一例不定積分的多種計算方法

【摘 要】不定積分是高等數學學習中的重難點之一，不定積分有多種計算方法，如直接積分法、換元積分法、分部積分法等，對于不同類型的積分可采用不同的方法。本文通過一道不定積分例題，使用不同的方法來解決問題，通過探究多樣性的解題方法，從而培養學生的發散思維。

【關鍵詞】高等數學;不定積分;一題多解

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0011-02

高等數學教學尤其強調對學生邏輯思維、創新思維、抽象思維的培養。而通過研究不定積分題目解法的多樣性，可以打破傳統思維，開拓新思路，提高學生解決問題的能力，從而激發學生學習高等數學的積極性[1-6]。

1? ?一例不定積分的多種計算方法詳解

例題：解不定積分。

方法1：第一類換元積分法，分子分母同乘cos x，從而可以湊微分，再進行換元。

接下來令 sin x=t，

原式=

換元后根據有理函數的不定積分進行拆項，分別計算不定積分，

最后，將元進行回代，即

。

方法2：利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1進行變形，，然后拆項，分別計算不定積分，拆項后為：

接著單獨計算一下這部分不定積分，首先進行換元，

令 sin x=t ，上式，此時的三角積分轉換為有理函數的積分，我們利用有理函數積分的計算方法來求解，

最后，注意將元進行回代，將t= sin x帶回原式，則

方法3：利用導數和微分的關系進行湊微分，

即。

這個方法對學生的思維能力要求較高，但同時也是最簡便的一種計算方法。

方法4：利用二倍角公式得，

再進行換元，令，則

再換元，令 tan t=u ，則

最后，將元進行回代，則

方法5：利用萬能公式求解，令，cos x=

，，則

現在將三角函數的不定積分轉換為有理函數的不定積分，用待定系數法繼續求解。

最后，將元進行回代，則

2? ?一題多解的教學意義

數學的魅力在一題多解中得以彰顯，一題多解有利于培養學生的發散思維，提高思維的靈活性，提高學生解決問題的能力，同時能引導學生在探索中學習，在探索中提高，有利于學生的學習和成長。

【參考文獻】

[1]王雅萍.淺析不定積分中的一題多解[J].浙江水利水電學院學報，2019（5）.

[2]孟獻青.一題多解在不定積分中的應用[J].山西大同大學學報（自然科學版），2018（1）.

[3]黃軍華.不定積分的一題多解[J].玉林師范學院學報，2005

（3）.

[4]許永鑫.不定積分一題多解的相關研究[J].數學學習與研究：教研版，2018（20）.

[5]陳賢峰.一道隱函數不定積分的多種解法[J].高等數學研究，

2020（6）.

[6]張玥，鄒健.一道不定積分的幾種解法[J].科技風，2020（6）.

【作者簡介】

宋小平（1994～），女，漢族，山東煙臺人，碩士，助教。研究方向：高等數學。

Calculation Methods for an Indefinite Integral

Xiaoping Song

（Department of Public Education， Shandong College of Traditional Chinese Medicine， Yantai， Shandong， 264001）

Abstract： Indefinite integral is one of the important and difficult points in higher mathematics learning. There are many kinds of calculation methods for indefinite integral， such as direct integral method， substitution integral method， partial integral method， etc. Different methods can be used for different types of integrals. By an indefinite integral example， this paper deals with solving one problem with different methods and explores the diversity of problem-solving methods， so as to cultivate students divergent thinking.

Key words： advanced mathematics; indefinite integral; multiple solutions to one problem