壓電纖維復合材料作動行為研究

陳 浩，涂建維，張家瑞，李 召

(武漢理工大學 道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室，武漢 430070)

在減振降噪和結構振動控制領域，壓電材料因其優良的作動特性而得到廣泛關注。壓電陶瓷是常見的壓電智能材料，具有靈敏度高、溫度穩定性好等優點，但其質地脆、柔韌性差且壓電效應低。為此，美國國家航空航天局蘭利研究中心研發了新型壓電纖維復合材料——宏纖維復合材料(MFC)[1]。MFC主要由壓電陶瓷纖維、環氧樹脂基和叉指電極組成，可以通過逆壓電效應實現其作動性能。

在航空航天領域，MFC被廣泛應用于板殼結構變形、減振控制。PARADIES et al[2]將MFC與機翼整體建模進行數值計算，并對粘貼有MFC的機翼模型進行了靜力、動力試驗。CHEN et al[3]在MFC對飛機尾翼抖振的控制方面進行了研究，結果表明MFC可以有效減小尾翼的抖振。

上述研究表明，獲得精確的MFC作動力公式對研究MFC的應用十分重要。目前，多采用有限元整體建模與僅考慮彎曲變形的等效簡化計算方法研究MFC作動力。GUO et al[4]在MFC作動力計算中僅考慮了MFC與結構的彎曲變形，完成了MFC復合梁結構的振動控制試驗。PRASATH et al[5]使用“混合規則”的概念和串并聯電容理論進行壓電有限元仿真，分析MFC作動性能并通過試驗進行了驗證。ZHANG et al[6]基于等效參數和彎曲變形理論，推導了MFC的作動力和彎矩公式。但上述研究由于忽略了MFC與結構的剪切變形，仿真精度低且不能體現MFC作動力在粘貼界面上的剪切滯后現象。

在板殼結構的研究中，剪切變形理論已被廣泛應用[7-8]。MFC復合結構可被視為層合板結構，層合板結構剪切變形不可忽略。三階剪切變形理論(TSDT)精確度高，可以很好地模擬層合板結構的變形[9]。因此，本文運用TSDT推導了MFC的作動力公式，以文獻[10]中的MFC復合梁結構為例完成了作動仿真與試驗的對比分析。研究表明，基于TSDT的MFC作動力公式計算精度高，可以應用于MFC復合結構的仿真分析。

1 基于TSDT的MFC作動力公式

選取極化方向與纖維排列方向平行的P1作動型MFC為研究對象，其結構如圖1所示。MFC與平板結構的尺寸與粘貼關系如圖2所示，坐標軸的原點位于平板的中心位置。其中，a、b分別為MFC的有效長度與有效寬度；t2為MFC上表面到平板中位線的距離；hp為MFC的厚度；2t1為平板結構的厚度；Es為平板結構的彈性模量；Gs為平板結構的剪切模量。

圖1 P1作動型MFC結構示意圖Fig.1 P1 actuation type MFC structure diagram

圖2 MFC復合平板結構尺寸和粘貼關系示意圖Fig.2 Schematic diagram of MFC composite panel structure size and pasting relationship

假定結構法線方向的位移v(x,z)與z無關，MFC粘貼位置處的軸向位移可表示為：

(1)

式中：v(x)為平板結構的撓度；u0(x)為平板結構沿x軸的軸向位移；φx(x)為截面繞x軸的轉角；hx(z)為x方向上沿厚度的位移分布函數，用于表示截面剪應變沿厚度的分布。

由于MFC與平板結構材料屬性不同，我們分別定義整體位移分布函數hg(z)與局部位移分布函數hl(z)，來滿足MFC與平板結構變形協調與應力平衡條件。MFC復合平板結構截面的位移分布函數可用下式表示：

(2)

式中：j1、j2、k1、k2表示局部位移分布函數的相關參數，ξ1、ξ2表示截面的局部坐標。

MFC與平板結構為單面粘貼形式，忽略粘貼層厚度，MFC與平板結構完全黏合[11]。MFC的下表面與平板的上表面粘貼，則MFC上表面與平板下表面的剪應力為0 N.根據變形協調條件可知，MFC與平板結構粘貼界面的剪應力應相等，且位移應保持連續。可以得到局部位移分布函數中的相關參數如下式：

(3)

式中：Gp為MFC的剪切模量，由式(1)可以得到MFC在xz平面內的剪應變：

(4)

式中：ut1與ut2分別表示MFC在z=t1與z=t2位置處沿x軸方向的位移。

在x軸方向上，建立z=t2位置處MFC的應力平衡方程：

(5)

式中：σpx,t2表示z=t2位置處MFC沿x軸方向的正應力。

以平板結構為研究對象，可以得到平板結構在xz平面內的剪應變：

(6)

式中：u-t1表示在z=-t1位置處平板結構沿x軸方向的位移。

在x軸方向上，建立z=t1位置處平板結構應力平衡方程：

(7)

式中：σsx,t1表示在z=t1位置處平板結構沿x軸方向的正應力。

聯立式(1)、式(4)與式(6)并化簡，可以得到：

(8)

聯立式(7)和式(8)消除平板結構沿x軸方向z=-t1位置處的位移u-t1，可以得到：

(9)

由于MFC傳遞的剪應力大部分發生在MFC邊緣位置(x=±a/2，y=±b/2)，MFC除邊緣位置外正應變分布保持恒定[12]。假定MFC復合平板結構沿x軸方向的曲率為常數，聯立式(5)與式(9)可以得到z=t2位置處MFC和z=t1位置處平板結構應變偏微分方程組：

(10)

在電壓作用下，MFC內力呈對稱分布且邊緣位置正應力為0 N，因此，MFC沿x軸方向的正應變也呈對稱分布。可以得到z=t2位置處MFC應變分布通解：

(11)

MFC的本構方程[13]可以表示為：

(12)

式中：Ep為MFC沿x方向的彈性模量；Ex為施加于x方向的電場強度；d33為在x軸方向單位電場作用下，MFC在x軸方向產生的應變。

MFC復合平板結構是對稱的，在作動方向上，MFC復合平板結構的中線位置無剪切變形[14]。文獻[15-16]采用CPT與TSDT兩種方法計算得到的平板結構撓度與x方向軸向位移幾乎是相等的。為此我們采用CPT計算得到平板結構曲率與軸向應變，然后再代入式(1)中，可以求得z=t2位置處MFC中線位置沿x軸方向的應變εpx,c：

(13)

(14)

(15)

圖3 MFC邊緣位置上表面微元應力示意圖Fig.3 Schematic diagram of the micro-element stress on the upper surface of MFC edge

將式(13)與式(15)代入式(11)中，可以得到沿x軸方向，z=t2位置處MFC的應變：

(16)

聯立式(4)、(5)與(16)，可以得到MFC沿x軸方向的作動應力，即MFC與平板結構界面(z=t1)處沿x軸方向的剪應力：

(17)

(18)

由于式(18)中的參數均與平板結構彈性模量及厚度有關，因此本文提出的MFC作動力公式同樣可以反映出MFC作動性能與平板結構彈性模量及厚度的關系。為了進一步探究三者之間的關系，我們以在1 500 V電壓下工作的M2807-P1型MFC為例，取平板結構彈性模量為20 GPa，分析了x軸方向的MFC總作動力及總作動彎矩與平板結構厚度之間的關系；取平板結構厚度為20 mm，分析了x軸方向的MFC總作動力及總作動彎矩與平板彈性模量之間的關系，具體如圖4所示。

圖4 MFC作動性能與受控結構厚度及彈性模量的關系Fig.4 Relationship between MFC performance and controlled structure thickness and elastic modulus

從圖4可知，MFC的總作動力增長速度隨平板結構的彈性模量與厚度的增大逐漸放緩并趨于穩定。MFC總作動彎矩隨厚度增大而驟增，但隨平板結構彈性模量增長的速度較慢。MFC的作動力與結構的彈性模量及厚度呈現非線性關系，MFC作動彎矩與結構厚度呈現線性關系，與結構彈性模量之間呈現非線性關系。這說明了MFC的作動性能不僅取決于MFC的材料參數與工作電壓，還依賴于平板結構的厚度與彈性模量。

2 MFC復合梁結構仿真分析

為了驗證本文推導的基于TSDT的MFC作動力公式的適用性，我們以文獻[10]中的MFC復合梁結構作動試驗、作動仿真為例進行了分析。文獻中采用的是M2807-P1型MFC，MFC復合梁結構粘貼情況和有限元模型如圖5所示。

圖5 MFC復合梁結構粘貼情況與有限元模型Fig.5 Pasting situation and finite element model of MFC composite beam structure

M2807-P1型MFC與復合梁結構的材料參數如表1所示。運用基于TSDT的MFC作動力公式計算了P1型MFC在0～1 000 V電壓下的界面剪應力分布，如圖6所示。

表1 復合梁結構與MFC材料參數Table 1 Composite beam structure and MFC material parameters

圖6 施加不同電壓時MFC的界面剪應力Fig.6 MFC interface shear stress when different voltages are applied

由圖6可知，在x軸方向上，P1型MFC邊緣位置(x=±a/2，y=±b/2)的界面剪應力遠大于中部的界面剪應力且其由邊緣位置向中部呈現驟減趨勢，剪應力分布呈現雙曲正弦函數型。這是由于MFC與復合梁結構之間存在剪切滯后現象，邊界處剪應力存在突變。這說明基于TSDT的MFC作動力計算公式可以準確地反映出MFC作動力的分布特點。由MFC的內力分布特點可知，MFC的剪切變形是作動力傳遞的主要因素之一。

文獻[10]對粘貼有M2807-P1型MFC的復合梁結構進行了作動試驗。本文對MFC施加0～1 000 V電壓，研究復合梁結構在10種情況下的靜態偏轉值。首先在作動方向上以0.4 mm為計算長度，使用基于CPT[15]和TSDT的MFC作動力公式計算出MFC的分段作動力。然后在ANSYS中通過表面效應單元將其施加于對應的粘貼位置，對1.2 mm厚的MFC復合梁結構端部位移進行了仿真計算。最后將仿真結果與試驗結果進行對比，具體如圖7所示。

圖7 MFC復合梁結構端部位移圖Fig.7 MFC composite beam structure end displacement diagram

由圖7可知，隨著施加的電壓增加，復合梁結構端部位移隨之增大。基于TSDT的MFC作動力公式的仿真結果與試驗結果的最大位移偏差為4.37%，而基于CPT的MFC作動力公式的仿真結果與試驗結果的最大位移偏差為13.61%.這說明本文推導的基于TSDT的作動力計算公式是正確的，且精度高于基于CPT的作動力計算公式。

3 結論

本文基于TSDT推導了一種考慮剪切變形的MFC作動力公式，并通過仿真驗證了其準確性和適用性，得出以下結論：

1) MFC的作動力與受控結構的彈性模量及厚度之間的函數關系為非線性，MFC的作動彎矩與受控結構厚度之間的關系為線性，與受控結構彈性模量之間的關系為非線性。

2) MFC在粘貼邊緣位置界面剪應力較大，在中部位置界面剪應力迅速減小并趨于穩定。MFC與復合梁結構之間的界面剪應力分布呈現為雙曲正弦函數型。

3) 基于TSDT的端部位移仿真結果與試驗的端部位移時程曲線基本吻合，且優于基于CPT的仿真結果。本文推導的MFC作動力公式是適用的且計算精度更高，對MFC復合梁結構具有良好的作動效果，可以推廣到板殼結構的減振領域。