宋清林，謝 飛

(1.安徽警官職業學院 信息管理系，安徽 合肥 230031；2.合肥師范學院 計算機學院，安徽 合肥230601)

隨著信息技術和互聯網的發展，產生了海量的教育資源數據，導致學習者負擔過重、學習迷航等問題。如何在海量教育資源中挖掘出有用的知識，用以實施精準、個性化教學，成為現代教育亟待解決的問題。教學資源個性化推薦是根據學習者的歷史學習記錄，為學習者推薦合適、感興趣的教學資源，滿足個性化、精準教學需求，有效地緩解上述問題。教學資源個性化推薦已成為教育數據挖掘、人工智能等領域重要的研究話題，受到越來越多研究者的關注[1-2]。

傳統的推薦算法在進行教學資源推薦時，由于不能反映學生對知識點的掌握情況，導致推薦的資源難度過低或者過高。研究嘗試利用教育數據挖掘中的認知診斷模型對學生的學習能力進行建模，從而實現教學資源的精準化推薦。

本文系統介紹目前主流的推薦算法，詳細分析推薦算法和認知診斷模型在教育資源推薦中應用的發展趨勢，重點介紹DINA模型原理、參數估計方法和基于聯合矩陣分解的教學資源推薦算法。

1 相關工作

1.1 推薦算法

目前推薦算法主要分為三類：基于內容的推薦、協同過濾推薦和混合推薦算法。基于內容的推薦算法主要基于物品相關內容、用戶相關特征以及用戶對物品的操作三方面信息進行推薦，一般僅依賴于用戶自身的行為，不涉及其他用戶。用戶的興趣偏好和物品的特征主要采用向量的形式，可以直接用歷史記錄中物品的特征，例如：利用TFIDF將文本表示成向量形式，也可以結合用戶的統計特征，如：年齡、性別、愛好等，將用戶的特征和物品的特征嵌入到同一個向量空間中。基于內容的推薦算法在將用戶特征和物品信息表示成向量之后，將推薦問題看視為分類問題，利用KNN、Na?ve Bayes、決策樹等分類算法進行個性化推薦[3]。

協同過濾推薦算法一般分為三類：基于用戶的協同過濾、基于物品的協同過濾和基于模型的協同過濾?；谟脩舻膮f同過濾通過計算用戶和用戶之間的相似度，找出相似用戶喜歡的物品[4]?；谖锲返膮f同過濾根據物品和物品之間的相似度，將相似度高的類似物品推薦給用戶[5]。

基于模型的協同過濾基本思想是利用已有的部分稀疏數據來預測空白的物品和用戶之間的評分關系，找到最高評分的物品推薦給用戶。矩陣分解是協同過濾算法中最為流行和經典的方法之一，主要思想是將高維、稀疏的用戶—項目矩陣分解為低維、稠密的隱式用戶矩陣和項目矩陣的乘積[6-8]。

基于內容的推薦算法和協同過濾算法都有優缺點，混合推薦方法則是通過組合推薦來避免或彌補各自推薦技術的缺點[9]。與傳統機器學習方法比較，深度學習方法具有更強的表達能力和模型拓展能力。目前，深度學習推薦模型主要有：改變神經網絡復雜程度、豐富特征交叉方式、組合模型、矩陣分解模型的深度學習演化、引入注意力機制、融合序列模型、結合強化學習等[10]。

1.2 認知診斷模型

認知診斷模型是結合教育心理計量學以及認知心理學而發展起來的，通過分析考試數據，對學生的知識結構、認知過程等方面進行評估。目前，應用最為廣泛的認知診斷理論包括：項目反應理論(Item Response Theory，IRT)[11]和DINA(Deterministic Inputs，Noisy and Gate)模型[12]。

項目反應理論認為被測用戶的認知能力水平和其在教學資源上的表現行為存在函數關系，即項目反應函數。主要參數包括：測驗項目區分度系數、測驗項目難度系數、測驗項目猜測系數、被測試者潛在能力值等；對用戶的認知能力進行診斷的主要過程是對參數進行估價，常用的參數估計方法有：最大似然估計、EM算法、抽樣等。DINA模型對參數進行了簡化，僅考慮失誤因子和猜測因子，通過分析學生得分矩陣和試題知識點關聯矩陣，計算用戶在不同知識點的掌握情況。

經典的認知診斷模型(如IRT和DINA)是對靜態學習數據進行建模分析，學生作答數據不包含學生作答習題的時間特性，不能反映學生認知能力變化情況。認知跟蹤模型通過追蹤學生隨時間變化的認知狀態，預測學生在未來時間的作答表現，胡學鋼等[13]對動態認知跟蹤模型進行了系統總結和全面分析。

2 DINA模型定義和參數估計方法

2.1 DINA模型定義

定義1已知學生i(i=1，…，m)，試題j(j=1，…，n)，知識點k(k=1，…，l)，其中m表示學生個數，n表示試題數，l表示知識點數。

定義2矩陣X表示學生對試題的實際反應情況，xij=1表示學生i作對了試題j，xij=0表示學生i作錯了試題j。

定義3向量αi={αik}表示學生i對所有知識點的掌握情況，αik=1表示學生i掌握了知識點k，αik=0表示學生i沒有掌握知識點k。

定義4矩陣Q表示試題與知識點的關聯情況，qjk=1表示試題j包含知識點k，qjk=0表示試題j不含有知識點k。

定義5向量ηi={ηij}表示學生i對試題j的潛在反應情況，ηij=1表示學生i掌握了試題j包含的所有知識點，ηij=0表示學生i沒有掌握試題j包含的知識點(至少有一個沒有掌握)。因此，

(1)

定義6假設學生對試題的反應情況具有隨機性，失誤因子sj表示學生在掌握試題j包含的所有知識點情況下，作答錯誤的概率。猜測因子gj表示學生在沒有掌握試題j包含的知識點情況下(至少有一個沒有掌握)，猜對答案的概率。Pj(αi)表示學生i在具備認知水平αi情況下，作對試題j的概率：

Pj(αi)=P(Xij=1)=gj1-ηij(1-sj)ηij

(2)

定義7已知學生對試題的反應矩陣X，試題對知識點的關聯矩陣M，DINA模型的任務是估計出試題的失誤因子和猜測因子β=(s1,g1,...,sn,gn)，同時計算學生的認知能力水平向量α。

2.2 EM參數估計方法

已知學生作答試題的反應矩陣X，Xi為學生i作答試題情況，試題j的遺忘因子和失誤因子參數θjη=(sj,gj),其中θj0=sj，θj1=gj，X的似然函數L(X)定義為：

(3)

L(X)對參數θjη的導數為：

(4)

(5)

(6)

EM算法求解DINA模型參數主要步驟描述如下：

步驟1隨機初始化參數θ=((s1,g1,...,sJ,gJ)；

步驟3執行M步，對于每個試題j，根據公式(5)和(6)，更新sj和gj；

步驟4重復步驟2和步驟3，直至算法收斂。

學生i的知識能力水平向量，可以根據最大化后驗概率分布計算得到：

(7)

3 基于聯合矩陣分解的教學資源推薦算法

利用認知診斷模型獲取學生認知能力水平后，可以在此基礎上進行教學資源推薦。

已知學生-知識點掌握矩陣A，學生-試題得分矩陣X，試題-知識點關聯矩陣M，聯合矩陣分解的任務是推理出學生特征矩陣U，知識點特征矩陣B，試題特征矩陣T。假設學生特征、知識點特征、試題特征先驗概率從均值為0的高斯分布，且相互之間獨立，即：

(8)

(9)

(10)

給定學生特征矩陣U，試題特征矩陣T，學生i作答試題j的得分xij服從均值為g(UiTTj)，方差為σX2的正態分布，且相互獨立，則學生試題作答矩陣X的概率分布為：

(11)

同樣地，學生知識點掌握矩陣A的概率分布為：

(12)

試題知識點關聯矩陣M的概率分布為：

(13)

根據貝葉斯公式，可以推出U、B、T的后驗分布的似然為：

(14)

其中，d是特征向量的維數，C是常量?？梢圆捎锰荻壬仙ㄇ蠼鈪礥、T、B的值，使得后驗分布似然的值最大。

在得到學生特征矩陣U和試題特征矩陣T后，學生i對試題j的預測得分可以通過如下公式計算：

(15)

該預測得分客觀上反映試題對學生的難易程度，在進行教學資源推薦時，事先設定要推薦試題的難易度范圍，根據試題對學生的預測得分，推薦適合的教學資源。

4 結語

本文對當前個性化推薦算法進行了分類和介紹，詳細介紹了認知診斷DINA模型的理論和參數估計方法，以及在此基礎上的基于聯合概率矩陣分解的教學資源推薦算法。