淺析初中數學線段最值問題解題策略

徐葵 楊文

【摘 要】以二次函數為知識背景的線段最值問題在成都近幾年的各種考試中成為一大熱點，也是一大難點。本文運用文獻調查的研究方法對這類問題進行整合，通過四個模型總結這類問題的解決方法。

【關鍵詞】二次函數;線段最值;中考

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0027-02

以二次函數為知識背景的線段最值問題在成都近幾年的各種考試中比較常見，其中兩點之間線段最短問題、點到直線垂線段最短問題、用二次函數解析式求最值問題，所對應的知識點在整個初中數學教學內容中相對分散[1]，從初一到初三均有分布，以致于成為初三復習階段的一大難點。本文就其中二次函數較為常考的兩點之間線段最短問題、用二次函數解析式求最值問題這兩類問題舉例分析。本文列舉了幾道中考頻率較高的二次函數背景下的最值問題，解法基本上能運用到同類型的題目中，且部分解法、思路能夠運用在幾何問題中線段最值問題的求解。希望本文能對廣大同仁探究這類最值問題的教學策略有所幫助，對學生的中考復習起到作用。

1? ?將軍飲馬，大同小異

例1：如圖1，在直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（?1，0）、（3，0）、（0，3），過A、B、C三點的拋物線的對稱軸為直線l。

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

（2）點E是拋物線的對稱軸上的一個動點，求當AE+CE最小時點E的坐標。

分析：

（1）問為最基礎的求解析式問題，一般式，交點式均可解決，再求頂點。

（2）問是線段最值問題，其模型為“兩定一動”的對稱型最值問題，即將軍飲馬問題。如圖2，直線l和l的同側兩點A、B，在直線上求作一點P，使PA+PB最小。

解：

（1）設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，

∵ 拋物線經過A、B、C三點，

∴ ，? ? ?解得：，

∴ 解析式為：y=?x2+2x+3，

∴ 頂點D為（1，4）。

（2）∵如圖1，連接BC交拋物線的對稱軸于點E，點A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B，則AE=BE，要使AE+CE最小，即BE+CE最小，則B、E、C三點共線。

解法一（解析式法）：設直線BC的解析式為 y=

kx+n，

則，? ? ?解得：，

∴ y=?x+3，當x=1時，y=2，

∴ E的坐標為（1，2），

解法二（幾何法）：設拋物線與x軸的交點為F，

∵ EF∥y軸，

∴ ∠BEF=∠BCO，∠BFE=∠BOC，

∴ △BFE∽△BOC，

∴ ，

∴ BF=EF=2，

∴ 點E的坐標為（1，2），

總結：這一類線段最值問題解法為“大同小異”，求最大值要將兩點放在定直線的同側，再將兩點相連，與定直線交于一點，這一點就為所求點;求最小值要將兩點放在定直線的異側，再將兩點相連，與定直線交于一點，這一點為所求點[2]。一般輔助線為作對稱點連接對稱點和其中一點。

這是將軍飲馬問題的通解法，當看到這類兩定一動問題時，不論是最大值還是最小值，都可用這種方法作輔助線解決。

2? ?點動成線，直觀想象

例2：如圖3，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸交于A（，

0），B兩點（點B在點A的左側）與y軸交于點C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點H。

（1）求拋物線的解析式;

（2）設點P的橫坐標為m，當FH=HP時，求m的值;

（3）當直線PF為拋物線的對稱點時，以點H為圓心，HC為半徑作⊙H，點Q為⊙H上的一個動點，求

AQ+EQ的最小值。

分析：

（1）（2）問求出直線AH的解析式，根據方程即可解決問題。

（3）問是一道以圓為運動軌跡的線段最值問題，以點圓模型的最值問題為核心，輔助圓問題與二次函數的結合可以從AQ入手，主要是要以構造AQ為目的作輔

助線。

解：

（1）略。

（2）二次函數的解析式為：y=x2+x?3。

在Rt△AOC中，tan∠OAC==，

∴ ∠OAC=60°，

∵ AD平分∠OAC，

∴ ∠OAD=30°，

∴ D（0，?1），

∴ 直線AD的解析式為y=x?1，

（2）由題意P（m，m2+m?3），H（m，

m?1），F（m，0）且?

∵ FH=PH，

∴ 1?m=m?1?（m2+m?3），

解得：m=?或（舍去），

∴ 當FH=HP時，m的值為?。

（3）輔助線圖：

如圖4，∵PF是對稱軸，

∴ F（?，0），H（?，?2），

∵ AH⊥AE，

∴ ∠EAO=60°，

∴ EO=OA=3，

∴ E（0，3），

∵ C（0，?3），

∴ HC=2，AH=2FH=4，

∴ QH=CH=1，

在AH上取一點K，使得HK=，此時K（?，

?），

∵ HQ2=1，HK·HA=1，

∴ HQ2=HK·HA，

∵ ∠QHK=∠AHQ，

∴ △QHK∽△AHQ，

∴ ，

∴ KQ=AQ，

∴ AQ+QE=KQ+EQ，

∴ 當E、Q、K共線時，AQ+QE的值最小，

最小值EK=。

總結：這一類線段最值問題一般由有分數的一項入手，由子母型相似構造分數項，把分數線段轉換成另一條線段，再來解決最小值問題[3]。

這種解法一般適用于一條完整線段加上一條不完整線段（幾分之幾的線段），用于構造那條不完整線段。但由于存在分數，有部分問題會有變式，需將分數變為整數，這時可以將整數重新變回分數，但要記得乘回去。這種解法對于同類幾何最值問題依然適用。

3? ?點到直線，數學運算

例3：如圖5，已知直線 y=?x+5與y軸、x軸分別相交于A、B兩點，拋物線 y=?x2+bx+c經過A、B兩點，其對稱軸交于C，交AB于D。

（1）求A、B兩點的坐標，并求拋物線的解析式;

（2）點P從點B出發沿x軸向點O運動，過P作y軸的平行線交直線AB于點M，交拋物線于N，求MN的最

大值。

分析：

（2）問可以設出P的坐標從而表示出MN的長度，再求出其最值。

解：

（1）易證：A（0，5） B（5，0），

拋物線解析式為：y=?x2+4x+5。

（2）設P的坐標為（a，0）（5>a>0），

∴ M（a，?a+5），

N（a，?a2+4a+5），

∴ MN=?a2+5a，

∴ NM的最大值為6。

總結：以二次函數解析式求最值問題可以使用拋物線與直線之間距離公式將其轉化為二次函數區間最值

問題。

這一類線段最值問題（直線與二次函數兩點之間的長度）解法一般為：先將動點坐標用字母表示出來，再用字母將長度不定的線段表示出來，會得到一個二次函數，用頂點式求出其最值（注意字母的取值范圍，若對稱軸不在取值范圍之內，取值范圍的最值中，哪個更靠近對稱軸取哪個）。

這個方法適用于大部分用二次函數解析式求最值的問題，但計算量可能較大，容易算錯，可以用公式法和配方法，驗算結果，保證其正確。

4? ?邏輯推理，幾代全行

例4：如圖6，拋物線 y=?x2+bx+c與x軸交于A（?4，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點D為直線AC上方拋物線上的動點，DE⊥AC于點E。

（1）求拋物線的解析式;

（2）如圖4，求線段DE的最大值。

分析：

將直線AC向上平移，平移到與拋物線只有一個交點時，此時的交點為D，DE的長度為最大值。

解：

（1）解析式為：y=?x2?x+3，

（2）當x=0時，y=?x2?x+3=3，

∴ 點C的坐標為（0，3），

設直線AC的解析式為y=kx+d（k≠0），

將A（?4，0），C（0，3）代入 y=kx+d，得：

解得：，

∴ 直線AC的解析式為：y=x+3，

解法一：設直線與拋物線相切于D，平行于AC，

l：y=x+b，

聯立拋物線與l

x+b=?x2?x+3

∴ x2+3x+b?3=0

∵ 只有一個交點，

∴ Δ=9?3（b?3）=0，

∴ b=6，

∴ D（?2，），

∴ 直線DE：y=x+，

聯立直線DE和直線AC，

?x+=x+3，

∴ E（?，），

∴ DE=。

解法二：在圖6中，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，DF交AC于點M。

設D的坐標為（x，?x2?x+3）（?4

∴ DM=?x2?x+3?（x+3）=?x2?3x，

在Rt△AOC中，OA=4，OC=3，

∴ AC=5，

∵ DF⊥x軸，DE⊥AC，

∴ ∠DEM=∠AFM。

∵ ∠DME=∠AMF，

∴ △DME∽△AMF，

∴ ，

∴ DE=DM=?x2?x=（x+2）2+，

∴ 當x=?2時，DE取得最大值，最大值為。

總結：這一類問題代數方法一般是先將定直線平移，平移到拋物線與直線相切，此時直線與拋物線的切點為拋物線上的點，這一點到定直線的距離為最大值。

幾何方法一般是先表示出其中幾條線段的長度，再用相似表示出所求線段的長度，這個長度一般是由一個二次函數表示，再用二次函數頂點式或配方法求出其最值（注意取值范圍）。

本題的幾何和代數法對這一類問題都可以使用，各有優劣。代數法可以不用作輔助線，直接列方程求解，其弊端是部分問題的數據會有些難算，計算量較大，容易算錯。幾何方法雖然需要作輔助線，但計算量相對較少。兩種方法應該視情況使用，但一般用代數法較多。

【參考文獻】

[1]李士林.例析二次函數背景下的線段最值問題[J].初中數學教與學，2018（14）.

[2]陳小英.幾何最值模式在二次函數中的應用[J].中學數學，2010（6）.

[3]王霞.初中數學二次函數中一類線段最值問題的快速求解方法[J].數學教學通訊，2018（17）.