段就是5分鐘，可以求出一共行走的路程。

師：很好。那第二題呢，可以嗎？

（2）一輛汽車每小時開40千米，6小時共開多少千米？

生2：不行，因為題目中提出開車6小時，而這里只有5段，不能表示。

生3：也可以，只要增加一段就可以了。這一段就表示每小時行40千米，求一共行多少千米？

40千米/時

一共行多少千米？

師：說得很清楚，看來在解決問題時，你們已經學會用線段圖來表示題目的意思。

【評析】這三道口答題雖然簡單，但能充分調動學生學習的積極性，有效地回顧利用“速度×時間=路程”這個關系來解決問題，以及利用線段圖表征問題等經驗，為后續的學習打下基礎。同時，通過討論畫圖為后續的畫線段圖打下基礎。

（二）借助圖形，理解模型

1.討論習題，解讀信息

師：剛才我們研究的是一個人、一輛車行駛的問題，現在我們變一下，變成兩個人。

課件出示：小明與小紅從兩家同時出發，相向而行，小明每分鐘行80米，小紅每分鐘行60米，4分鐘后相遇，他們兩家相距多少米？

師：仔細觀察一下，問題中有哪些地方需要注意的？

生1：他們是相向而行。

生2：他們同時出發。

生3：問題是要求兩地相距多少米。

……

師：好的。我們一起來看一下動畫。（課件播放動畫）

2.畫線段圖，解決問題

師：對這樣的問題你能用線段圖來表示嗎？（生：可以。）請你們先嘗試畫一畫圖，然后列式解決問題。（學生操作）

3.數形結合，理解模型

師：老師收集了幾種方法，我們一起來看一下。

展示一：

小明：80[×]4=320（米）

小紅：60[×]4=240（米）

一共：320+240=560（米）

師：請介紹一下自己的想法。

生1：小明和小紅都走了4分鐘，所以給兩人都畫了4段。小明的速度是80米/分，小紅的速度是60米/分，所以用80乘4就是小明的路程，60乘4是小紅的路程，兩個路程相加得出總的路程。

展示二：

（80+60）[×]4=560（米）

生2：我是先求出小明和小紅一分鐘走的路程，然后用路程去乘他們行走的時間。

師：誰能把他的意思用畫圖的方式表示出來。

生3：左邊一段是小明每分鐘行的，右邊一段是小紅每分鐘行的。他們相加就是1分鐘共行的路程，一共有這樣的四組線段，所以用（80+60）×4=560（米）。

師：是的，這樣連一連，可以讓我們看得更加清楚。

展示三：

師：為了讓大家更容易理解，老師把這樣的圖“請”到黑板上來。誰愿意再來解釋一下這個圖是什么意思？

生4：這里的紅色一段就是小明的速度，黃色一段是小紅的速度，把它們加起來就是一分鐘共行的路程。（引導學生移動線段，把圖整理如下）

4.對比關系，提煉模型

師：同學們，上面的一組線段是不是更加清楚了？那么這一組線段表示的是什么？

生5：一組線段表示小明和小紅每1分鐘共行的路程，四組線段表示他們一共行了4分鐘。

師：那是不是利用了“速度×時間=路程”這個關系來解決問題？（生：是的。）這里的80+60還叫速度嗎？

生1：不是速度了，可以叫速度和。

師：是的。把兩個人的速度合在一起就可以叫速度和。它們的關系是怎樣的？

生2：速度和×時間=總路程。

師：剛才我們用兩種方法都求出了總路程，那么他們之間又有什么不同的地方呢？讓我們再來回顧一下。

課件出示：

師：是的。第一種方法是用“速度×時間”，算出小明和小紅的路程;而第二算法是先求兩人的速度和，再用速度和去乘共同行駛的時間，最后算總路程。

【評析】“相遇問題”對學生來說并不陌生，很多學生還會運用“速度和乘時間”求總路程。因此，教師要把教學重點放在理解和溝通“速度和×時間=路程”和原來關系之間的聯系和區別。通過引導學生圍繞線段說一說、連一連、擺一擺等活動，從多種角度表征和理解速度和，同時開展“速度和×時間=路程”和“速度×時間=路程”的討論與比較，不斷擴展解決問題的結構，使學生深入理解相遇問題模型。

（三）多樣變式，豐富模型

1.相反變式，感悟模型

師：接下來，我們繼續看大屏幕，題目要變一下。

課件出示：

師：想一想，上面的哪個問題也可以用這個線段圖來表示？同桌可以交流一下。

師：現在老師來做個調查，認為第一個可以的請舉手，第二個呢？（學生舉手）誰愿意來說一說可以怎么表示？

生1：我認為第一個可以，第二個不可以。因為第一個是相向而行，第二個是背向而行。

生2：我覺得第二個也可以，雖然是背向而行，但題目中講了是從同一個地點出發的。

師：如果背向而行可以表示上面的問題，那么能用“速度和×時間=總路程”來解決嗎？

生3：可以的。因為左邊這一段就表示80米，右邊這一段是60米，把他們相加就是1分鐘行的路程，這樣一共有5分鐘，所以可以用（80+60）×5=700（米）。

課件出示：

師：是的。前面是相向而行（板書），這里是背向面行，雖然行走的方向不同，但他們解決問題的方法卻是相同的。

【評析】學習完經典習題之后，筆者設計了一些反向變式，圍繞《相背問題》的討論，讓學生再次感受“速度和×時間=路程”的關系，更重要的是讓學生感受到：原來這樣的相背問題可以運用類似的方法來解決，從而擴充《相遇問題》的內涵。

2.公式變式，全面理解

師：這幅圖的意思你們看懂了嗎？誰來說說它表示的是什么問題呢？

課件出示：

生1：甲車每小時行60千米，乙車每小時行50千米，兩地相距440千米，他們從兩地出發幾小時后相遇？

師：非常好！我們一起來看課件。

課件出示：

（1）A、B兩地相距440千米，甲乙兩車同時從兩地出發，相向而行。甲車每小時行60千米，乙每小時行50千米。幾小時后兩車相遇？

（2）小明和小紅兩家相距360米，他們同時出發，相向而行，小明每分鐘走70米，出發3分鐘后相遇，小紅每分鐘走幾米？

師：上面兩題你們能畫出線段圖并解決問題嗎？（學生獨立操作，展示交流。）

師：我們一起來看看這個同學的方法。

展示一：

師：他的方法正確嗎？（正確）

展示二：

師：第二題，請大家仔細看一下，問題出在哪里？

生1：150是小紅3分鐘走的路程，所以150還需要除以3。

生2：這里的150是指上面的一整段，而我們要求的是小紅的速度，所以還需要把150平均分成3段。

展示三：

師：再來看看剛才這兩種算法，想一想，與我們今天學習的方法一樣嗎？

生1：第一種方法是求時間，第二種方法是求另一個速度。

生2：第一種用總路程÷速度和=時間，第二種先用總路程÷時間=速度和，再用速度和減去另一個速度。

師：其實你們說得都很有道理。雖然隨著條件和問題的變化，我們想到了“總路程÷時間=速度和”和“總路程÷速度和=時間”這兩個關系，但它們都是建立在前面關系的基礎上進行思考和解決問題。

【評析】上面兩道習題是相遇問題公式的變式，通過解決問題，學生可以感悟與提煉不同習題背后的數量關系。同時借助對比與交流，使學生了解到公式之間有著緊密的聯系，它們都是由“速度和×時間=路程”演變而來，幫助學生理解不同數量關系之間的聯系與區別，促進學生全面深入地理解相遇問題模型。

3.遷移變式，拓展模型

師：同學們，知道今天學習的內容是什么嗎？

生1：行程問題。

生2：相遇問題。

師：是的，我們今天學習的就是行程問題中的相遇問題。剛才我們用畫圖的方法解決了很多行程的問題，那么，生活中還有哪些問題也可以用這樣的方法來解決呢？

課件出示：

師：這是挖隧道問題，可以用畫圖的方法來解決嗎？

師：其實生活還有很多問題，比如兩個人跳繩、兩個人打字等問題都可以用這樣的方法來解決。

課件出示：

【評析】在課堂結束環節揭題，其實就是讓學生在慢慢解決問題的過程中，逐步滲透擴充相遇問題的模型，促使學生有效地理解。把相遇問題的方法遷移到生活中的其他速度類問題，有效溝通了不同習題之間的聯系，使得學生再次感悟“速度和×時間=總數”這種模型，也為今后學生解決這類問題打下基礎，有效提升學生解決問題的能力。

雖然“相遇問題”并非四年級數學教材內容，但教師要善于整合教材資源，合理設計內容來提升解決問題教學的質量。解決問題本身也是幫助學生感悟模型思想的主要途徑之一，隨著課程改革的深入，越來越多的教師關注數學思想的感悟與運用，因此，教師在解決數學問題的教學中要善于收集、整理、對比和運用材料，通過對比、溝通和遷移感悟解決問題的變與不變，有效提升學生解決問題的能力。

注：本文作者參加2019年杭州市小學數學課堂教學觀摩評比活動中榮獲一等獎。

【作者簡介】孔忠偉（1984— ），浙江杭州人，大學本科學歷，高級教師，區兼職教研員，區名師導航站站長，研究方向為小學數學教學。

（責編 楊 春）