利用Weingarten映射計算曲面主曲率的新方法

【摘 要】本文主要是在Weingarten變換下，利用高等代數(shù)中的矩陣初等變換法來求解曲面的主曲率。具體是通過對Weingarten矩陣進(jìn)行初等變換，得到其特征值，進(jìn)而計算出曲面的主曲率，得到計算主曲率的一種新方法。

【關(guān)鍵詞】Weingarten映射;矩陣初等變換;主曲率

【中圖分類號】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0013-02

微分幾何是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)專業(yè)課，由于其固有特點，學(xué)起來比其他課程更困難、更枯燥。如果能在保證教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)上加強(qiáng)與之前學(xué)過的課程的聯(lián)系，如高等代數(shù)在微分幾何中的應(yīng)用，這樣會增強(qiáng)學(xué)生對微分幾何課程的親切感，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力。本文介紹的是一種高等代數(shù)在計算曲面主曲率中的新方法。

1? ?基本方法闡述

在曲面的微分幾何中，把曲面在每一點的單位法向量平移到以原點為中心的單位球面上的映射稱為高斯映射。接下來，高斯映射的切映射將誘導(dǎo)兩個切空間之間的線性變換，這個映射被稱為Weingarten映射。

眾所周知，滿足σ（），=，σ（）的算子稱為自伴算子，而在二維線性空間中，自伴算子的特征值為實特征值，Weingarten映射為自共軛的，這就保證了它的特征值為實特征值[1]。

定理1：在曲面S上任意一點P處，Weingarten變換的兩個特征值λ1，λ2正好是曲面在P的主曲率，對應(yīng)的特征方向是曲面S在P點的主方向[2]。

由Weingarten映射的定義可以導(dǎo)出Weingarten矩陣。

要求曲面S上任一點的主曲率，即求矩陣ω的特征值，傳統(tǒng)方法是由|λI?ω|=0，求得ω的全部特征根，進(jìn)而得到主曲率。本文通過對Weingarten矩陣進(jìn)行初等變換求主曲率，得到求主曲率的新方法。此方法主要基于以下定義與定理[3]。

定義1：設(shè)λ—矩陣B（λ）=（bij（λ））是n階方陣，若對任意i=1，2，…，n有①若bij（λ）為常數(shù)，則bij（λ）=1，且該元素所在列的其它元素為0，即bij（λ）=。

②若bij（λ）=φi（λ），φi（λ）為λ的非零次多項式，則bkj（λ）=0，k=i+1，i+2，…，n。則稱B（λ）的第i列為規(guī)范列;若B（λ）的所有n個列都是規(guī)范列，則稱B（λ）是規(guī)范λ—矩陣。

定理2：設(shè)A為n階方陣，求A的特征值步驟如下：

①將（A?λE）規(guī)范化，化成規(guī)范λ—矩陣B（λ）。②若bii（λ）≠1，則令bii（λ）=0，i=1，2，…，n，方程bii（λ）=0的根，則為特征根。

2? ?舉例

例1：求螺面（u，v）={ucos v，usin v，bv}的主曲率。

解：由（u，v）={ucos v，usin v，bv}得=（cos v，sin v，0），=（?usin v，ucos v，b），=

，=（0，0，0），=（?sin v，

cos v，0）=，=（?ucos v，?usin v，0）。于是E（u，v）

=?=1，F(xiàn)（u，v）=?=0，G（u，v）=?=u2+b2。L（u，v）=?=0，M（u，v）=?=，N（u，v）=?=0。

所以螺面的第一基本形式和第二基本形式如下：

I=du2+（u2+b2）dv2，II=dudv。

可見L：M：N≠E：F：G。由此便知螺面上所有點都非

臍點。

螺面的Weingarten矩陣為：

=，

（λE?ω）=

→

→

→，

令=0，

得螺面的主曲率：λ1=，λ2=。

另外，當(dāng)正則曲面=（u，v）的坐標(biāo)網(wǎng)既是正交網(wǎng)，又是漸近網(wǎng)時，即F=0，L=N=0。可直接得到特征值為λ1=，λ2=[4]，也可以根據(jù)此性質(zhì)求出主曲率為λ1，λ2。

例2：計算拋物面z=x2?y2在點（1，1，2）處的主曲率。

解：設(shè)拋物面的參數(shù)表示為（x，y）=（x，y，x2+y2），

則=（1，0，2x），=（0，1，2y），=（0，0，2），==（0，0，0），=（0，0，2），×=（?2x，?2y，1），=，E=?=1+4x2，E=?=4xy，G=?=1+4y2，L=?=，M=?=0，N=?=。在點（1，1，2）處E=5，F(xiàn)=4，G=5，L=，M=0，N=。

對應(yīng)的Weingarten矩陣為：

=，

（λE?ω）=

→

→

→，

令，得拋物面z=x2?y2在點（1，1，2）處的主曲率λ1=，λ2=。

筆者在微分幾何的教學(xué)中較多地應(yīng)用了數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何的知識。用線性代數(shù)中的線性變換以及多線性代數(shù)解決曲線曲面的問題是常用的方法，所以學(xué)生需要掌握好數(shù)學(xué)基本知識，并將其靈活應(yīng)用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王幼寧，劉繼.微分幾何講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[2]陳維恒.微分幾何初步[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[3]陳澤安.求矩陣特征值與特征向量的新方法[J].長沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2003（3）.

[4]黃浩，黃晴，盧衛(wèi)君.Weingarten變換下曲面的特征向量和特征值的一種求法[J].理論數(shù)學(xué)，2019（4）.

【作者簡介】

王利娟（1982～），女，漢族，山西太原人，助教。研究方向：微分幾何。