一道00型極限的多種解法

【摘 要】筆者通過對(duì)一道型極限問題進(jìn)行研究，闡述了一題多解的發(fā)散思維在極限求解中的應(yīng)用，進(jìn)而希望能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

【關(guān)鍵詞】極限;一題多解;無窮小;中值定理

【中圖分類號(hào)】G642;O172? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）16-0001-02

1? ?引言

型極限又被稱為未定式極限，它是一類重要的極限求解問題，出現(xiàn)在各種極限問題研究中的頻率極高，不同的題目采用的方法也不盡相同[1-4]，且往往一題多解。在解決這類極限問題時(shí)，思路要開闊，應(yīng)從不同的角度分析問題，從而采用最簡(jiǎn)便的方法求解出極限。下面以一道典型題目為例，闡述一題多解這種發(fā)散思維在極限求解中的重要性。

2? ?例子及多種解法

例題：

解法1：利用洛必達(dá)法則求解，這也是很多初學(xué)者首先想到的方法。

原式==

=

=+

=

通過解法1可知，直接利用洛必達(dá)法則求解顯得比較繁瑣，如何使問題簡(jiǎn)單化呢？一般情況下，我們處理型極限時(shí)，往往考慮是否可以結(jié)合等價(jià)無窮小替換的方法，顯然沒有直接可替換的項(xiàng)，注意在代數(shù)和式子中不要輕易用等價(jià)無窮小替換，因?yàn)橐壮鲥e(cuò)，如極限===0（錯(cuò)解），而利用洛必達(dá)法則求出正解為。這里我們拓展思維，可以將極限式子先變形，再利用等價(jià)無窮小替換法。

解法2：利用中值定理先進(jìn)行變形，再結(jié)合等價(jià)無窮小替換求解。一般情況下，當(dāng)極限中含有 f（b）? f（a）的結(jié)構(gòu)時(shí)，可以考慮利用拉格朗日中值定理進(jìn)行變形處理，

如下：

原式=（ξ介于sin x與tan x之間，x→0，則ξ→0，eξ→1）

=

=

=

=

解法3：還可以采用“抓頭”或者“提尾”法，主要針對(duì)極限式子中出現(xiàn)同底指數(shù)相減的形式。

用抓頭法，即原式=（利用極限運(yùn)算法則和等價(jià)無窮小替換）

=

=

=

=

或者用“抓頭”法，即原式=，剩余過程同上。

解法4：直接替換法。我們可以將解法3的思想方法推廣為一般結(jié)論，出現(xiàn)類似極限問題就可以直接采用等價(jià)無窮小替換法求解。

定理：若f（x）=g（x）=A，則a f（x）?a g（x）～a g（x）ln a?

[ f（x）? g（x）]，（x→x0）。

證明：

=

=

=1

利用上述結(jié)論可得：

=

=

=

解法5：利用麥克勞林公式計(jì)算。

首先 tan x=x+x3+o（x3），sin x=x?x3+o（x3），

ex=1+x+x2+x3+o（x3），

故etan x=1+x+x3+o（x3）+[x+x3+o（x3）]2+

[x+x3+o（x3）]3+o（x3）

=1+x+x2+x3+o（x3），

esin x=1+x?x3+o（x3）+[x?x3+o（x3）]2+[x?

x3+o（x3）]3+o（x3）

=1+x+x2+o（x3），

所以==。

3? ?結(jié)束語

綜上，筆者研究了一道型極限問題的五種解法，這啟發(fā)了我們?cè)趯W(xué)習(xí)極限求解時(shí)要善于總結(jié)和歸納各種方法，學(xué)會(huì)打破常規(guī)的思維模式，從而培養(yǎng)創(chuàng)新思維

能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳贛昌.微積分[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

[2]潘福臣，李慶娟等.高等數(shù)學(xué)[M].吉林：吉林大學(xué)出版社，2014.

[3]嚴(yán)子謙.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第五版[M].北京：高等教育出版社，2001.

【作者簡(jiǎn)介】

李慶娟（1980～），女，漢族，吉林榆樹人，碩士，大連財(cái)經(jīng)學(xué)院副教授。研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

Several Solutions for a Typical Limit

Qingjuan Li

（School of Management， Da Lian University of Finance and Economics， Dalian， Laoning， 116622）

Abstract： This paper studies a typical integral problem with multiple solutions and elaborates the application of divergent thinking， I hope it can stimulate students interest in learning and cultivate students divergent thinking ability.

Key words： limit; multi- solutions ;infinitesimal; mean value theorem