在深度備課下把握教學目標

【摘 要】深度備課是將一節課的內容放在大的學科體系中去認識和準備。深度備課有利于教師精準把握教學目標使其更好地指導教學實施，從而從長遠的角度促進學生的發展。

【關鍵詞】深度備課;教學目標;函數的零點與方程的解

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0009-02

教師在備課時，不應僅僅備這一節課的內容，而應把這節課放在一個單元中，一個章節中，一冊教材中，一個主題中，一條主線中，甚至是整個學科體系中去備這一節課，這樣才能精準把握這一節課的重要性以及核心思想，真正發揮這一節課的教學對學生深度學習的作用。本文將以高中數學必修一中的“函數的零點與方程的解”教學設計為例，探索怎樣在深度備課下把握教學目標[1-2]。

1? ?問題引入，回顧舊知——聯系學生的已學知識，構建知識鏈接

問題一：方程 x2?2x?3=0有解嗎？

追問1：你用什么方法來找方程的解？

追問2：有同學能用相應的二次函數的圖象來判斷它的解嗎？

問題二：方程 x2?2x?3=0的解與相應的函數 f（x）=

x2?2x?3的圖象以及函數f（x）的零點有什么聯系？

設計意圖：從學生的已學知識入手，聯系學生以往的學習經驗。學生通過在初中階段和本冊書的第二章第三節的學習，能夠建立起一元二次方程，以及相應的二次函數和函數零點之間的轉化關系。這里以初中階段和預備知識的相關聯系設計問題情境，以求一元二次方程的解引入，把學生以往的知識經驗作為本節課的基礎，從而喚起學生的學習興趣。

2? ?引發沖突，探求新知——引起學生的認知沖突，激發學生的好奇心與求知欲

問題三：你能找出方程ln x+2x?6=0的解嗎？

問題四：對于不能用公式求解的方程，我們怎么研究方程的解的情況呢？

零點的定義：與二次函數的零點一樣，對于一般函數f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數f（x）的零點。

設計意圖：像問題三中這樣的特殊方程，對學生來說是陌生的，他們不能像求一元二次方程那樣用公式法去求解。但是受問題一和問題二中把方程和相應函數及函數零點建立聯系的啟發，學生可以猜想把求ln x

+2x?6=0的問題轉化成求f（x）=ln x+2x?6有零點的問題或者是 y=ln x+2x?6圖像與x軸有公共點的問題（如圖1）。問題四把方程的解與相應函數零點關系的問題從特殊拓展到了一般，學生通過數學抽象和歸納總結，找到求一般方程的解的方法。同時教師在此過程中滲透轉化與劃歸這一重要數學思想，提升學生數學抽象的核心素養。

對于函數零點的概念的教學，筆者的處理如下：由于學生在學習二次函數時就已經學習過了二次函數零點的概念，這里只是把函數的零點從二次函數推廣到了一般的函數，是從特殊到一般的過程，對學生來說很容易理解。所以只需要仿照二次函數零點的概念，概括一般函數的零點概念。

3? ?探究新知，總結規律——步步深入，層層遞進，深入理解函數零點存在定理

問題五：怎樣找出函數的零點呢？我們不妨以熟悉的二次函數為例，如圖1。

追問1： f（x）在什么區間上有零點？

追問2：這時函數圖像與x軸有什么關系？

追問3：如何利用函數f（x）的取值規律來刻畫這種

關系？

問題六：觀察下列函數圖像，如圖2，觀察函數零點所在的區間，函數零點存在需要的條件有什么？以及這一區間內函數圖像與x軸的關系，并探究f（x）的取值刻畫這種關系的方法。

學生總結規律：函數零點存在定理。

如果函數 y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，且有f（a）f（b）<0。那么，函數 y=f（x）在區間（a，b）內至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的解。

追問1：為什么一定要是一條連續不斷的曲線？

追問2：為什么說函數至少有一個零點？

追問3：什么情況下函數只有一個零點？

追問4：將函數 y=f（x）在區間（a，b）內至少有一個零點中的（a，b）改成閉區間行不行？

追問5：如果函數存在零點，那么f（a）f（b）一定小于

零嗎？

設計意圖：既然已經知道了方程的解和函數零點之間的關系，那么怎么找到這個零點呢？找零點的具體方法是下節內容筆者要介紹的二分法，那么函數的零點存在定理就是為用二分法找函數的零點作準備。這個定理是對二次函數零點的一個延伸，也是學習用二分法求解方程的基礎和鋪墊，這就要求教師在備課的時候，把這個內容放在前后知識的聯系中去理解。

函數零點存在定理是本節課的重點也是難點，筆者在講解這個知識點的時候，從學生熟悉的二次函數入手，通過探究二次函數零點的存在問題，把求函數零點的條件和方法推廣到一般函數，概括并總結出函數零點存在定理。這個定理理解起來并不容易，筆者連續用5個追問，使學生對這一定理有清晰透徹的理解，同時提升學生邏輯推理與數學抽象的核心素養。

4? ?滲透數學文化，解決遺留問題——從高觀點下看數學，提及但不深究

問題七：介值定理的概念是什么？

設計意圖：函數零點存在定理是介值定理的一種特殊情況。學生將在大學數學中接觸介值定理，這里以介紹介值定理數學史的形式在課堂教學中滲透數學文化，從而激發學生學習數學的熱情和興趣，體現“上通數學，下達課堂”的教學理念，同時也體現了把本節課放在整個數學體系中的深度備課思想。

問題八：你能試著判斷方程ln x+2x?6=0的實數解的個數嗎？

設計意圖：這個問題是對函數零點存在定理的運用和鞏固。這個問題是教材中的例題，同時也呼應了筆者在本節開頭給學生提出的問題，在這里使學生產生疑問，像這樣的方程，它的解究竟怎么求呢？為下一節二分法埋了伏筆，埋下求知的種子。

5? ?教學反思

本節內容從學生比較熟悉的一元二次方程與相應的二次函數的零點入手，把函數的零點與方程的解的關系推廣到一般方程與相應的函數的零點情形。而筆者在初始教學設計中對探究函數零點存在定理的目的有過誤解，所以在課堂教學中，筆者用過這樣一句話來引導學生探究此定理：“我們怎樣判斷函數的零點是否存在呢？”后經哈爾濱師范大學樊曉明教授的指導，筆者思考：函數零點存在的兩個條件分別是①函數圖象在零點附近連續不斷;②有f（a）f（b）<0。滿足這兩個條件，函數零點一定存在?？墒侨绻粷M足，如有f（a）f（b）>0，難道就沒有零點嗎？三角函數 y=sin x， f（1）f（8）>0，在（1，8）內仍然存在零點。所以這個定理的目的是通過找函數的零點來研究方程的解，其主要思想在于“找出”而不在于“判斷”。同時，這個定理也進一步突出了函數思想的應用，為下一節用二分法求方程的近似解作了知識上和思想上的準備。

總之，把本節課的重點從判斷函數是否有零點轉換成找出函數的零點，就把整節課放在了為用二分法解方程打基礎的大背景下。因此，以備整章的角度來備一節課，更能準確的把握數學的連續性和整體性思想。

【參考文獻】

[1]高敏.基于數學理解 設計概念教學——“函數的零點”教學設計與反思[J].中學數學月刊，2020（11）.

[2]岳艷紅.“方程的根與函數的零點”教學設計[J].中學數學教學參考，2019（27）.

【作者簡介】

郝純（1991～），女，滿族，黑龍江哈爾濱人，碩士，中學二級教師。研究方向：學科教學（數學）。